Mécanique du solide : Énergétique

1. Décomposer le solide en éléments simples (tiges, disques, sphères).
2. Calculer le moment d'inertie de chaque élément par rapport à son propre centre de masse.
3. Appliquer le théorème de Huygens pour ramener chaque moment à l'axe de rotation souhaité.
4. Sommer les résultats : $J_{total} = \sum J_i$.

💡 À retenir : Le moment d'inertie est une grandeur additive.

1. L'énergie cinétique est la somme de l'énergie de translation du centre de masse et de l'énergie de rotation autour de ce centre.
2. Formule : $E_c = \frac{1}{2} M v_G^2 + \frac{1}{2} J_G \omega^2$.
3. Si c'est un roulement sans glissement, remplace $v_G$ par $R\omega$.

💡 À retenir : $E_c = \frac{1}{2}(M R^2 + J_G)\omega^2$ pour un roulement sans glissement.

Oui, car le point d'application de la réaction de l'axe est fixe dans le référentiel du laboratoire, donc sa vitesse est nulle. Par conséquent, la puissance développée par cette force est nulle : $\mathcal{P} = \vec{R} \cdot \vec{v} = 0$.

💡 À retenir : Les liaisons parfaites fixes ne travaillent pas.

1. Le moment cinétique $\vec{\sigma}$ est un vecteur qui décrit l'état de rotation.
2. L'énergie cinétique $E_c$ est un scalaire qui mesure la capacité du système à fournir un travail.
3. Ils sont liés par la relation $E_c = \frac{1}{2} \vec{\Omega} \cdot \vec{\sigma}$.

💡 À retenir : L'un est vectoriel (direction), l'autre est scalaire (quantité).

1. Le théorème de l'énergie cinétique est une équation scalaire, ce qui simplifie les calculs.
2. Il permet d'ignorer les forces dont le travail est nul (réactions d'axes, contraintes).
3. Il est très utile pour relier des vitesses à des positions sans passer par le temps.

💡 À retenir : C'est l'outil privilégié pour les problèmes de trajectoire et de vitesse.

1. Calcule la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps : $\frac{dE_m}{dt}$.
2. Si $\frac{dE_m}{dt} = 0$, alors l'énergie est conservée.
3. Cela arrive si toutes les forces travaillantes sont conservatives (poids, ressort).

💡 À retenir : Si y a des frottements, l'énergie mécanique diminue.

Non, le moment d'inertie est une caractéristique géométrique et massique du solide. Il dépend uniquement de la répartition de la masse par rapport à l'axe de rotation choisi.

💡 À retenir : $J$ est une constante pour un solide donné.

1. Le ressort exerce une force conservative.
2. Son travail est égal à l'opposé de la variation de son énergie potentielle élastique : $W = -\Delta E_{pe}$.
3. $E_{pe} = \frac{1}{2} k (x - l_0)^2$.

💡 À retenir : Intègre toujours $E_{pe}$ dans l'énergie mécanique totale.

Oui, mais il faut ajouter les puissances des forces d'inertie (d'entraînement et de Coriolis) dans le bilan des puissances. Cela complexifie souvent le problème.

💡 À retenir : Privilégie toujours un référentiel galiléen si possible.

Le poids travaille sauf si le déplacement du centre de masse est perpendiculaire à la direction verticale (mouvement horizontal).

💡 À retenir : $W = M g (z_{initial} - z_{final})$.

Non, pour un solide réel, la masse est répartie à une certaine distance de l'axe. Si $J=0$, cela signifierait que toute la masse est concentrée sur l'axe, ce qui est impossible pour un solide étendu.

💡 À retenir : $J > 0$ toujours.

La puissance d'un couple de moment $\vec{\Gamma}$ agissant sur un solide en rotation avec une vitesse angulaire $\vec{\Omega}$ est : $\mathcal{P} = \vec{\Gamma} \cdot \vec{\Omega}$.

💡 À retenir : $\mathcal{P} = \Gamma \Omega$ si le vecteur moment est colinéaire à l'axe.