Physique · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI

Mouvement à force centrale

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une force $\vec{F}$ est centrale par rapport à un point $O$ si elle est de la forme $\vec{F} = f(r)\vec{u}_r$ .

Moment cinétique : $\vec{L}_O = \vec{r} \wedge m\vec{v}$ . Pour une force centrale, $\vec{L}_O$ est constant.
Loi des aires : La vitesse aréolaire $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ est constante.
Énergie potentielle effective : $E_{peff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + E_p(r)$ .
Lois de Kepler :
1. Trajectoires coniques.
2. Loi des aires.
3. $T^2/a^3 = 4\pi^2/GM$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser la conservation du moment cinétique pour relier les vitesses aux distances.
Tracer le graphe de $E_{peff}(r)$ pour discuter de la nature du mouvement (borné ou non).
Appliquer le théorème de l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p = \text{cste}$ .

Exemples corrigés

Exemple : Calculer la vitesse $v$ d'un satellite en orbite circulaire de rayon $r$ . Solution : $F = G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\vec{L}_O$ est un vecteur constant (direction fixe).
Confondre l'énergie mécanique totale avec l'énergie potentielle effective.
Négliger le terme centrifuge dans l'expression de $E_{peff}$ .

L'essentiel du cours

Une force $\vec{F}$ est centrale par rapport à un point $O$ si elle est de la forme $\vec{F} = f(r)\vec{u}_r$.

Moment cinétique : $\vec{L}_O = \vec{r} \wedge m\vec{v}$. Pour une force centrale, $\vec{L}_O$ est constant.
Loi des aires : La vitesse aréolaire $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ est constante.
Énergie potentielle effective : $E_{peff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + E_p(r)$.
Lois de Kepler :
1. Trajectoires coniques.
2. Loi des aires.
3. $T^2/a^3 = 4\pi^2/GM$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser la conservation du moment cinétique pour relier les vitesses aux distances.
Tracer le graphe de $E_{peff}(r)$ pour discuter de la nature du mouvement (borné ou non).
Appliquer le théorème de l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p = \text{cste}$.

Exemples corrigés

Exemple : Calculer la vitesse $v$ d'un satellite en orbite circulaire de rayon $r$. Solution : $F = G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\vec{L}_O$ est un vecteur constant (direction fixe).
Confondre l'énergie mécanique totale avec l'énergie potentielle effective.
Négliger le terme centrifuge dans l'expression de $E_{peff}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Mouvement à force centrale

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Le moment cinétique d'un point matériel dans un champ de force centrale est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'haraka bornée wla la?

Khsek t7seb l'energie mécanique $E_m$ .
Chof l'graphe dyal $E_{peff}(r)$ .
Ila kan $E_m \geq E_{peff, min}$ w $E_m < 0$ , l'haraka katkon bornée (liha 7odoud).

💡 À retenir : L'haraka katkon bornée ila kan l'jism m7bous bin $r_{min}$ w $r_{max}$ .

Khsek t7seb l'energie mécanique $E_m$.
Chof l'graphe dyal $E_{peff}(r)$.
Ila kan $E_m \geq E_{peff, min}$ w $E_m < 0$, l'haraka katkon bornée (liha 7odoud).

💡 À retenir : L'haraka katkon bornée ila kan l'jism m7bous bin $r_{min}$ w $r_{max}$.

Pourquoi le moment cinétique est-il constant ?

Le moment de la force centrale par rapport au centre $O$ est nul : $\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{r} \wedge f(r)\vec{u}_r = \vec{0}$ .
D'après le théorème du moment cinétique, $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{0}$ .
Donc, $\vec{L}_O = \text{constante}$ .

💡 À retenir : Force centrale = Moment nul = Conservation du moment cinétique.

Le moment de la force centrale par rapport au centre $O$ est nul : $\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{r} \wedge f(r)\vec{u}_r = \vec{0}$.
D'après le théorème du moment cinétique, $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{0}$.
Donc, $\vec{L}_O = \text{constante}$.

💡 À retenir : Force centrale = Moment nul = Conservation du moment cinétique.

Chno hiya l'vitesse aréolaire?

Hiya l'mousaha li kaymseh l'rayon vecteur $OM$ f wahed l'waqt $dt$ .
Kat7seb b l'formula $dA/dt = L / (2m)$ .
Hiya constante f ga3 l'harakat l'markaziya.

💡 À retenir : L'vitesse aréolaire katbqa constante hit l'moment cinétique constant.

Hiya l'mousaha li kaymseh l'rayon vecteur $OM$ f wahed l'waqt $dt$.
Kat7seb b l'formula $dA/dt = L / (2m)$.
Hiya constante f ga3 l'harakat l'markaziya.

💡 À retenir : L'vitesse aréolaire katbqa constante hit l'moment cinétique constant.

Comment démontrer la 3ème loi de Kepler ?

Utiliser la loi des aires : $A = \pi ab = \frac{L}{2m}T$ .
Exprimer $a$ et $b$ en fonction des paramètres de l'orbite.
Élever au carré et simplifier pour obtenir $T^2/a^3 = \text{cste}$ .

💡 À retenir : $T^2/a^3 = 4\pi^2 / (GM)$ .

Utiliser la loi des aires : $A = \pi ab = \frac{L}{2m}T$.
Exprimer $a$ et $b$ en fonction des paramètres de l'orbite.
Élever au carré et simplifier pour obtenir $T^2/a^3 = \text{cste}$.

💡 À retenir : $T^2/a^3 = 4\pi^2 / (GM)$.

Est-ce que la trajectoire est toujours un cercle ?

Non, la trajectoire est une conique (ellipse, parabole ou hyperbole).
Le cercle est un cas particulier de l'ellipse (excentricité $e=0$ ).

💡 À retenir : La forme dépend de l'énergie mécanique $E_m$ .

Non, la trajectoire est une conique (ellipse, parabole ou hyperbole).
Le cercle est un cas particulier de l'ellipse (excentricité $e=0$).

💡 À retenir : La forme dépend de l'énergie mécanique $E_m$.

Kifach n7seb l'energie potentielle effective?

$E_{peff}(r) = E_c(radiale) + E_p(r)$ .
$E_{peff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + E_p(r)$ .
$E_p(r) = -GMm/r$ pour la gravitation.

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour étudier le mouvement radial.

$E_{peff}(r) = E_c(radiale) + E_p(r)$.
$E_{peff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + E_p(r)$.
$E_p(r) = -GMm/r$ pour la gravitation.

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour étudier le mouvement radial.

Quelle est la différence entre force centrale et force conservative ?

Une force centrale dépend de la position par rapport à un centre.
Une force conservative dérive d'une énergie potentielle ( $F = -\nabla E_p$ ).
Toutes les forces centrales ne sont pas forcément conservatives (ex: frottements).

💡 À retenir : En mécanique céleste, les forces sont les deux.

Une force centrale dépend de la position par rapport à un centre.
Une force conservative dérive d'une énergie potentielle ($F = -\nabla E_p$).
Toutes les forces centrales ne sont pas forcément conservatives (ex: frottements).

💡 À retenir : En mécanique céleste, les forces sont les deux.

Pourquoi le mouvement est-il plan ?

Le vecteur $\vec{L}_O$ est constant.
$\vec{L}_O = \vec{r} \wedge m\vec{v}$ , donc $\vec{r}$ est toujours perpendiculaire à $\vec{L}_O$ .
Le vecteur position reste dans un plan fixe.

💡 À retenir : Le mouvement se fait dans le plan perpendiculaire à $\vec{L}_O$ .

Le vecteur $\vec{L}_O$ est constant.
$\vec{L}_O = \vec{r} \wedge m\vec{v}$, donc $\vec{r}$ est toujours perpendiculaire à $\vec{L}_O$.
Le vecteur position reste dans un plan fixe.

💡 À retenir : Le mouvement se fait dans le plan perpendiculaire à $\vec{L}_O$.

Qu'est-ce qu'un état de diffusion ?

C'est quand l'énergie mécanique $E_m \geq 0$ .
La particule vient de l'infini et repart vers l'infini.
La trajectoire est une hyperbole ou une parabole.

💡 À retenir : $E_m \geq 0 \implies$ mouvement non borné.

C'est quand l'énergie mécanique $E_m \geq 0$.
La particule vient de l'infini et repart vers l'infini.
La trajectoire est une hyperbole ou une parabole.

💡 À retenir : $E_m \geq 0 \implies$ mouvement non borné.

Comment trouver r{min} et r{max} ?

Ce sont les points où la vitesse radiale est nulle.
On résout l'équation $E_m = E_{peff}(r)$ .
Les racines de cette équation donnent les distances extrêmes.

💡 À retenir : $E_m = \frac{L^2}{2mr^2} + E_p(r)$ .

Ce sont les points où la vitesse radiale est nulle.
On résout l'équation $E_m = E_{peff}(r)$.
Les racines de cette équation donnent les distances extrêmes.

💡 À retenir : $E_m = \frac{L^2}{2mr^2} + E_p(r)$.

Le moment cinétique dépend-il du point O ?

Oui, par définition $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge \vec{p}$ .
Si on change l'origine, le vecteur position change.
Pour une force centrale, il faut choisir le centre de force comme origine.

💡 À retenir : Toujours choisir le centre de force comme origine.

Oui, par définition $\vec{L}_O = \vec{OM} \wedge \vec{p}$.
Si on change l'origine, le vecteur position change.
Pour une force centrale, il faut choisir le centre de force comme origine.

💡 À retenir : Toujours choisir le centre de force comme origine.

Est-ce que la vitesse est constante dans une orbite elliptique ?

Non, la vitesse varie selon la distance au centre.
D'après la conservation de l'énergie, $v$ est maximale au périhélie ( $r_{min}$ ) et minimale à l'aphélie ( $r_{max}$ ).

💡 À retenir : $E_c + E_p = \text{cste}$ .

Non, la vitesse varie selon la distance au centre.
D'après la conservation de l'énergie, $v$ est maximale au périhélie ($r_{min}$) et minimale à l'aphélie ($r_{max}$).

💡 À retenir : $E_c + E_p = \text{cste}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un satellite de masse $m$ décrit une orbite circulaire de rayon $r_0$ autour de la Terre (masse $M$ ).

Exprimer la vitesse orbitale $v_0$ en fonction de $G, M, r_0$ .
On donne une impulsion au satellite, son énergie devient $E_m = -GMm / (4r_0)$ . Déterminer la nature de la nouvelle trajectoire.

Exercice 1

Un satellite de masse $m$ décrit une orbite circulaire de rayon $r_0$ autour de la Terre (masse $M$).

Exprimer la vitesse orbitale $v_0$ en fonction de $G, M, r_0$.
On donne une impulsion au satellite, son énergie devient $E_m = -GMm / (4r_0)$. Déterminer la nature de la nouvelle trajectoire.

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Exercice 2

Un corps de masse $m$ est soumis à une force centrale $\vec{F} = -k/r^2 \vec{u}_r$ .

Montrer que le moment cinétique est conservé.
Établir l'expression de l'énergie potentielle effective.

Exercice 2

Un corps de masse $m$ est soumis à une force centrale $\vec{F} = -k/r^2 \vec{u}_r$.

Montrer que le moment cinétique est conservé.
Établir l'expression de l'énergie potentielle effective.

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Exercice 3

Calculer la période de révolution d'un satellite géostationnaire sachant que $a = 42200$ km.

Exercice 3

Calculer la période de révolution d'un satellite géostationnaire sachant que $a = 42200$ km.

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