Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Physique statistique : Applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La physique statistique permet de relier les propriétés microscopiques d'un système à ses grandeurs macroscopiques ( $U, S, F, P$ ).

Ensemble canonique : Système en équilibre thermique avec un thermostat à température $T$ .
Fonction de partition : $Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i}$ avec $\beta = \frac{1}{k_B T}$ .
Énergie libre : $F = -k_B T \ln Z$ .
Applications : Gaz parfait monoatomique, paramagnétisme de Langevin, oscillateur harmonique quantique.

Méthodes à maîtriser

Calcul de $Z$ : Identifier les niveaux d'énergie $E_i$ et leur dégénérescence $g_i$ .
Calcul des grandeurs : Utiliser $U = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$ et $S = k_B \ln Z + \frac{U}{T}$ .
Limite classique : Vérifier si $k_B T \gg \Delta E$ pour appliquer les approximations usuelles.

Exemples corrigés

Système à 2 niveaux : $E_0=0, E_1=\epsilon$ . $Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}$ . $U = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}$ .
Gaz parfait : $Z = \frac{1}{N!} (\frac{V}{\lambda_{th}^3})^N$ avec $\lambda_{th} = \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m k_B T}}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur de dégénérescence $g_i$ dans la somme.
Confondre la fonction de partition d'un système de $N$ particules indiscernables avec celle d'une particule ( $Z_N = \frac{Z_1^N}{N!}$ ).
Erreur de signe dans l'expression de $F$ ou $S$ .

L'essentiel du cours

La physique statistique permet de relier les propriétés microscopiques d'un système à ses grandeurs macroscopiques ($U, S, F, P$).

Ensemble canonique : Système en équilibre thermique avec un thermostat à température $T$.
Fonction de partition : $Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i}$ avec $\beta = \frac{1}{k_B T}$.
Énergie libre : $F = -k_B T \ln Z$.
Applications : Gaz parfait monoatomique, paramagnétisme de Langevin, oscillateur harmonique quantique.

Méthodes à maîtriser

Calcul de $Z$ : Identifier les niveaux d'énergie $E_i$ et leur dégénérescence $g_i$.
Calcul des grandeurs : Utiliser $U = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$ et $S = k_B \ln Z + \frac{U}{T}$.
Limite classique : Vérifier si $k_B T \gg \Delta E$ pour appliquer les approximations usuelles.

Exemples corrigés

Système à 2 niveaux : $E_0=0, E_1=\epsilon$. $Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}$. $U = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}$.
Gaz parfait : $Z = \frac{1}{N!} (\frac{V}{\lambda_{th}^3})^N$ avec $\lambda_{th} = \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m k_B T}}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur de dégénérescence $g_i$ dans la somme.
Confondre la fonction de partition d'un système de $N$ particules indiscernables avec celle d'une particule ($Z_N = \frac{Z_1^N}{N!}$).
Erreur de signe dans l'expression de $F$ ou $S$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Physique statistique : Applications

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Pour un système à 2 niveaux ( $0, \epsilon$ ), la probabilité de l'état fondamental est :

Pour un système à 2 niveaux ($0, \epsilon$), la probabilité de l'état fondamental est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre ensemble microcanonique et canonique ?

Microcanonique : Système isolé ( $E$ fixe, $N$ fixe, $V$ fixe). On compte le nombre d'états accessibles $\Omega$ .
Canonique : Système en contact avec un thermostat ( $T$ fixe, $N$ fixe, $V$ fixe). On utilise la fonction de partition $Z$ .

💡 À retenir : Le choix dépend des contraintes imposées au système.

Microcanonique : Système isolé ($E$ fixe, $N$ fixe, $V$ fixe). On compte le nombre d'états accessibles $\Omega$.
Canonique : Système en contact avec un thermostat ($T$ fixe, $N$ fixe, $V$ fixe). On utilise la fonction de partition $Z$.

💡 À retenir : Le choix dépend des contraintes imposées au système.

Kifach n7seb Z ila kan 3ndi bzaf d-l-jousay'at?

Si les particules sont indépendantes et indiscernables : $Z_N = \frac{1}{N!} (Z_1)^N$ .
Si elles sont discernables : $Z_N = (Z_1)^N$ .

💡 À retenir : L'indiscernabilité divise par $N!$ pour éviter de compter plusieurs fois la même configuration.

Si les particules sont indépendantes et indiscernables : $Z_N = \frac{1}{N!} (Z_1)^N$.
Si elles sont discernables : $Z_N = (Z_1)^N$.

💡 À retenir : L'indiscernabilité divise par $N!$ pour éviter de compter plusieurs fois la même configuration.

Est-ce que l'énergie libre F est toujours positive ?

Non, $F = U - TS$ . Elle peut être négative car $TS$ peut être supérieur à $U$ .

💡 À retenir : $F$ est minimisée à l'équilibre pour un système à $T$ constante.

Non, $F = U - TS$. Elle peut être négative car $TS$ peut être supérieur à $U$.

💡 À retenir : $F$ est minimisée à l'équilibre pour un système à $T$ constante.

Chno hiya l-fayda d-l-fonction de partition?

Hiya l-miftah li kaysm7 lina n-stakhro ga3 l-maqadir (U, S, P, F) ghi mn l-ihtimalat d-l-halat d-t-taqa.

💡 À retenir : $Z$ contient toute l'information statistique du système.

Hiya l-miftah li kaysm7 lina n-stakhro ga3 l-maqadir (U, S, P, F) ghi mn l-ihtimalat d-l-halat d-t-taqa.

💡 À retenir : $Z$ contient toute l'information statistique du système.

Comment calculer la pression à partir de Z ?

On utilise la relation $P = -\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_{T,N} = k_B T \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right)_{T,N}$ .

💡 À retenir : La pression est liée à la variation de l'énergie libre avec le volume.

On utilise la relation $P = -\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right){T,N} = k_B T \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right){T,N}$.

💡 À retenir : La pression est liée à la variation de l'énergie libre avec le volume.

Kifach n3ref wach nkhdm b-Fermi-Dirac aw Bose-Einstein?

Fermi-Dirac : Pour les fermions (spin demi-entier, ex: électrons).
Bose-Einstein : Pour les bosons (spin entier, ex: photons).

💡 À retenir : Le spin détermine la statistique quantique applicable.

Pourquoi on divise par N! pour le gaz parfait ?

Parce que les molécules d'un gaz sont indiscernables. Permuter deux molécules ne change pas l'état physique du système.

💡 À retenir : $N!$ corrige le surcomptage des états identiques.

Parce que les molécules d'un gaz sont indiscernables. Permuter deux molécules ne change pas l'état physique du système.

💡 À retenir : $N!$ corrige le surcomptage des états identiques.

Quelle est la limite de validité de la statistique de Maxwell-Boltzmann ?

Elle est valable quand la densité est faible et la température élevée, de sorte que le recouvrement des fonctions d'onde est négligeable.

💡 À retenir : C'est la limite classique des statistiques quantiques.

L'entropie peut-elle être négative ?

Non, selon le troisième principe de la thermodynamique, $S \to 0$ quand $T \to 0$ .

💡 À retenir : L'entropie mesure le désordre, elle est toujours positive ou nulle.

Non, selon le troisième principe de la thermodynamique, $S \to 0$ quand $T \to 0$.

💡 À retenir : L'entropie mesure le désordre, elle est toujours positive ou nulle.

Est-ce que U dépend de V pour un gaz parfait ?

Non, pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$ ( $U = \frac{3}{2} N k_B T$ ).

💡 À retenir : Pas d'interactions entre particules = pas d'énergie potentielle d'interaction.

Non, pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$ ($U = \frac{3}{2} N k_B T$).

💡 À retenir : Pas d'interactions entre particules = pas d'énergie potentielle d'interaction.

Comment trouver la probabilité d'un état i ?

La probabilité est donnée par $P_i = \frac{1}{Z} e^{-\beta E_i}$ .

💡 À retenir : La somme des probabilités est égale à 1 par définition de $Z$ .

La probabilité est donnée par $P_i = \frac{1}{Z} e^{-\beta E_i}$.

💡 À retenir : La somme des probabilités est égale à 1 par définition de $Z$.

Est-ce que la température peut être négative ?

Dans des systèmes très spécifiques avec un nombre fini de niveaux d'énergie (ex: spins), on peut définir une température négative. (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : C'est un cas particulier hors du cadre classique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un système possède deux niveaux d'énergie $E_0 = 0$ et $E_1 = \epsilon > 0$ . Le système est en contact avec un thermostat à température $T$ .

Calculer la fonction de partition $Z$ .
Calculer l'énergie moyenne $U$ .
Déterminer la limite de $U$ quand $T \to \infty$ .

Exercice 1

Un système possède deux niveaux d'énergie $E_0 = 0$ et $E_1 = \epsilon > 0$. Le système est en contact avec un thermostat à température $T$.

Calculer la fonction de partition $Z$.
Calculer l'énergie moyenne $U$.
Déterminer la limite de $U$ quand $T \to \infty$.

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Exercice 2

Soit un système de $N$ particules discernables indépendantes, chacune ayant deux niveaux d'énergie $0$ et $\epsilon$ .

Exprimer $Z_N$ en fonction de $Z_1$ .
Calculer l'entropie $S$ du système.

Exercice 2

Soit un système de $N$ particules discernables indépendantes, chacune ayant deux niveaux d'énergie $0$ et $\epsilon$.

Exprimer $Z_N$ en fonction de $Z_1$.
Calculer l'entropie $S$ du système.

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Exercice 3

Un gaz parfait monoatomique de $N$ particules dans un volume $V$ à température $T$ .

Donner l'expression de $Z_N$ .
En déduire l'équation d'état $PV = N k_B T$ .

Exercice 3

Un gaz parfait monoatomique de $N$ particules dans un volume $V$ à température $T$.

Donner l'expression de $Z_N$.
En déduire l'équation d'état $PV = N k_B T$.

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