Physique · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI

Circuits linéaires du premier ordre

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Circuit RC : L'équation différentielle est de la forme $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ (charge) ou $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ (décharge), avec $\tau = RC$ .
Circuit RL : L'équation différentielle est de la forme $\tau \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R+r}$ (établissement) ou $\tau \frac{di}{dt} + i = 0$ (rupture), avec $\tau = \frac{L}{R+r}$ .
Solution générale : $x(t) = A e^{-t/\tau} + B$ .

Méthodes à maîtriser

Loi des mailles : Toujours orienter le circuit avant d'écrire les tensions.
Continuité : $u_C$ est continue à tout instant ; $i$ est continue dans une bobine.
Détermination de $\tau$ : Par la tangente à l'origine ou par la valeur $0,63 E$ (RC) ou $0,63 I_{max}$ (RL).

Exemples corrigés

RC : Pour $t=\tau$ , $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 E$ .
RL : Pour $t=\tau$ , $i(\tau) = I_{max}(1 - e^{-1}) \approx 0,63 I_{max}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine.
Confondre le sens du courant et la convention récepteur.
Se tromper dans le signe de la dérivée lors de l'établissement de l'équation.

L'essentiel du cours

Circuit RC : L'équation différentielle est de la forme $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ (charge) ou $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ (décharge), avec $\tau = RC$.
Circuit RL : L'équation différentielle est de la forme $\tau \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R+r}$ (établissement) ou $\tau \frac{di}{dt} + i = 0$ (rupture), avec $\tau = \frac{L}{R+r}$.
Solution générale : $x(t) = A e^{-t/\tau} + B$.

Méthodes à maîtriser

Loi des mailles : Toujours orienter le circuit avant d'écrire les tensions.
Continuité : $u_C$ est continue à tout instant ; $i$ est continue dans une bobine.
Détermination de $\tau$ : Par la tangente à l'origine ou par la valeur $0,63 E$ (RC) ou $0,63 I_{max}$ (RL).

Exemples corrigés

RC : Pour $t=\tau$, $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 E$.
RL : Pour $t=\tau$, $i(\tau) = I_{max}(1 - e^{-1}) \approx 0,63 I_{max}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine.
Confondre le sens du courant et la convention récepteur.
Se tromper dans le signe de la dérivée lors de l'établissement de l'équation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Circuits linéaires du premier ordre

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Dans un circuit RC, la constante de temps est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la constante de temps tau physiquement ?

La constante de temps $\tau$ représente la durée caractéristique de l'évolution du système.
Elle indique la rapidité avec laquelle le circuit atteint son régime permanent.
Plus $\tau$ est grande, plus le circuit est lent à réagir.

💡 À retenir : $\tau$ s'exprime en secondes (s) et correspond au temps nécessaire pour que le système atteigne environ 63% de sa valeur finale.

La constante de temps $\tau$ représente la durée caractéristique de l'évolution du système.
Elle indique la rapidité avec laquelle le circuit atteint son régime permanent.
Plus $\tau$ est grande, plus le circuit est lent à réagir.

💡 À retenir : $\tau$ s'exprime en secondes (s) et correspond au temps nécessaire pour que le système atteigne environ 63% de sa valeur finale.

Kifach n7seb tau ghir mn l'mbiroana (graphique) ?

Trace la tangente à la courbe à l'instant $t=0$ .
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (valeur finale) donne l'abscisse $\tau$ .
Alternativement, cherche l'instant où la valeur atteint $63\%$ de la valeur maximale.

💡 À retenir : La méthode de la tangente est la plus précise graphiquement.

Trace la tangente à la courbe à l'instant $t=0$.
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (valeur finale) donne l'abscisse $\tau$.
Alternativement, cherche l'instant où la valeur atteint $63%$ de la valeur maximale.

💡 À retenir : La méthode de la tangente est la plus précise graphiquement.

Est-ce que la bobine est toujours idéale ?

Non, une bobine réelle possède une inductance $L$ et une résistance interne $r$ . Il faut toujours vérifier si l'énoncé précise "bobine idéale" ( $r=0$ ) ou "bobine réelle" ( $r \neq 0$ ).

💡 À retenir : En cas de doute, utilise $R_{totale} = R + r$ .

Non, une bobine réelle possède une inductance $L$ et une résistance interne $r$. Il faut toujours vérifier si l'énoncé précise "bobine idéale" ($r=0$) ou "bobine réelle" ($r \neq 0$).

💡 À retenir : En cas de doute, utilise $R_{totale} = R + r$.

Chno hiya l'far9 bin régime transitoire o permanent ?

Régime transitoire : C'est la phase où les grandeurs électriques (u, i) varient en fonction du temps.
Régime permanent : C'est la phase où les grandeurs deviennent constantes (elles ne dépendent plus du temps).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint théoriquement pour $t > 5\tau$ .

Régime transitoire : C'est la phase où les grandeurs électriques (u, i) varient en fonction du temps.
Régime permanent : C'est la phase où les grandeurs deviennent constantes (elles ne dépendent plus du temps).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint théoriquement pour $t > 5\tau$.

Pourquoi on dit que uC est continue ?

Parce que l'énergie emmagasinée dans le condensateur $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ ne peut pas varier instantanément, car cela nécessiterait une puissance infinie.

💡 À retenir : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ .

Parce que l'énergie emmagasinée dans le condensateur $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ ne peut pas varier instantanément, car cela nécessiterait une puissance infinie.

💡 À retenir : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$.

Kifach n3ref wach l'circuit fih charge awla décharge ?

Regarde la source : si le circuit est branché à un générateur $E$ , c'est une charge.
Si le circuit est isolé du générateur (ou court-circuité), c'est une décharge.

💡 À retenir : La présence d'un générateur impose une valeur finale non nulle.

Regarde la source : si le circuit est branché à un générateur $E$, c'est une charge.
Si le circuit est isolé du générateur (ou court-circuité), c'est une décharge.

💡 À retenir : La présence d'un générateur impose une valeur finale non nulle.

Est-ce que tau dépend de la tension du générateur ?

Non, $\tau$ ne dépend que des caractéristiques des composants du circuit ( $R, C$ ou $L, r$ ).

💡 À retenir : $\tau$ est une propriété intrinsèque du circuit, pas de la source.

Non, $\tau$ ne dépend que des caractéristiques des composants du circuit ($R, C$ ou $L, r$).

💡 À retenir : $\tau$ est une propriété intrinsèque du circuit, pas de la source.

Comment démontrer l'équation différentielle ?

Applique la loi des mailles.
Remplace les tensions par leurs expressions ( $u_R = Ri$ , $u_C = q/C$ , $u_L = L di/dt$ ).
Exprime tout en fonction de la variable demandée ( $u_C$ ou $i$ ).

💡 À retenir : La loi des mailles est la clé de voûte de tous les circuits.

Applique la loi des mailles.
Remplace les tensions par leurs expressions ($u_R = Ri$, $u_C = q/C$, $u_L = L di/dt$).
Exprime tout en fonction de la variable demandée ($u_C$ ou $i$).

💡 À retenir : La loi des mailles est la clé de voûte de tous les circuits.

Est-ce que la résistance R change la valeur finale ?

Oui, dans un circuit RL, $I_{max} = E / (R+r)$ . Si $R$ augmente, $I_{max}$ diminue. Dans un circuit RC, la valeur finale $E$ ne dépend pas de $R$ .

💡 À retenir : $R$ influence la vitesse ( $\tau$ ) et parfois l'amplitude ( $I_{max}$ ).

Oui, dans un circuit RL, $I_{max} = E / (R+r)$. Si $R$ augmente, $I_{max}$ diminue. Dans un circuit RC, la valeur finale $E$ ne dépend pas de $R$.

💡 À retenir : $R$ influence la vitesse ($\tau$) et parfois l'amplitude ($I_{max}$).

Est-ce que l'énergie est conservée dans un circuit RL ?

Non, une partie de l'énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ et la résistance interne $r$ de la bobine.

💡 À retenir : L'énergie totale diminue au cours du temps.

Non, une partie de l'énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ et la résistance interne $r$ de la bobine.

💡 À retenir : L'énergie totale diminue au cours du temps.

Chno l'unite dyal tau ?

L'unité de $\tau$ est la seconde (s).

💡 À retenir : Analyse dimensionnelle : $[RC] = [L/R] = T$ .

L'unité de $\tau$ est la seconde (s).

💡 À retenir : Analyse dimensionnelle : $[RC] = [L/R] = T$.

Est-ce que le condensateur se charge instantanément ?

Non, le processus de charge prend un temps fini, théoriquement infini, mais pratiquement $5\tau$ .

💡 À retenir : La charge est un processus temporel régi par l'équation différentielle.

Non, le processus de charge prend un temps fini, théoriquement infini, mais pratiquement $5\tau$.

💡 À retenir : La charge est un processus temporel régi par l'équation différentielle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RC série comprend un générateur de tension $E=6V$ , un conducteur ohmique de résistance $R=1k\Omega$ et un condensateur de capacité $C=100\mu F$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Déterminer $\tau$ .
Calculer $u_C$ à $t = \tau$ .

Exercice 1

Un circuit RC série comprend un générateur de tension $E=6V$, un conducteur ohmique de résistance $R=1k\Omega$ et un condensateur de capacité $C=100\mu F$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Déterminer $\tau$.
Calculer $u_C$ à $t = \tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un circuit RL comporte une bobine ( $L=0,5H, r=10\Omega$ ) et une résistance $R=90\Omega$ en série avec un générateur $E=10V$ .

Établir l'équation différentielle en $i(t)$ .
Déterminer $I_{max}$ en régime permanent.
Calculer $\tau$ .

Exercice 2

Un circuit RL comporte une bobine ($L=0,5H, r=10\Omega$) et une résistance $R=90\Omega$ en série avec un générateur $E=10V$.

Établir l'équation différentielle en $i(t)$.
Déterminer $I_{max}$ en régime permanent.
Calculer $\tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

On décharge un condensateur chargé sous $E=12V$ à travers une résistance $R$ . On mesure $\tau = 20ms$ .

Quelle est l'équation différentielle de la décharge ?
Donner l'expression de $u_C(t)$ .
À quel instant $t$ la tension vaut-elle $1V$ ?

Exercice 3

On décharge un condensateur chargé sous $E=12V$ à travers une résistance $R$. On mesure $\tau = 20ms$.

Quelle est l'équation différentielle de la décharge ?
Donner l'expression de $u_C(t)$.
À quel instant $t$ la tension vaut-elle $1V$ ?

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