Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Physique quantique : Équation de Schrödinger

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'équation de Schrödinger dépendante du temps est donnée par : $i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(\vec{r},t)$ Où $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{r})$ . Pour les états stationnaires, on cherche des solutions de la forme $\Psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}$ , ce qui mène à l'équation de Schrödinger indépendante du temps : $\hat{H}\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r})$ La probabilité de présence dans un volume $d\tau$ est $dP = |\psi(\vec{r})|^2 d\tau$ . La condition de normalisation impose $\int_{\text{espace}} |\psi|^2 d\tau = 1$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution de l'équation stationnaire : Identifier le potentiel $V(x)$ , poser l'équation différentielle, et appliquer les conditions aux limites (continuité de $\psi$ et $\psi'$ ).
Normalisation : Calculer la constante de normalisation $A$ en intégrant $|\psi|^2$ sur le domaine défini.
Calcul de valeurs moyennes : Utiliser $\langle \hat{A} \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d\tau$ .

Exemples corrigés

Puits de potentiel infini de largeur $a$ : $V(x)=0$ pour $x \in [0,a]$ et $\infty$ ailleurs. Les solutions sont $\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n\pi x}{a})$ avec $E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la continuité de la dérivée $\psi'$ aux interfaces.
Confondre la fonction d'onde $\psi$ avec la densité de probabilité $|\psi|^2$ .
Négliger la condition de normalisation dans les calculs de probabilité.

L'essentiel du cours

L'équation de Schrödinger dépendante du temps est donnée par : $$i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(\vec{r},t)$$ Où $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{r})$. Pour les états stationnaires, on cherche des solutions de la forme $\Psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}$, ce qui mène à l'équation de Schrödinger indépendante du temps : $$\hat{H}\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r})$$ La probabilité de présence dans un volume $d\tau$ est $dP = |\psi(\vec{r})|^2 d\tau$. La condition de normalisation impose $\int_{\text{espace}} |\psi|^2 d\tau = 1$.

Méthodes à maîtriser

Résolution de l'équation stationnaire : Identifier le potentiel $V(x)$, poser l'équation différentielle, et appliquer les conditions aux limites (continuité de $\psi$ et $\psi'$).
Normalisation : Calculer la constante de normalisation $A$ en intégrant $|\psi|^2$ sur le domaine défini.
Calcul de valeurs moyennes : Utiliser $\langle \hat{A} \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d\tau$.

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

Oublier la continuité de la dérivée $\psi'$ aux interfaces.
Confondre la fonction d'onde $\psi$ avec la densité de probabilité $|\psi|^2$.
Négliger la condition de normalisation dans les calculs de probabilité.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Physique quantique : Équation de Schrödinger

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Pour un puits de potentiel infini, l'énergie fondamentale est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre l'équation avec temps et sans temps ?

L'équation dépendante du temps décrit l'évolution dynamique de la fonction d'onde.
L'équation indépendante du temps (stationnaire) permet de trouver les niveaux d'énergie quantifiés et les fonctions propres associées.

💡 À retenir : On utilise la forme stationnaire pour les systèmes où le potentiel ne dépend pas du temps.

Kifach n7seb l'energie d'un systeme f'puits de potentiel ?

Tu écris l'équation de Schrödinger : $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$ .
Tu résous l'équation différentielle en fonction de $V(x)$ .
Tu appliques les conditions aux limites ( $\psi=0$ aux parois).
Tu trouves les valeurs de $E$ qui permettent une solution non nulle.

💡 À retenir : L'énergie est quantifiée, elle ne peut prendre que des valeurs discrètes $E_n$ .

Tu écris l'équation de Schrödinger : $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$.
Tu résous l'équation différentielle en fonction de $V(x)$.
Tu appliques les conditions aux limites ($\psi=0$ aux parois).
Tu trouves les valeurs de $E$ qui permettent une solution non nulle.

💡 À retenir : L'énergie est quantifiée, elle ne peut prendre que des valeurs discrètes $E_n$.

Chno hiya l'utilité dyal la condition de normalisation ?

La normalisation garantit que la probabilité totale de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1 (certitude).

💡 À retenir : Sans normalisation, les calculs de probabilités n'ont aucun sens physique.

Est-ce que la fonction d'onde doit toujours être réelle ?

Non, la fonction d'onde est généralement complexe. Seule la densité de probabilité $|\psi|^2$ est réelle et positive.

💡 À retenir : La phase complexe est essentielle pour décrire les phénomènes d'interférence.

Non, la fonction d'onde est généralement complexe. Seule la densité de probabilité $|\psi|^2$ est réelle et positive.

💡 À retenir : La phase complexe est essentielle pour décrire les phénomènes d'interférence.

Comment interpréter physiquement le terme hbar ?

C'est la constante de Planck réduite ( $\hbar = h/2\pi$ ). Elle fixe l'échelle de quantification des systèmes microscopiques.

💡 À retenir : Plus $\hbar$ est grand, plus les effets quantiques sont marqués.

C'est la constante de Planck réduite ($\hbar = h/2\pi$). Elle fixe l'échelle de quantification des systèmes microscopiques.

💡 À retenir : Plus $\hbar$ est grand, plus les effets quantiques sont marqués.

Wach l'particule tqder t-traverser un mur d'energie ?

Oui, c'est l'effet tunnel. Si le mur est fini, la fonction d'onde ne s'annule pas brutalement mais décroît exponentiellement, permettant une probabilité non nulle de traversée.

💡 À retenir : C'est un phénomène purement quantique impossible en mécanique classique.

Pourquoi la dérivée de la fonction d'onde doit être continue ?

Pour que l'énergie cinétique (qui dépend de $\frac{d^2\psi}{dx^2}$ ) soit finie et bien définie dans toute la zone.

💡 À retenir : Une discontinuité de la dérivée impliquerait une énergie infinie.

Pour que l'énergie cinétique (qui dépend de $\frac{d^2\psi}{dx^2}$) soit finie et bien définie dans toute la zone.

💡 À retenir : Une discontinuité de la dérivée impliquerait une énergie infinie.

Comment calculer la valeur moyenne de la position langle x rangle ?

On utilise l'intégrale : $\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x) \cdot x \cdot \psi(x) dx$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne statistique des mesures de position sur un grand nombre de systèmes identiques.

On utilise l'intégrale : $\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x) \cdot x \cdot \psi(x) dx$.

💡 À retenir : C'est la moyenne statistique des mesures de position sur un grand nombre de systèmes identiques.

Est-ce que l'énergie peut être nulle dans un puits ?

Non, l'énergie fondamentale est toujours strictement positive ( $E_1 > 0$ ) à cause du principe d'incertitude.

💡 À retenir : Une énergie nulle impliquerait une particule immobile, ce qui contredit la mécanique quantique.

Non, l'énergie fondamentale est toujours strictement positive ($E_1 > 0$) à cause du principe d'incertitude.

💡 À retenir : Une énergie nulle impliquerait une particule immobile, ce qui contredit la mécanique quantique.

Chno hiya l'relation bin l'operateur hamiltonien et l'energie ?

L'opérateur Hamiltonien est l'opérateur associé à l'énergie totale (cinétique + potentielle). Ses valeurs propres sont les énergies possibles du système.

💡 À retenir : $\hat{H}\psi = E\psi$ est l'équation aux valeurs propres de l'énergie.

L'opérateur Hamiltonien est l'opérateur associé à l'énergie totale (cinétique + potentielle). Ses valeurs propres sont les énergies possibles du système.

💡 À retenir : $\hat{H}\psi = E\psi$ est l'équation aux valeurs propres de l'énergie.

Comment savoir si une fonction est une solution ?

Il faut vérifier si elle satisfait l'équation de Schrödinger et les conditions aux limites imposées par le potentiel.

💡 À retenir : La fonction doit être de carré sommable (intégrable).

Pourquoi on utilise Delta (Laplacien) dans l'équation ?

Le Laplacien intervient car l'énergie cinétique est liée au carré de l'impulsion $\hat{p}^2 = -\hbar^2 \Delta$ .

💡 À retenir : $\Delta$ représente la courbure de la fonction d'onde dans l'espace.

Le Laplacien intervient car l'énergie cinétique est liée au carré de l'impulsion $\hat{p}^2 = -\hbar^2 \Delta$.

💡 À retenir : $\Delta$ représente la courbure de la fonction d'onde dans l'espace.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une particule de masse $m$ est piégée dans un puits de potentiel infini de largeur $a$ ( $V(x)=0$ pour $0<x<a$ ). La fonction d'onde est $\psi(x) = A \sin(\frac{\pi x}{a})$ .

Déterminer la constante de normalisation $A$ .
Calculer la valeur moyenne de la position $\langle x \rangle$ .

Exercice 1

Une particule de masse $m$ est piégée dans un puits de potentiel infini de largeur $a$ ($V(x)=0$ pour $0<x<a$). La fonction d'onde est $\psi(x) = A \sin(\frac{\pi x}{a})$.

Déterminer la constante de normalisation $A$.
Calculer la valeur moyenne de la position $\langle x \rangle$.

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Exercice 2

Soit une particule dans un état $\psi(x) = C e^{-\alpha x^2}$ .

Vérifier si cette fonction est normalisable.
Déterminer la constante $C$ en fonction de $\alpha$ . (Donnée : $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$ )

Exercice 2

Soit une particule dans un état $\psi(x) = C e^{-\alpha x^2}$.

Vérifier si cette fonction est normalisable.
Déterminer la constante $C$ en fonction de $\alpha$. (Donnée : $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$)

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Exercice 3

Un électron est dans un état stationnaire de fonction d'onde $\psi(x) = A e^{ikx}$ .

Cette fonction est-elle normalisable sur $\mathbb{R}$ ?
Que peut-on dire de son impulsion ?

Exercice 3

Un électron est dans un état stationnaire de fonction d'onde $\psi(x) = A e^{ikx}$.

Cette fonction est-elle normalisable sur $\mathbb{R}$ ?
Que peut-on dire de son impulsion ?

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