Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Électrocinétique : Régimes transitoires et filtrage

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Régimes transitoires : Étude de l'évolution temporelle des grandeurs électriques ( $u_C, i$ ) lors d'une commutation. On utilise les lois de Kirchhoff et les relations caractéristiques ( $u_C = q/C$ , $u_L = L \frac{di}{dt}$ ).
Équations différentielles : De la forme $\tau \frac{dy}{dt} + y = E$ (ordre 1) ou $\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{dy}{dt} + \omega_0^2 y = f(t)$ (ordre 2).
Filtrage : Étude en régime sinusoïdal forcé. On utilise la notation complexe : $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}$ .
Gain et Phase : $G_{dB} = 20 \log |\underline{H}|$ et $\phi = \arg(\underline{H})$ .

Méthodes à maîtriser

Continuité : $u_C$ est continue en $t=0$ , $i_L$ est continue en $t=0$ .
Impédances complexes : $\underline{Z}_R = R$ , $\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}$ , $\underline{Z}_L = jL\omega$ .
Diviseur de tension : $\underline{U}_s = \underline{U}_e \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}$ .
Tracé de Bode : Identifier les asymptotes pour les basses et hautes fréquences.

Exemples corrigés

Circuit RC série : Équation $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ avec $\tau = RC$ . Solution $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ .
Filtre passe-bas RC : $\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}$ . Fréquence de coupure $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la continuité de $u_C$ ou $i_L$ à $t=0^+$ .
Confondre la pulsation $\omega$ (rad/s) et la fréquence $f$ (Hz).
Erreur de signe dans l'argument de la fonction de transfert.

L'essentiel du cours

Régimes transitoires : Étude de l'évolution temporelle des grandeurs électriques ($u_C, i$) lors d'une commutation. On utilise les lois de Kirchhoff et les relations caractéristiques ($u_C = q/C$, $u_L = L \frac{di}{dt}$).
Équations différentielles : De la forme $\tau \frac{dy}{dt} + y = E$ (ordre 1) ou $\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{dy}{dt} + \omega_0^2 y = f(t)$ (ordre 2).
Filtrage : Étude en régime sinusoïdal forcé. On utilise la notation complexe : $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}$.
Gain et Phase : $G_{dB} = 20 \log |\underline{H}|$ et $\phi = \arg(\underline{H})$.

Méthodes à maîtriser

Continuité : $u_C$ est continue en $t=0$, $i_L$ est continue en $t=0$.
Impédances complexes : $\underline{Z}_R = R$, $\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}$, $\underline{Z}_L = jL\omega$.
Diviseur de tension : $\underline{U}_s = \underline{U}_e \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}$.
Tracé de Bode : Identifier les asymptotes pour les basses et hautes fréquences.

Exemples corrigés

Circuit RC série : Équation $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ avec $\tau = RC$. Solution $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$.
Filtre passe-bas RC : $\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}$. Fréquence de coupure $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la continuité de $u_C$ ou $i_L$ à $t=0^+$.
Confondre la pulsation $\omega$ (rad/s) et la fréquence $f$ (Hz).
Erreur de signe dans l'argument de la fonction de transfert.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Électrocinétique : Régimes transitoires et filtrage

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Dans un circuit RC, la constante de temps $\tau$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre régime transitoire et permanent ?

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs électriques varient dans le temps juste après une modification du circuit (interrupteur).
Le régime permanent est l'état final atteint après un temps suffisamment long ( $t \gg \tau$ ), où les grandeurs deviennent constantes ou périodiques.

💡 À retenir : Le régime transitoire dépend des conditions initiales, le permanent non.

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs électriques varient dans le temps juste après une modification du circuit (interrupteur).
Le régime permanent est l'état final atteint après un temps suffisamment long ($t \gg \tau$), où les grandeurs deviennent constantes ou périodiques.

💡 À retenir : Le régime transitoire dépend des conditions initiales, le permanent non.

kifach n7seb constante de temps tau f circuit RLC ?

Dans un circuit RLC série, on n'a pas une seule constante de temps comme en RC.
On définit plutôt un facteur de qualité $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ et une pulsation propre $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ .
La "constante" de temps liée à l'amortissement est $\tau = \frac{2L}{R}$ .

💡 À retenir : $\tau$ n'est simple que pour les circuits du 1er ordre.

Dans un circuit RLC série, on n'a pas une seule constante de temps comme en RC.
On définit plutôt un facteur de qualité $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ et une pulsation propre $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
La "constante" de temps liée à l'amortissement est $\tau = \frac{2L}{R}$.

💡 À retenir : $\tau$ n'est simple que pour les circuits du 1er ordre.

Pourquoi on utilise les décibels pour le gain ?

Les valeurs de gain peuvent varier sur plusieurs ordres de grandeur.
Le logarithme permet de compresser ces variations pour rendre les graphiques (Bode) lisibles.
Il permet aussi d'additionner les gains des filtres en cascade au lieu de les multiplier.

💡 À retenir : $G_{dB} = 20 \log |H|$ .

Les valeurs de gain peuvent varier sur plusieurs ordres de grandeur.
Le logarithme permet de compresser ces variations pour rendre les graphiques (Bode) lisibles.
Il permet aussi d'additionner les gains des filtres en cascade au lieu de les multiplier.

💡 À retenir : $G_{dB} = 20 \log |H|$.

chno hiya l'frequence de coupure f'filtre ?

C'est la fréquence où la puissance transmise est divisée par 2.
En termes de tension, cela correspond à une chute du gain de -3 dB par rapport au gain maximal.
Mathématiquement, $|\underline{H}(j\omega_c)| = \frac{H_{max}}{\sqrt{2}}$ .

💡 À retenir : À $f_c$ , le gain baisse de 3 dB.

C'est la fréquence où la puissance transmise est divisée par 2.
En termes de tension, cela correspond à une chute du gain de -3 dB par rapport au gain maximal.
Mathématiquement, $|\underline{H}(j\omega_c)| = \frac{H_{max}}{\sqrt{2}}$.

💡 À retenir : À $f_c$, le gain baisse de 3 dB.

Comment tracer le diagramme de Bode asymptotique ?

Tracer les asymptotes pour $\omega \ll \omega_c$ et $\omega \gg \omega_c$ .
Pour un filtre passe-bas, l'asymptote BF est $G=0$ dB, l'asymptote HF est une droite de pente -20 dB/décade.
L'intersection des deux donne la fréquence de coupure.

💡 À retenir : Les asymptotes se croisent à la fréquence de coupure.

Tracer les asymptotes pour $\omega \ll \omega_c$ et $\omega \gg \omega_c$.
Pour un filtre passe-bas, l'asymptote BF est $G=0$ dB, l'asymptote HF est une droite de pente -20 dB/décade.
L'intersection des deux donne la fréquence de coupure.

💡 À retenir : Les asymptotes se croisent à la fréquence de coupure.

kifach n3ref wach filtre passe-bas wla passe-haut ?

Tu étudies la limite de la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ quand $\omega \to 0$ et $\omega \to \infty$ .
Si le gain est max à $\omega=0$ , c'est un passe-bas.
Si le gain est max à $\omega \to \infty$ , c'est un passe-haut.

💡 À retenir : Regarde le comportement aux limites.

Tu étudies la limite de la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ quand $\omega \to 0$ et $\omega \to \infty$.
Si le gain est max à $\omega=0$, c'est un passe-bas.
Si le gain est max à $\omega \to \infty$, c'est un passe-haut.

💡 À retenir : Regarde le comportement aux limites.

Est-ce que la bobine est toujours un court-circuit en régime permanent continu ?

Oui, en régime permanent continu, $u_L = L \frac{di}{dt} = 0$ car $i$ est constant.
Elle se comporte donc comme un fil idéal de résistance nulle.

💡 À retenir : Bobine = fil en continu permanent.

Oui, en régime permanent continu, $u_L = L \frac{di}{dt} = 0$ car $i$ est constant.
Elle se comporte donc comme un fil idéal de résistance nulle.

💡 À retenir : Bobine = fil en continu permanent.

Est-ce que le condensateur est un circuit ouvert en continu ?

Oui, en régime permanent continu, $i = C \frac{du_C}{dt} = 0$ car $u_C$ est constant.
Aucun courant ne traverse le condensateur.

💡 À retenir : Condensateur = interrupteur ouvert en continu.

Oui, en régime permanent continu, $i = C \frac{du_C}{dt} = 0$ car $u_C$ est constant.
Aucun courant ne traverse le condensateur.

💡 À retenir : Condensateur = interrupteur ouvert en continu.

C'est quoi la bande passante ?

C'est l'intervalle de fréquences $[f_1, f_2]$ où le gain est supérieur à $G_{max} - 3$ dB.
C'est la zone où le filtre laisse passer le signal utile.

💡 À retenir : Bande passante = zone de transmission efficace.

C'est l'intervalle de fréquences $[f_1, f_2]$ où le gain est supérieur à $G_{max} - 3$ dB.
C'est la zone où le filtre laisse passer le signal utile.

💡 À retenir : Bande passante = zone de transmission efficace.

Est-ce que la phase dépend de la fréquence ?

Oui, dans tout filtre, le déphasage entre la sortie et l'entrée varie avec la fréquence.
C'est ce qu'on appelle la distorsion de phase.

💡 À retenir : La phase est une fonction de $\omega$ .

Oui, dans tout filtre, le déphasage entre la sortie et l'entrée varie avec la fréquence.
C'est ce qu'on appelle la distorsion de phase.

💡 À retenir : La phase est une fonction de $\omega$.

Pourquoi on dit "filtre passif" ?

Parce qu'il est composé uniquement de composants passifs (R, L, C).
Il ne nécessite pas d'alimentation externe (comme un AOP).

💡 À retenir : Pas d'énergie externe = passif.

Comment trouver l'équation différentielle à partir de la fonction de transfert ?

Tu remplaces $j\omega$ par l'opérateur de dérivation $p = \frac{d}{dt}$ .
Tu écris $\underline{U}_s = \underline{H}(p) \underline{U}_e$ .
Tu développes pour obtenir l'équation différentielle.

💡 À retenir : $j\omega \leftrightarrow \frac{d}{dt}$ .

Tu remplaces $j\omega$ par l'opérateur de dérivation $p = \frac{d}{dt}$.
Tu écris $\underline{U}_s = \underline{H}(p) \underline{U}_e$.
Tu développes pour obtenir l'équation différentielle.

💡 À retenir : $j\omega \leftrightarrow \frac{d}{dt}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RC série est alimenté par un échelon de tension $E=5V$ à $t=0$ . On donne $R=1k\Omega$ et $C=1\mu F$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Déterminer l'expression de $u_C(t)$ pour $t \ge 0$ .
Calculer le temps nécessaire pour que $u_C$ atteigne 95% de sa valeur finale.

Exercice 1

Un circuit RC série est alimenté par un échelon de tension $E=5V$ à $t=0$. On donne $R=1k\Omega$ et $C=1\mu F$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Déterminer l'expression de $u_C(t)$ pour $t \ge 0$.
Calculer le temps nécessaire pour que $u_C$ atteigne 95% de sa valeur finale.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit un filtre passe-haut constitué d'un condensateur $C$ en série et d'une résistance $R$ en parallèle.

Déterminer la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ .
Montrer qu'il s'agit d'un filtre passe-haut.
Calculer la fréquence de coupure si $R=10k\Omega$ et $C=10nF$ .

Exercice 2

Soit un filtre passe-haut constitué d'un condensateur $C$ en série et d'une résistance $R$ en parallèle.

Déterminer la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$.
Montrer qu'il s'agit d'un filtre passe-haut.
Calculer la fréquence de coupure si $R=10k\Omega$ et $C=10nF$.

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Exercice 3

Étude d'un circuit RLC série. On donne $R=10\Omega, L=0,1H, C=10\mu F$ .

Calculer la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$ .
Le régime est-il oscillatoire amorti ?

Exercice 3

Étude d'un circuit RLC série. On donne $R=10\Omega, L=0,1H, C=10\mu F$.

Calculer la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$.
Le régime est-il oscillatoire amorti ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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