Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Mécanique du point : Référentiels non galiléens

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un référentiel non galiléen $\mathcal{R}'$ en mouvement par rapport à un référentiel galiléen $\mathcal{R}$ , le principe fondamental de la dynamique (PFD) s'écrit : $\sum \vec{F}_{ext} + \vec{F}_{ie} + \vec{F}_{ic} = m \vec{a}_{a}$

Force d'inertie d'entraînement : $\vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_{e} = -m (\vec{a}_{O'} + \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) + \dot{\vec{\Omega}} \wedge \vec{OM})$
Force d'inertie de Coriolis : $\vec{F}_{ic} = -2m (\vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{r})$ où $\vec{v}_{r}$ est la vitesse relative dans $\mathcal{R}'$ .

Méthodes à maîtriser

Identification du référentiel : Déterminer si le mouvement est une translation (accélérée) ou une rotation.
Calcul des vecteurs : Calculer $\vec{\Omega}$ et $\vec{a}_{e}$ avec rigueur.
Projection : Projeter le PFD dans la base liée au référentiel non galiléen.
Bilan des forces : Ne jamais oublier d'ajouter les forces d'inertie aux forces réelles.

Exemples corrigés

Exemple : Masse sur un plateau tournant. Un point $M$ de masse $m$ est immobile sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante $\omega$ .

$\vec{a}_{e} = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = -\omega^2 \vec{HM}$ .
$\vec{F}_{ie} = m \omega^2 \vec{HM}$ (force centrifuge).
$\vec{F}_{ic} = 0$ car $\vec{v}_{r} = 0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-)$ dans les expressions des forces d'inertie.
Confondre l'accélération d'entraînement avec l'accélération relative.
Oublier la force de Coriolis quand le point est en mouvement dans le référentiel tournant.

L'essentiel du cours

Dans un référentiel non galiléen $\mathcal{R}'$ en mouvement par rapport à un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, le principe fondamental de la dynamique (PFD) s'écrit : $$\sum \vec{F}{ext} + \vec{F}{ie} + \vec{F}{ic} = m \vec{a}{a}$$

Force d'inertie d'entraînement : $\vec{F}{ie} = -m \vec{a}{e} = -m (\vec{a}_{O'} + \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) + \dot{\vec{\Omega}} \wedge \vec{OM})$
Force d'inertie de Coriolis : $\vec{F}{ic} = -2m (\vec{\Omega} \wedge \vec{v}{r})$ où $\vec{v}_{r}$ est la vitesse relative dans $\mathcal{R}'$.

Méthodes à maîtriser

Identification du référentiel : Déterminer si le mouvement est une translation (accélérée) ou une rotation.
Calcul des vecteurs : Calculer $\vec{\Omega}$ et $\vec{a}_{e}$ avec rigueur.
Projection : Projeter le PFD dans la base liée au référentiel non galiléen.
Bilan des forces : Ne jamais oublier d'ajouter les forces d'inertie aux forces réelles.

Exemples corrigés

Exemple : Masse sur un plateau tournant. Un point $M$ de masse $m$ est immobile sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante $\omega$.

$\vec{a}_{e} = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = -\omega^2 \vec{HM}$.
$\vec{F}_{ie} = m \omega^2 \vec{HM}$ (force centrifuge).
$\vec{F}{ic} = 0$ car $\vec{v}{r} = 0$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-)$ dans les expressions des forces d'inertie.
Confondre l'accélération d'entraînement avec l'accélération relative.
Oublier la force de Coriolis quand le point est en mouvement dans le référentiel tournant.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Mécanique du point : Référentiels non galiléens

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La force de Coriolis est nulle si :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la force de Coriolis travaille ?

Non, la force de Coriolis $\vec{F}_{ic} = -2m (\vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{r})$ est toujours perpendiculaire à la vitesse relative $\vec{v}_{r}$ . Par conséquent, sa puissance $P = \vec{F}_{ic} \cdot \vec{v}_{r}$ est nulle. Elle ne modifie pas l'énergie cinétique du point.

💡 À retenir : La force de Coriolis ne travaille jamais.

Non, la force de Coriolis $\vec{F}{ic} = -2m (\vec{\Omega} \wedge \vec{v}{r})$ est toujours perpendiculaire à la vitesse relative $\vec{v}{r}$. Par conséquent, sa puissance $P = \vec{F}{ic} \cdot \vec{v}_{r}$ est nulle. Elle ne modifie pas l'énergie cinétique du point.

💡 À retenir : La force de Coriolis ne travaille jamais.

Kifach n7seb vec{a}{e} ila kan l'mraji3 f'dawaran?

7edded $\vec{\Omega}$ (l'axe de rotation).
7seb $\vec{a}_{e} = \vec{a}_{O'} + \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) + \dot{\vec{\Omega}} \wedge \vec{OM}$ .
Ila kan $\vec{\Omega}$ constant, $\dot{\vec{\Omega}} = 0$ .
Ila kan $O'$ ثابت، $\vec{a}_{O'} = 0$ .

💡 À retenir : $\vec{a}_{e}$ est l'accélération d'un point fictif immobile dans le référentiel tournant.

7edded $\vec{\Omega}$ (l'axe de rotation).
7seb $\vec{a}{e} = \vec{a}{O'} + \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) + \dot{\vec{\Omega}} \wedge \vec{OM}$.
Ila kan $\vec{\Omega}$ constant, $\dot{\vec{\Omega}} = 0$.
Ila kan $O'$ ثابت، $\vec{a}_{O'} = 0$.

💡 À retenir : $\vec{a}_{e}$ est l'accélération d'un point fictif immobile dans le référentiel tournant.

Chno hiya l'far9 bin l'mraji3 l'ghalili w'ghir l'ghalili?

F'mraji3 ghalili, le PFD est $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ .
F'mraji3 ghir ghalili, khassna nzidou les forces d'inertie (fictives) bach yb9a l'PFD s7i7.

💡 À retenir : Les forces d'inertie n'existent que dans les référentiels non galiléens.

F'mraji3 ghalili, le PFD est $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
F'mraji3 ghir ghalili, khassna nzidou les forces d'inertie (fictives) bach yb9a l'PFD s7i7.

💡 À retenir : Les forces d'inertie n'existent que dans les référentiels non galiléens.

Wach l'force centrifuge hiya bidha vec{F}{ie}?

Oui, dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme, la force d'inertie d'entraînement est appelée force centrifuge. Elle est dirigée vers l'extérieur du centre de rotation.

💡 À retenir : $\vec{F}_{centrifuge} = m \omega^2 \vec{HM}$ .

Oui, dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme, la force d'inertie d'entraînement est appelée force centrifuge. Elle est dirigée vers l'extérieur du centre de rotation.

💡 À retenir : $\vec{F}_{centrifuge} = m \omega^2 \vec{HM}$.

Kifach n3ref wach l'mraji3 ghalili wla la?

Un référentiel est galiléen s'il est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel héliocentrique (considéré comme galiléen).

💡 À retenir : Si le référentiel accélère ou tourne, il est non galiléen.

Est-ce que le poids change dans un référentiel non galiléen ?

Le poids apparent est la somme du poids réel et des forces d'inertie. Il dépend donc de l'accélération du référentiel.

💡 À retenir : $\vec{P}_{app} = \vec{P} + \vec{F}_{ie} + \vec{F}_{ic}$ .

Le poids apparent est la somme du poids réel et des forces d'inertie. Il dépend donc de l'accélération du référentiel.

💡 À retenir : $\vec{P}{app} = \vec{P} + \vec{F}{ie} + \vec{F}_{ic}$.

Pourquoi on utilise les référentiels non galiléens ?

Parfois, il est beaucoup plus simple de décrire un mouvement dans un référentiel lié à l'objet (ex: une personne dans un train ou sur un manège) plutôt que dans le référentiel terrestre.

💡 À retenir : C'est un choix de commodité mathématique.

Est-ce que la force de Coriolis dépend de la masse ?

Oui, $\vec{F}_{ic} = -2m (\vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{r})$ . Elle est proportionnelle à la masse $m$ du point matériel.

💡 À retenir : Plus la masse est grande, plus la force de Coriolis est importante.

Oui, $\vec{F}{ic} = -2m (\vec{\Omega} \wedge \vec{v}{r})$. Elle est proportionnelle à la masse $m$ du point matériel.

💡 À retenir : Plus la masse est grande, plus la force de Coriolis est importante.

Est-ce que vec{F}{ie} dépend de la vitesse relative ?

Non, $\vec{F}_{ie}$ ne dépend que de la position du point et du mouvement du référentiel. Elle ne dépend pas de la vitesse du point dans ce référentiel.

💡 À retenir : Seule la force de Coriolis dépend de la vitesse relative.

Non, $\vec{F}_{ie}$ ne dépend que de la position du point et du mouvement du référentiel. Elle ne dépend pas de la vitesse du point dans ce référentiel.

💡 À retenir : Seule la force de Coriolis dépend de la vitesse relative.

Comment projeter vec{Omega} wedge (vec{Omega} wedge vec{OM}) ?

En utilisant la formule du double produit vectoriel : $\vec{A} \wedge (\vec{B} \wedge \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ .

💡 À retenir : $\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = \vec{\Omega}(\vec{\Omega} \cdot \vec{OM}) - \vec{OM}(\Omega^2)$ .

En utilisant la formule du double produit vectoriel : $\vec{A} \wedge (\vec{B} \wedge \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$.

💡 À retenir : $\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = \vec{\Omega}(\vec{\Omega} \cdot \vec{OM}) - \vec{OM}(\Omega^2)$.

Est-ce que le référentiel terrestre est galiléen ?

Il est considéré comme galiléen pour des durées courtes (ex: chute libre), mais il est non galiléen à cause de sa rotation propre (effet Coriolis sur les vents).

💡 À retenir : Pour le BAC, on le considère souvent comme galiléen sauf mention contraire.

Est-ce que vec{a}{e} peut être nulle dans un référentiel non galiléen ?

Oui, si le référentiel est en translation rectiligne uniforme, il est galiléen. S'il est en rotation, $\vec{a}_{e}$ n'est nulle qu'au centre de rotation si $\vec{\Omega}$ est constant.

💡 À retenir : $\vec{a}_{e} = 0$ seulement si le référentiel est galiléen.

Oui, si le référentiel est en translation rectiligne uniforme, il est galiléen. S'il est en rotation, $\vec{a}_{e}$ n'est nulle qu'au centre de rotation si $\vec{\Omega}$ est constant.

💡 À retenir : $\vec{a}_{e} = 0$ seulement si le référentiel est galiléen.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un point $M$ de masse $m$ glisse sans frottement sur une tige horizontale tournant autour d'un axe vertical $Oz$ avec une vitesse angulaire constante $\omega$ . Établir l'équation différentielle du mouvement de $r(t) = OM$ .

Exercice 1

Un point $M$ de masse $m$ glisse sans frottement sur une tige horizontale tournant autour d'un axe vertical $Oz$ avec une vitesse angulaire constante $\omega$. Établir l'équation différentielle du mouvement de $r(t) = OM$.

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Exercice 2

Une masse $m$ est suspendue à un fil dans un wagon accélérant avec $\vec{a} = a_0 \vec{i}$ . Déterminer l'angle $\theta$ d'équilibre du fil par rapport à la verticale.

Exercice 2

Une masse $m$ est suspendue à un fil dans un wagon accélérant avec $\vec{a} = a_0 \vec{i}$. Déterminer l'angle $\theta$ d'équilibre du fil par rapport à la verticale.

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Exercice 3

Calculer la déviation vers l'Est d'un objet lâché d'une hauteur $h$ au niveau de l'équateur.

Exercice 3

Calculer la déviation vers l'Est d'un objet lâché d'une hauteur $h$ au niveau de l'équateur.

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