Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Physique quantique : Fondements

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dualité onde-corpuscule : Toute particule de masse $m$ et vitesse $v$ est associée à une onde de longueur d'onde $\lambda = \frac{h}{p}$ avec $p = mv$ .
Fonction d'onde : L'état d'un système est décrit par $\psi(\vec{r}, t)$ . La probabilité de présence dans un volume $d\tau$ est $dP = |\psi|^2 d\tau$ .
Normalisation : $\int_{\text{espace}} |\psi|^2 d\tau = 1$ .
Opérateurs : À chaque grandeur physique $A$ correspond un opérateur $\hat{A}$ . Pour la position $\hat{x} = x$ , pour l'impulsion $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier la normalisation d'une fonction d'onde donnée.
Calculer la valeur moyenne d'une observable : $\langle A \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d\tau$ .
Appliquer les relations d'incertitude d'Heisenberg : $\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\lambda$ : Pour un électron accéléré sous une tension $U=100V$ , $E_c = eU = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2meU}$ . On en déduit $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$ .
Normalisation : Soit $\psi(x) = A e^{-ax^2}$ . On calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} |A|^2 e^{-2ax^2} dx = 1$ pour trouver $A$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\psi$ peut être complexe : la probabilité est $|\psi|^2 = \psi^* \psi$ .
Confondre la valeur moyenne $\langle x \rangle$ avec la position la plus probable.
Négliger la constante de Planck réduite $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ .

L'essentiel du cours

Dualité onde-corpuscule : Toute particule de masse $m$ et vitesse $v$ est associée à une onde de longueur d'onde $\lambda = \frac{h}{p}$ avec $p = mv$.
Fonction d'onde : L'état d'un système est décrit par $\psi(\vec{r}, t)$. La probabilité de présence dans un volume $d\tau$ est $dP = |\psi|^2 d\tau$.
Normalisation : $\int_{\text{espace}} |\psi|^2 d\tau = 1$.
Opérateurs : À chaque grandeur physique $A$ correspond un opérateur $\hat{A}$. Pour la position $\hat{x} = x$, pour l'impulsion $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier la normalisation d'une fonction d'onde donnée.
Calculer la valeur moyenne d'une observable : $\langle A \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d\tau$.
Appliquer les relations d'incertitude d'Heisenberg : $\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}$.

Exemples corrigés

Calcul de $\lambda$ : Pour un électron accéléré sous une tension $U=100V$, $E_c = eU = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2meU}$. On en déduit $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$.
Normalisation : Soit $\psi(x) = A e^{-ax^2}$. On calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} |A|^2 e^{-2ax^2} dx = 1$ pour trouver $A$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\psi$ peut être complexe : la probabilité est $|\psi|^2 = \psi^* \psi$.
Confondre la valeur moyenne $\langle x \rangle$ avec la position la plus probable.
Négliger la constante de Planck réduite $\hbar = \frac{h}{2\pi}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Physique quantique : Fondements

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Quelle est la dimension de la fonction d'onde $\psi(x)$ en 1D ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la fonction d'onde psi(x) a une signification physique directe ?

Non, $\psi(x)$ elle-même n'est pas une grandeur mesurable. C'est une amplitude de probabilité complexe. Seul son carré module $|\psi(x)|^2$ possède une signification physique : il représente la densité de probabilité de présence de la particule au point $x$ .

💡 À retenir : $\psi$ est un outil mathématique, $|\psi|^2$ est la réalité physique.

Kifach n7seb l'incertitude Delta x ila 3tani psi(x) ?

Calcule d'abord la valeur moyenne $\langle x \rangle = \int x |\psi|^2 dx$ .
Calcule la valeur moyenne du carré $\langle x^2 \rangle = \int x^2 |\psi|^2 dx$ .
Utilise la formule : $\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}$ .

💡 À retenir : L'incertitude est l'écart-type de la distribution de probabilité.

Calcule d'abord la valeur moyenne $\langle x \rangle = \int x |\psi|^2 dx$.
Calcule la valeur moyenne du carré $\langle x^2 \rangle = \int x^2 |\psi|^2 dx$.
Utilise la formule : $\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}$.

💡 À retenir : L'incertitude est l'écart-type de la distribution de probabilité.

Pourquoi dit-on que l'énergie est quantifiée ?

Dans un système lié (comme un électron dans un puits de potentiel), les conditions aux limites imposées à la fonction d'onde (elle doit être continue et nulle à l'infini) restreignent les solutions de l'équation de Schrödinger à un ensemble discret de valeurs d'énergie $E_n$ .

💡 À retenir : La quantification est une conséquence directe des conditions aux limites.

Chno hiya l'relation bin l'impulsion o l'opérateur hat{p} ?

En mécanique quantique, l'impulsion n'est pas un nombre mais un opérateur différentiel : $\hat{p} = -i\hbar \vec{\nabla}$ . Quand on veut mesurer l'impulsion, on fait agir cet opérateur sur la fonction d'onde.

💡 À retenir : $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ (en 1D).

En mécanique quantique, l'impulsion n'est pas un nombre mais un opérateur différentiel : $\hat{p} = -i\hbar \vec{\nabla}$. Quand on veut mesurer l'impulsion, on fait agir cet opérateur sur la fonction d'onde.

💡 À retenir : $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ (en 1D).

Est-ce que la particule peut être en dehors du puits de potentiel ?

Oui, dans le cas d'un puits de profondeur finie, la fonction d'onde ne s'annule pas brutalement à la paroi mais décroît exponentiellement dans la zone interdite. C'est l'effet tunnel.

💡 À retenir : La probabilité de présence n'est pas nulle dans les zones où $E < V$ .

Oui, dans le cas d'un puits de profondeur finie, la fonction d'onde ne s'annule pas brutalement à la paroi mais décroît exponentiellement dans la zone interdite. C'est l'effet tunnel.

💡 À retenir : La probabilité de présence n'est pas nulle dans les zones où $E < V$.

Kifach n3rf wach l'fonction d'onde hiya "propre" (propre à un opérateur) ?

Une fonction $\psi$ est propre à un opérateur $\hat{A}$ si l'action de $\hat{A}$ sur $\psi$ donne la même fonction multipliée par une constante $a$ : $\hat{A}\psi = a\psi$ . $a$ est alors la valeur propre.

💡 À retenir : C'est une équation aux valeurs propres : $\hat{A}\psi = a\psi$ .

💡 À retenir : C'est une équation aux valeurs propres : $\hat{A}\psi = a\psi$.

La relation de de Broglie s'applique-t-elle aux objets macroscopiques ?

Oui, théoriquement, elle s'applique à tout objet. Cependant, pour un objet macroscopique, la masse $m$ est tellement grande que $\lambda = \frac{h}{mv}$ devient extrêmement petite, indétectable par nos instruments.

💡 À retenir : La nature ondulatoire est invisible à notre échelle.

Qu'est-ce qu'un état stationnaire ?

C'est un état où la densité de probabilité $|\psi|^2$ ne dépend pas du temps. L'énergie du système est parfaitement définie.

💡 À retenir : Les états stationnaires sont les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps.

C'est un état où la densité de probabilité $|\psi|^2$ ne dépend pas du temps. L'énergie du système est parfaitement définie.

💡 À retenir : Les états stationnaires sont les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps.

Est-ce que psi doit toujours être normalisable ?

Oui, pour représenter un état physique réel (particule localisée), l'intégrale de $|\psi|^2$ sur tout l'espace doit converger vers 1. Si elle diverge, la fonction ne représente pas une particule physique.

💡 À retenir : Une fonction non normalisable ne peut pas décrire une particule réelle.

Pourquoi utilise-t-on le nombre imaginaire i dans psi ?

Parce que les ondes quantiques sont des ondes de phase. Le nombre $i$ permet de décrire des oscillations complexes et de satisfaire l'équation de Schrödinger qui lie la dérivée temporelle (imaginaire) à la dérivée spatiale (réelle).

💡 À retenir : Le caractère complexe est indispensable pour la propagation ondulatoire.

Chno l'far9 bin l'mecanique classique o l'quantique f l'position d'un électron ?

En classique, l'électron suit une trajectoire précise $x(t)$ . En quantique, il n'a pas de trajectoire ; il est décrit par un nuage de probabilité. On ne peut parler que de la probabilité de le trouver ici ou là.

💡 À retenir : Abandon de la notion de trajectoire au profit de la probabilité.

En classique, l'électron suit une trajectoire précise $x(t)$. En quantique, il n'a pas de trajectoire ; il est décrit par un nuage de probabilité. On ne peut parler que de la probabilité de le trouver ici ou là.

💡 À retenir : Abandon de la notion de trajectoire au profit de la probabilité.

Comment interpréter Delta x cdot Delta p geq hbar/2 ?

Cela signifie qu'il existe une limite fondamentale à la précision de nos mesures. Plus on cherche à localiser précisément une particule ( $\Delta x$ petit), plus son impulsion devient incertaine ( $\Delta p$ grand).

💡 À retenir : Ce n'est pas un défaut de nos appareils, c'est une propriété de la nature.

Cela signifie qu'il existe une limite fondamentale à la précision de nos mesures. Plus on cherche à localiser précisément une particule ($\Delta x$ petit), plus son impulsion devient incertaine ($\Delta p$ grand).

💡 À retenir : Ce n'est pas un défaut de nos appareils, c'est une propriété de la nature.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit une particule dans un état décrit par la fonction d'onde $\psi(x) = A e^{-|x|/a}$ pour $x \in \mathbb{R}$ , où $a > 0$ .

Déterminer la constante de normalisation $A$ en fonction de $a$ .
Calculer la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle $[-a, a]$ .

Exercice 1

Soit une particule dans un état décrit par la fonction d'onde $\psi(x) = A e^{-|x|/a}$ pour $x \in \mathbb{R}$, où $a > 0$.

Déterminer la constante de normalisation $A$ en fonction de $a$.
Calculer la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle $[-a, a]$.

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Exercice 2

Un électron est confiné dans une dimension entre $x=0$ et $x=L$ . La fonction d'onde est $\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{\pi x}{L})$ .

Vérifier que cette fonction est normalisée.
Calculer la valeur moyenne de la position $\langle x \rangle$ .

Exercice 2

Un électron est confiné dans une dimension entre $x=0$ et $x=L$. La fonction d'onde est $\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{\pi x}{L})$.

Vérifier que cette fonction est normalisée.
Calculer la valeur moyenne de la position $\langle x \rangle$.

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Exercice 3

On considère une particule de masse $m$ dont l'énergie est $E$ . L'opérateur Hamiltonien est $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)$ . Pour $V(x) = 0$ (particule libre), montrer que $\psi(x) = A e^{ikx}$ est une fonction propre de $\hat{H}$ et déterminer la valeur propre associée.

Exercice 3

On considère une particule de masse $m$ dont l'énergie est $E$. L'opérateur Hamiltonien est $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)$. Pour $V(x) = 0$ (particule libre), montrer que $\psi(x) = A e^{ikx}$ est une fonction propre de $\hat{H}$ et déterminer la valeur propre associée.

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