Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Physique statistique : Fondements

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La physique statistique fait le pont entre le microscopique et le macroscopique.

Le postulat fondamental : Pour un système isolé à l'équilibre, tous les micro-états accessibles sont équiprobables.
La multiplicité $\Omega$ : C'est le nombre de micro-états correspondant à un macro-état donné.
L'entropie de Boltzmann : $S = k_B \ln \Omega$ , où $k_B$ est la constante de Boltzmann.
La fonction de partition : $Z = \sum_i e^{-\beta E_i}$ avec $\beta = \frac{1}{k_B T}$ . Elle permet de calculer l'énergie moyenne $\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Savoir calculer $\Omega$ pour des systèmes simples (ex: particules sur des sites).
Calcul de Z : Savoir sommer la série pour des systèmes à deux niveaux d'énergie.
Passage aux grandeurs macroscopiques : Utiliser les relations $F = -k_B T \ln Z$ (énergie libre) et $S = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V$ .

Exemples corrigés

Système à 2 niveaux (0 et $\epsilon$ ) : $Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}$ . L'énergie moyenne est $\langle E \rangle = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}$ .
Gaz parfait : Utilisation de la statistique de Maxwell-Boltzmann pour retrouver la loi des gaz parfaits.

Erreurs fréquentes

Confondre $\Omega$ (nombre de micro-états) et $P$ (probabilité).
Oublier le signe moins dans la dérivée de $\ln Z$ .
Négliger l'unité de $k_B$ ( $J \cdot K^{-1}$ ) dans les applications numériques.

L'essentiel du cours

La physique statistique fait le pont entre le microscopique et le macroscopique.

Le postulat fondamental : Pour un système isolé à l'équilibre, tous les micro-états accessibles sont équiprobables.
La multiplicité $\Omega$ : C'est le nombre de micro-états correspondant à un macro-état donné.
L'entropie de Boltzmann : $S = k_B \ln \Omega$, où $k_B$ est la constante de Boltzmann.
La fonction de partition : $Z = \sum_i e^{-\beta E_i}$ avec $\beta = \frac{1}{k_B T}$. Elle permet de calculer l'énergie moyenne $\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Savoir calculer $\Omega$ pour des systèmes simples (ex: particules sur des sites).
Calcul de Z : Savoir sommer la série pour des systèmes à deux niveaux d'énergie.
Passage aux grandeurs macroscopiques : Utiliser les relations $F = -k_B T \ln Z$ (énergie libre) et $S = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V$.

Exemples corrigés

Système à 2 niveaux (0 et $\epsilon$) : $Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}$. L'énergie moyenne est $\langle E \rangle = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}$.
Gaz parfait : Utilisation de la statistique de Maxwell-Boltzmann pour retrouver la loi des gaz parfaits.

Erreurs fréquentes

Confondre $\Omega$ (nombre de micro-états) et $P$ (probabilité).
Oublier le signe moins dans la dérivée de $\ln Z$.
Négliger l'unité de $k_B$ ($J \cdot K^{-1}$) dans les applications numériques.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Physique statistique : Fondements

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Quelle est l'unité de l'entropie dans le système international ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre micro-état et macro-état ?

Le micro-état décrit la position et l'impulsion de chaque particule individuellement.
Le macro-état est défini par des variables globales comme $P, V, T$ ou $N$ .
Plusieurs micro-états peuvent correspondre à un seul macro-état.

💡 À retenir : Le macro-état est ce qu'on mesure, le micro-état est ce qu'on calcule statistiquement.

Le micro-état décrit la position et l'impulsion de chaque particule individuellement.
Le macro-état est défini par des variables globales comme $P, V, T$ ou $N$.
Plusieurs micro-états peuvent correspondre à un seul macro-état.

💡 À retenir : Le macro-état est ce qu'on mesure, le micro-état est ce qu'on calcule statistiquement.

Kifach n7seb l'entropie ila 3ndna Omega ?

Tu utilises la formule de Boltzmann : $S = k_B \ln \Omega$ .
Assure-toi que $\Omega$ est un nombre sans unité.
$k_B \approx 1,38 \cdot 10^{-23} J/K$ .

💡 À retenir : L'entropie mesure le désordre ; plus $\Omega$ est grand, plus $S$ est grande.

Tu utilises la formule de Boltzmann : $S = k_B \ln \Omega$.
Assure-toi que $\Omega$ est un nombre sans unité.
$k_B \approx 1,38 \cdot 10^{-23} J/K$.

💡 À retenir : L'entropie mesure le désordre ; plus $\Omega$ est grand, plus $S$ est grande.

Chno hiya l'utilité dyal la fonction de partition Z ?

Elle regroupe toutes les informations statistiques du système.
Elle permet de calculer l'énergie moyenne, l'entropie et la pression.
C'est la somme pondérée des probabilités de présence dans chaque état.

💡 À retenir : Z est la "clé" qui permet de passer du microscopique au macroscopique.

Pourquoi on utilise beta au lieu de T ?

$\beta = 1/(k_B T)$ simplifie énormément les calculs mathématiques (exponentielles).
Cela permet d'utiliser les dérivées par rapport à $\beta$ pour extraire les valeurs moyennes.

💡 À retenir : $\beta$ est la variable conjuguée de l'énergie dans le formalisme statistique.

$\beta = 1/(k_B T)$ simplifie énormément les calculs mathématiques (exponentielles).
Cela permet d'utiliser les dérivées par rapport à $\beta$ pour extraire les valeurs moyennes.

💡 À retenir : $\beta$ est la variable conjuguée de l'énergie dans le formalisme statistique.

Chno hiya l'hypothese dyal l'equiprobabilité ?

C'est le postulat de base : dans un système isolé, aucun état n'est privilégié.
Tous les états ayant la même énergie ont la même probabilité d'exister.

💡 À retenir : Sans cette hypothèse, on ne peut pas définir la probabilité statistique.

Comment calculer la probabilité d'un état i ?

La probabilité $p_i$ est donnée par $p_i = \frac{1}{Z} e^{-\beta E_i}$ .
On vérifie toujours que la somme des $p_i$ est égale à 1.

💡 À retenir : C'est la loi de Boltzmann.

La probabilité $p_i$ est donnée par $p_i = \frac{1}{Z} e^{-\beta E_i}$.
On vérifie toujours que la somme des $p_i$ est égale à 1.

💡 À retenir : C'est la loi de Boltzmann.

Est-ce que l'entropie peut être négative ?

Non, car $\Omega \ge 1$ , donc $\ln \Omega \ge 0$ .
L'entropie est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $S \ge 0$ est une conséquence directe de la définition de Boltzmann.

Non, car $\Omega \ge 1$, donc $\ln \Omega \ge 0$.
L'entropie est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $S \ge 0$ est une conséquence directe de la définition de Boltzmann.

Kifach n3ref wach systeme f'equilibre ?

Un système est à l'équilibre quand ses variables macroscopiques ne changent plus.
Statistiquement, c'est l'état qui maximise l'entropie $S$ .

💡 À retenir : L'équilibre correspond au maximum de multiplicité $\Omega$ .

Un système est à l'équilibre quand ses variables macroscopiques ne changent plus.
Statistiquement, c'est l'état qui maximise l'entropie $S$.

💡 À retenir : L'équilibre correspond au maximum de multiplicité $\Omega$.

C'est quoi un ensemble microcanonique ?

C'est un système isolé : $E, V, N$ sont constants.
C'est le cadre de base pour définir l'entropie.

💡 À retenir : Pas d'échange d'énergie avec l'extérieur.

C'est un système isolé : $E, V, N$ sont constants.
C'est le cadre de base pour définir l'entropie.

💡 À retenir : Pas d'échange d'énergie avec l'extérieur.

Pourquoi on utilise le logarithme dans S = k ln Omega ?

Pour que l'entropie soit une grandeur extensive (additive).
Si on a deux systèmes indépendants, $\Omega_{total} = \Omega_1 \times \Omega_2$ , alors $S_{total} = S_1 + S_2$ .

💡 À retenir : Le logarithme transforme le produit en somme.

Pour que l'entropie soit une grandeur extensive (additive).
Si on a deux systèmes indépendants, $\Omega_{total} = \Omega_1 \times \Omega_2$, alors $S_{total} = S_1 + S_2$.

💡 À retenir : Le logarithme transforme le produit en somme.

Est-ce que la physique statistique marche pour un seul atome ?

Elle est conçue pour un grand nombre de particules ( $N \approx 10^{23}$ ).
Pour un seul atome, les fluctuations sont trop grandes.

💡 À retenir : La statistique devient précise quand $N$ tend vers l'infini.

Elle est conçue pour un grand nombre de particules ($N \approx 10^{23}$).
Pour un seul atome, les fluctuations sont trop grandes.

💡 À retenir : La statistique devient précise quand $N$ tend vers l'infini.

Comment relier Z à l'énergie libre F ?

La relation est $F = -k_B T \ln Z$ .
C'est le lien fondamental entre la statistique et la thermodynamique.

💡 À retenir : $F$ est le potentiel thermodynamique associé à l'ensemble canonique.

La relation est $F = -k_B T \ln Z$.
C'est le lien fondamental entre la statistique et la thermodynamique.

💡 À retenir : $F$ est le potentiel thermodynamique associé à l'ensemble canonique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un système possède deux niveaux d'énergie : $E_0 = 0$ et $E_1 = \epsilon$ ( $\epsilon > 0$ ). Le système est en contact avec un thermostat à la température $T$ .

Calculer la fonction de partition $Z$ .
Déterminer la probabilité d'occupation de chaque état.
Calculer l'énergie moyenne $\langle E \rangle$ .

Exercice 1

Un système possède deux niveaux d'énergie : $E_0 = 0$ et $E_1 = \epsilon$ ($\epsilon > 0$). Le système est en contact avec un thermostat à la température $T$.

Calculer la fonction de partition $Z$.
Déterminer la probabilité d'occupation de chaque état.
Calculer l'énergie moyenne $\langle E \rangle$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit un système de $N$ particules discernables, chacune pouvant être dans 2 états. Calculer la multiplicité totale $\Omega$ du système.

Exercice 2

Soit un système de $N$ particules discernables, chacune pouvant être dans 2 états. Calculer la multiplicité totale $\Omega$ du système.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'entropie d'un système dont la multiplicité est $\Omega = 10^{20}$ . (Donnée : $k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} J/K$ ).

Exercice 3

Calculer l'entropie d'un système dont la multiplicité est $\Omega = 10^{20}$. (Donnée : $k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} J/K$).

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