Physique · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI

Moment cinétique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le moment cinétique d'un point matériel $M$ de masse $m$ et de vitesse $\vec{v}$ par rapport à un point fixe $O$ est défini par : $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge m\vec{v}$ Le théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à un point fixe $O$ dans un référentiel galiléen s'écrit : $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \sum \vec{M}_O(\vec{F}_{ext})$ Si le système est en rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$ , on utilise la projection scalaire : $L_\Delta = J_\Delta \cdot \dot{\theta}$ où $J_\Delta$ est le moment d'inertie par rapport à l'axe et $\dot{\theta}$ la vitesse angulaire.

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit vectoriel : Utiliser la règle de la main droite ou le déterminant dans une base orthonormée directe.
Application du TMC : Identifier toutes les forces, calculer leurs moments par rapport à $O$ (ou $\Delta$ ), puis sommer.
Conservation : Si $\sum \vec{M}_O(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$ , alors $\vec{L}_O = \text{constante}$ .

Exemples corrigés

Particule en mouvement rectiligne uniforme : $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge m\vec{v}$ . Comme $\vec{OM} = \vec{OH} + \vec{HM}$ avec $\vec{HM} \parallel \vec{v}$ , alors $\vec{L}_O = \vec{OH} \wedge m\vec{v}$ (constant).
Rotation d'une tige : Pour une tige de masse $m$ et longueur $l$ tournant autour d'une extrémité, $J_\Delta = \frac{1}{3}ml^2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le moment dépend du point $O$ choisi.
Confondre le moment cinétique $\vec{L}$ avec le moment d'une force $\vec{M}$ .
Se tromper de signe dans le calcul du moment d'une force (toujours vérifier le sens de rotation).

L'essentiel du cours

Le moment cinétique d'un point matériel $M$ de masse $m$ et de vitesse $\vec{v}$ par rapport à un point fixe $O$ est défini par : $$\vec{L}O = \vec{OM} \wedge m\vec{v}$$ Le théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à un point fixe $O$ dans un référentiel galiléen s'écrit : $$\frac{d\vec{L}O}{dt} = \sum \vec{M}O(\vec{F}{ext})$$ Si le système est en rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$, on utilise la projection scalaire : $$L\Delta = J\Delta \cdot \dot{\theta}$$ où $J_\Delta$ est le moment d'inertie par rapport à l'axe et $\dot{\theta}$ la vitesse angulaire.

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit vectoriel : Utiliser la règle de la main droite ou le déterminant dans une base orthonormée directe.
Application du TMC : Identifier toutes les forces, calculer leurs moments par rapport à $O$ (ou $\Delta$), puis sommer.
Conservation : Si $\sum \vec{M}O(\vec{F}{ext}) = \vec{0}$, alors $\vec{L}_O = \text{constante}$.

Exemples corrigés

Particule en mouvement rectiligne uniforme : $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge m\vec{v}$. Comme $\vec{OM} = \vec{OH} + \vec{HM}$ avec $\vec{HM} \parallel \vec{v}$, alors $\vec{L}_O = \vec{OH} \wedge m\vec{v}$ (constant).
Rotation d'une tige : Pour une tige de masse $m$ et longueur $l$ tournant autour d'une extrémité, $J_\Delta = \frac{1}{3}ml^2$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le moment dépend du point $O$ choisi.
Confondre le moment cinétique $\vec{L}$ avec le moment d'une force $\vec{M}$.
Se tromper de signe dans le calcul du moment d'une force (toujours vérifier le sens de rotation).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Moment cinétique

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Le moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point $O$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre le moment cinétique et la quantité de mouvement ?

La quantité de mouvement $\vec{p} = m\vec{v}$ mesure l'état de mouvement de translation.
Le moment cinétique $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge \vec{p}$ mesure l'état de mouvement par rapport à un point (aspect rotationnel).

💡 À retenir : $\vec{p}$ est lié à la vitesse, $\vec{L}_O$ est lié à la position et à la vitesse par rapport à un pivot.

La quantité de mouvement $\vec{p} = m\vec{v}$ mesure l'état de mouvement de translation.
Le moment cinétique $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge \vec{p}$ mesure l'état de mouvement par rapport à un point (aspect rotationnel).

💡 À retenir : $\vec{p}$ est lié à la vitesse, $\vec{L}_O$ est lié à la position et à la vitesse par rapport à un pivot.

Kifach n7seb le moment cinétique dyal wahed l'objet f rotation?

Détermine l'axe de rotation $(\Delta)$ .
Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ de l'objet (ex: $\frac{1}{2}mr^2$ pour un disque).
Utilise la formule $L_\Delta = J_\Delta \cdot \omega$ .

💡 À retenir : $L_\Delta = J_\Delta \cdot \dot{\theta}$ .

Détermine l'axe de rotation $(\Delta)$.
Calcule le moment d'inertie $J_\Delta$ de l'objet (ex: $\frac{1}{2}mr^2$ pour un disque).
Utilise la formule $L_\Delta = J_\Delta \cdot \omega$.

💡 À retenir : $L_\Delta = J_\Delta \cdot \dot{\theta}$.

Est-ce que le moment cinétique se conserve toujours ?

Non, il ne se conserve que si la somme des moments des forces extérieures appliquées au système par rapport au point $O$ est nulle.

💡 À retenir : $\sum \vec{M}_O = \vec{0} \implies \vec{L}_O = \text{constante}$ .

Non, il ne se conserve que si la somme des moments des forces extérieures appliquées au système par rapport au point $O$ est nulle.

💡 À retenir : $\sum \vec{M}_O = \vec{0} \implies \vec{L}_O = \text{constante}$.

Chno hiya l'utilité dyal le moment cinétique f l'examen ?

Il sert principalement à résoudre les problèmes de rotation et les mouvements à forces centrales (comme les planètes).

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour étudier les systèmes qui tournent.

Wach le moment cinétique kytbdel ila bdelna le point O ?

Oui, car le vecteur position $\vec{OM}$ change si on change l'origine $O$ .

💡 À retenir : Le moment cinétique est toujours relatif à un point précis.

Oui, car le vecteur position $\vec{OM}$ change si on change l'origine $O$.

💡 À retenir : Le moment cinétique est toujours relatif à un point précis.

Comment calculer le moment d'une force par rapport à un axe ?

Projette la force dans le plan perpendiculaire à l'axe.
Multiplie la force par la distance perpendiculaire (bras de levier).
Donne un signe positif ou négatif selon le sens de rotation induit.

💡 À retenir : $M_\Delta = \pm F \cdot d$ .

Projette la force dans le plan perpendiculaire à l'axe.
Multiplie la force par la distance perpendiculaire (bras de levier).
Donne un signe positif ou négatif selon le sens de rotation induit.

💡 À retenir : $M_\Delta = \pm F \cdot d$.

Kifach n3ref wach l'axe dyal rotation houwa l'axe d'inertie ?

Dans le programme de TSI, on considère généralement des axes de symétrie où le moment d'inertie est constant.

💡 À retenir : Si l'axe est fixe, le calcul est simplifié.

Est-ce que le moment cinétique est un vecteur ou un scalaire ?

C'est un vecteur dans le cas général, mais on utilise sa valeur scalaire quand on étudie une rotation autour d'un axe fixe.

💡 À retenir : $\vec{L}_O$ est un vecteur, $L_\Delta$ est sa composante sur l'axe.

C'est un vecteur dans le cas général, mais on utilise sa valeur scalaire quand on étudie une rotation autour d'un axe fixe.

💡 À retenir : $\vec{L}O$ est un vecteur, $L\Delta$ est sa composante sur l'axe.

Le moment cinétique dépend-il de la masse ?

Oui, car $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge m\vec{v}$ . Plus la masse est grande, plus le moment cinétique est élevé pour une même vitesse.

💡 À retenir : La masse est un facteur multiplicatif direct.

Oui, car $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge m\vec{v}$. Plus la masse est grande, plus le moment cinétique est élevé pour une même vitesse.

💡 À retenir : La masse est un facteur multiplicatif direct.

Pourquoi on utilise le produit vectoriel ?

Parce que le moment cinétique exprime une rotation, et le produit vectoriel permet de définir une direction perpendiculaire au plan de rotation.

💡 À retenir : Le produit vectoriel donne la direction de l'axe de rotation.

Est-ce que le moment cinétique peut être nul ?

Oui, si $\vec{OM}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (le point se déplace vers ou s'éloigne du point $O$ ).

💡 À retenir : Si le mouvement passe par $O$ , le moment cinétique est nul.

Oui, si $\vec{OM}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (le point se déplace vers ou s'éloigne du point $O$).

💡 À retenir : Si le mouvement passe par $O$, le moment cinétique est nul.

Le théorème du moment cinétique est-il valable dans tous les référentiels ?

Non, il n'est strictement valable que dans les référentiels galiléens.

💡 À retenir : Toujours préciser le référentiel avant d'appliquer le TMC.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une tige homogène de masse $m$ et de longueur $l$ peut tourner sans frottement autour d'un axe horizontal $(\Delta)$ passant par une de ses extrémités. La tige est lâchée sans vitesse initiale depuis une position horizontale.

Exprimer le moment d'inertie $J_\Delta$ de la tige.
Appliquer le théorème du moment cinétique pour trouver l'équation différentielle du mouvement.

Exercice 1

Exprimer le moment d'inertie $J_\Delta$ de la tige.
Appliquer le théorème du moment cinétique pour trouver l'équation différentielle du mouvement.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un point matériel $M$ de masse $m$ est en mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ à la vitesse $v$ dans le plan $(xOy)$ .

Calculer le moment cinétique $\vec{L}_O$ par rapport au centre $O$ .
Montrer que $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{0}$ .

Exercice 2

Un point matériel $M$ de masse $m$ est en mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ à la vitesse $v$ dans le plan $(xOy)$.

Calculer le moment cinétique $\vec{L}_O$ par rapport au centre $O$.
Montrer que $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{0}$.

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Exercice 3

Une particule de masse $m$ se déplace selon une droite d'équation $y = d$ . Calculer son moment cinétique par rapport à l'origine $O(0,0)$ .

Exercice 3

Une particule de masse $m$ se déplace selon une droite d'équation $y = d$. Calculer son moment cinétique par rapport à l'origine $O(0,0)$.

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