Physique · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI
Mouvement de particules chargées
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
La force de Lorentz s'exprime par : $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$.
Si $\vec{B} = \vec{0}$ : Mouvement rectiligne uniformément varié (accélération constante).
Si $\vec{E} = \vec{0}$ : La force magnétique $\vec{F}_m = q\vec{v} \wedge \vec{B}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$, donc le travail est nul : l'énergie cinétique est conservée ($v = cste$).
Dans un champ $\vec{B}$ uniforme, la trajectoire est circulaire (si $\vec{v} \perp \vec{B}$) ou hélicoïdale.
Méthodes à maîtriser
Appliquer le PFD : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
Choisir un repère adapté (souvent Frenet pour les trajectoires courbes).
Utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration.
Établir l'équation différentielle du mouvement.
Exemples corrigés
Exemple : Particule de charge $q$ entrant perpendiculairement dans un champ $\vec{B}$.
Le PFD donne $q(\vec{v} \wedge \vec{B}) = m\vec{a}$. Comme $\vec{a} = \frac{v^2}{R}\vec{n}$, on trouve $R = \frac{mv}{|q|B}$.
Erreurs fréquentes
Oublier que la force magnétique ne travaille pas.
Confondre le sens du produit vectoriel (règle de la main droite).
Négliger le poids sans justification (souvent négligeable devant la force électrique).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Chno hiya l'farq bin l'force électrique w l'force magnétique f l'mouvement?
La force électrique $\vec{F}_e = q\vec{E}$ peut modifier la norme de la vitesse (accélérer ou freiner).
La force magnétique $\vec{F}_m = q\vec{v} \wedge \vec{B}$ modifie uniquement la direction de la vitesse, pas sa norme, car elle est toujours perpendiculaire au déplacement.
💡 À retenir : Seule la force électrique travaille, la force magnétique dévie la trajectoire sans changer l'énergie cinétique.
Kifach n7seb l'rayon dial l'masar f champ magnétique?
Applique le PFD : $m\vec{a} = q\vec{v} \wedge \vec{B}$.
Projette sur le vecteur normal $\vec{n}$ du repère de Frenet.
Utilise $a = \frac{v^2}{R}$ et la norme du produit vectoriel $|\vec{v} \wedge \vec{B}| = vB \sin(\theta)$.
Isole $R$ : $R = \frac{mv}{|q|B \sin(\theta)}$.
💡 À retenir : Si $\vec{v} \perp \vec{B}$, alors $R = \frac{mv}{|q|B}$.
Wach l'wazn dima kan-hmlouh f had l'chapiitre?
Oui, dans la majorité des exercices sur les particules chargées (électrons, protons), le poids $P = mg$ est négligeable devant la force de Lorentz car la masse est extrêmement faible ($10^{-31}$ kg pour l'électron).
💡 À retenir : Justifie toujours par « $F_{Lorentz} \gg P$ » avant de négliger le poids.
Quelle est la condition pour que la trajectoire soit rectiligne dans un champ électromagnétique croisé ?
La force totale doit être nulle : $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) = \vec{0}$. Il faut donc $\vec{E} = - \vec{v} \wedge \vec{B}$.
💡 À retenir : Cela impose une vitesse spécifique $v = E/B$.
Pourquoi la période de révolution est-elle indépendante de la vitesse ?
Le rayon $R = \frac{mv}{qB}$ et la vitesse $v$ sont proportionnels. La période $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$.
💡 À retenir : La période dépend uniquement de la masse, de la charge et du champ magnétique.
Comment déterminer le signe de la charge q ?
Utilise la règle de la main droite pour le produit vectoriel $\vec{v} \wedge \vec{B}$ et compare avec le sens de la déviation observée. Si la déviation est opposée à la force magnétique théorique pour une charge positive, alors $q < 0$.
💡 À retenir : Le signe de $q$ inverse le sens de la force.
Est-ce que l'énergie cinétique change dans un champ magnétique uniforme ?
Non, car le travail de la force magnétique est nul ($W = \int \vec{F}_m \cdot d\vec{l} = 0$ car $\vec{F}_m \perp \vec{v}$).
💡 À retenir : $E_c = \frac{1}{2}mv^2 = cste$.
Comment se comporte une particule si vec{v} n'est pas perpendiculaire à vec{B} ?
Le mouvement est hélicoïdal. On décompose $\vec{v}$ en $\vec{v}{//}$ (parallèle à $\vec{B}$) et $\vec{v}{\perp}$ (perpendiculaire). $\vec{v}{//}$ reste constante et $\vec{v}{\perp}$ subit une rotation.
💡 À retenir : Le pas de l'hélice est $p = v_{//} \cdot T$.
Quelle est l'unité de B dans le système international ?
L'unité est le Tesla (T).
💡 À retenir : $1 T = 1 N \cdot s \cdot C^{-1} \cdot m^{-1}$.
Est-ce que le champ électrique peut dévier une particule ?
Oui, comme dans le tube cathodique, le champ électrique exerce une force $\vec{F}_e = q\vec{E}$ qui courbe la trajectoire (trajectoire parabolique).
💡 À retenir : Analogie avec la chute libre dans un champ de pesanteur.
Comment fonctionne un spectromètre de masse ?
Il utilise un champ magnétique pour séparer les ions selon leur rapport masse/charge ($m/q$). Comme $R = \frac{mv}{qB}$, deux ions de masses différentes auront des rayons de courbure différents.
💡 À retenir : Plus la masse est grande, plus le rayon est grand.
Est-ce qu'une particule au repos peut être mise en mouvement par un champ magnétique ?
Non, car si $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{F}_m = q(\vec{0} \wedge \vec{B}) = \vec{0}$.
💡 À retenir : Un champ magnétique ne peut pas mettre en mouvement une particule immobile.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Un électron ($m = 9,1 \times 10^{-31}$ kg, $q = -e = -1,6 \times 10^{-19}$ C) pénètre en $O$ avec une vitesse $\vec{v}_0 = v_0 \vec{i}$ dans une région où règne un champ magnétique uniforme $\vec{B} = B \vec{k}$.
Établir l'équation du mouvement.
Déterminer la nature de la trajectoire.
Calculer le rayon $R$ si $v_0 = 10^6$ m/s et $B = 0,1$ T.
Si B=0 : Mouvement rectiligne uniformément varié (accélération constante).
Si E=0 : La force magnétique Fm=qv∧B est perpendiculaire à v, donc le travail est nul : l'énergie cinétique est conservée (v=cste).
Dans un champ B uniforme, la trajectoire est circulaire (si v⊥B) ou hélicoïdale.
Méthodes à maîtriser
Appliquer le PFD : ∑F=ma.
Choisir un repère adapté (souvent Frenet pour les trajectoires courbes).
Utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration.
Établir l'équation différentielle du mouvement.
Exemples corrigés
Exemple : Particule de charge q entrant perpendiculairement dans un champ B.
Le PFD donne q(v∧B)=ma. Comme a=Rv2n, on trouve R=∣q∣Bmv.
Erreurs fréquentes
Oublier que la force magnétique ne travaille pas.
Confondre le sens du produit vectoriel (règle de la main droite).
Négliger le poids sans justification (souvent négligeable devant la force électrique).
F=qE
F=qv∧B
F=q(E+v∧B)
F=ma
La force électrique Fe=qE peut modifier la norme de la vitesse (accélérer ou freiner).
La force magnétique Fm=qv∧B modifie uniquement la direction de la vitesse, pas sa norme, car elle est toujours perpendiculaire au déplacement.
💡 À retenir : Seule la force électrique travaille, la force magnétique dévie la trajectoire sans changer l'énergie cinétique.
Applique le PFD : ma=qv∧B.
Projette sur le vecteur normal n du repère de Frenet.
Utilise a=Rv2 et la norme du produit vectoriel ∥v∧B∥=vBsin(θ).
Isole R : R=∣q∣Bsin(θ)mv.
💡 À retenir : Si v⊥B, alors R=∣q∣Bmv.
Oui, dans la majorité des exercices sur les particules chargées (électrons, protons), le poids P=mg est négligeable devant la force de Lorentz car la masse est extrêmement faible (10−31 kg pour l'électron).
💡 À retenir : Justifie toujours par « FLorentz≫P » avant de négliger le poids.
La force totale doit être nulle : F=q(E+v∧B)=0. Il faut donc E=−v∧B.
💡 À retenir : Cela impose une vitesse spécifique v=E/B.
Le rayon R=qBmv et la vitesse v sont proportionnels. La période T=v2πR=qB2πm.
💡 À retenir : La période dépend uniquement de la masse, de la charge et du champ magnétique.
Utilise la règle de la main droite pour le produit vectoriel v∧B et compare avec le sens de la déviation observée. Si la déviation est opposée à la force magnétique théorique pour une charge positive, alors q<0.
💡 À retenir : Le signe de q inverse le sens de la force.
Non, car le travail de la force magnétique est nul (W=∫Fm⋅dl=0 car Fm⊥v).
💡 À retenir : Ec=21mv2=cste.
Le mouvement est hélicoïdal. On décompose v en v// (parallèle à B) et v⊥ (perpendiculaire). v// reste constante et v⊥ subit une rotation.
💡 À retenir : Le pas de l'hélice est p=v//⋅T.
L'unité est le Tesla (T).
💡 À retenir : 1T=1N⋅s⋅C−1⋅m−1.
Oui, comme dans le tube cathodique, le champ électrique exerce une force Fe=qE qui courbe la trajectoire (trajectoire parabolique).
💡 À retenir : Analogie avec la chute libre dans un champ de pesanteur.
Il utilise un champ magnétique pour séparer les ions selon leur rapport masse/charge (m/q). Comme R=qBmv, deux ions de masses différentes auront des rayons de courbure différents.
💡 À retenir : Plus la masse est grande, plus le rayon est grand.
Non, car si v=0, alors Fm=q(0∧B)=0.
💡 À retenir : Un champ magnétique ne peut pas mettre en mouvement une particule immobile.
Exercice 1
Un électron (m=9,1×10−31 kg, q=−e=−1,6×10−19 C) pénètre en O avec une vitesse v0=v0i dans une région où règne un champ magnétique uniforme B=Bk.
Établir l'équation du mouvement.
Déterminer la nature de la trajectoire.
Calculer le rayon R si v0=106 m/s et B=0,1 T.
Exercice 2
Une particule chargée q entre dans un condensateur plan (champ E=Ej) avec une vitesse v0=v0i.
Établir les équations horaires x(t) et y(t).
Déterminer l'équation de la trajectoire.
Exercice 3
Déterminer la vitesse v d'un proton (mp,qp) pour qu'il ne soit pas dévié par un filtre de Wien (E,B perpendiculaires).