Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Suites majorées, minorées, bornées : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_n > 0$ , on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Suites convergentes : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l \in \mathbb{R}$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite $l$ .
Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue, $l \in I$ et $f(I) \subset I$ , alors $l$ est solution de $f(l) = l$ .

Méthodes à maîtriser

Récurrence : Indispensable pour montrer qu'une suite est bornée ou pour comparer deux suites.
Inégalité des accroissements finis (IAF) : Pour montrer $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$ avec $k < 1$ , ce qui prouve la convergence vers $l$ .
Théorème des gendarmes : Pour encadrer une suite par deux autres convergeant vers la même limite.
Utilisation de la fonction associée : Étudier $f(x) = x$ pour trouver les limites possibles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$ . Montrer que $u_n < 2$ . Réponse : Par récurrence, pour $n=0$ , $u_0 < 2$ . Supposons $u_n < 2$ , alors $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n} < \sqrt{2+2} = 2$ .
Exemple 2 : Montrer qu'une suite est de Cauchy (hors programme explicite, utiliser la convergence par IAF).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de $f$ avant de poser $f(l)=l$ .
Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (une suite peut être bornée sans converger, ex: $(-1)^n$ ).
Négliger l'initialisation dans les raisonnements par récurrence.

L'essentiel du cours

Suites majorées, minorées, bornées : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_n > 0$, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Suites convergentes : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l \in \mathbb{R}$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite $l$.
Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue, $l \in I$ et $f(I) \subset I$, alors $l$ est solution de $f(l) = l$.

Méthodes à maîtriser

Récurrence : Indispensable pour montrer qu'une suite est bornée ou pour comparer deux suites.
Inégalité des accroissements finis (IAF) : Pour montrer $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$ avec $k < 1$, ce qui prouve la convergence vers $l$.
Théorème des gendarmes : Pour encadrer une suite par deux autres convergeant vers la même limite.
Utilisation de la fonction associée : Étudier $f(x) = x$ pour trouver les limites possibles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$. Montrer que $u_n < 2$. Réponse : Par récurrence, pour $n=0$, $u_0 < 2$. Supposons $u_n < 2$, alors $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n} < \sqrt{2+2} = 2$.
Exemple 2 : Montrer qu'une suite est de Cauchy (hors programme explicite, utiliser la convergence par IAF).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de $f$ avant de poser $f(l)=l$.
Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (une suite peut être bornée sans converger, ex: $(-1)^n$).
Négliger l'initialisation dans les raisonnements par récurrence.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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Si $(u_n)$ est une suite telle que $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n^2}$ , alors :

Si $(u_n)$ est une suite telle que $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n^2}$, alors :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach suite croissante wla décroissante?

Calcule la différence $d_n = u_{n+1} - u_n$ .
Si $d_n \geq 0$ , la suite est croissante.
Si $d_n \leq 0$ , la suite est décroissante.
Si les termes sont strictement positifs, tu peux calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et le comparer à 1.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la méthode universelle.

Calcule la différence $d_n = u_{n+1} - u_n$.
Si $d_n \geq 0$, la suite est croissante.
Si $d_n \leq 0$, la suite est décroissante.
Si les termes sont strictement positifs, tu peux calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et le comparer à 1.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la méthode universelle.

Est-ce qu'une suite qui n'est pas monotone peut converger ?

Oui, absolument. La monotonie est une condition suffisante pour la convergence (si elle est bornée), mais pas nécessaire. Par exemple, la suite $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ n'est pas monotone, mais elle converge vers 0 car elle est encadrée par $-\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$ qui tendent vers 0.

💡 À retenir : Une suite peut osciller tout en se rapprochant de plus en plus d'une valeur limite.

Chno hiya la différence bin suite majorée et suite convergente ?

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre $M$ . Elle peut diverger vers $+\infty$ (ex: $u_n = n$ est minorée mais pas majorée, $u_n = -n$ est majorée mais diverge vers $-\infty$ ).
Une suite convergente a une limite finie.
Une suite majorée et croissante est forcément convergente.

💡 À retenir : Être majorée ne garantit pas la convergence, il faut aussi la monotonie.

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre $M$. Elle peut diverger vers $+\infty$ (ex: $u_n = n$ est minorée mais pas majorée, $u_n = -n$ est majorée mais diverge vers $-\infty$).
Une suite convergente a une limite finie.
Une suite majorée et croissante est forcément convergente.

💡 À retenir : Être majorée ne garantit pas la convergence, il faut aussi la monotonie.

Kifach nsta3mel TAF f les suites ?

On utilise souvent l'inégalité des accroissements finis (IAF) pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ . Si $|f'(x)| \leq k$ sur un intervalle $I$ , alors $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$ . Par récurrence, on obtient $|u_n - l| \leq k^n |u_0 - l|$ . Comme $k < 1$ , $k^n \to 0$ , donc $u_n \to l$ .

💡 À retenir : L'IAF permet de prouver la convergence et d'estimer la vitesse de convergence.

On utilise souvent l'inégalité des accroissements finis (IAF) pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $|f'(x)| \leq k$ sur un intervalle $I$, alors $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$. Par récurrence, on obtient $|u_n - l| \leq k^n |u_0 - l|$. Comme $k < 1$, $k^n \to 0$, donc $u_n \to l$.

💡 À retenir : L'IAF permet de prouver la convergence et d'estimer la vitesse de convergence.

Si u{n+1} = f(un) et un to l, est-ce que l = f(l) est toujours vrai ?

Oui, à condition que la fonction $f$ soit continue sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite. Si $f$ est continue, alors $\lim f(u_n) = f(\lim u_n)$ , donc $l = f(l)$ .

💡 À retenir : La continuité de $f$ est la clé pour passer à la limite dans la relation de récurrence.

Oui, à condition que la fonction $f$ soit continue sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite. Si $f$ est continue, alors $\lim f(u_n) = f(\lim u_n)$, donc $l = f(l)$.

💡 À retenir : La continuité de $f$ est la clé pour passer à la limite dans la relation de récurrence.

Comment montrer qu'une suite est bornée ?

La méthode la plus efficace est le raisonnement par récurrence.

Initialisation : Vérifier pour $n=0$ .
Hérédité : Supposer $a \leq u_n \leq b$ et montrer que $a \leq f(u_n) \leq b$ en utilisant les variations de $f$ .

💡 À retenir : Si $f$ est croissante, l'encadrement est conservé directement.

La méthode la plus efficace est le raisonnement par récurrence.

Initialisation : Vérifier pour $n=0$.
Hérédité : Supposer $a \leq u_n \leq b$ et montrer que $a \leq f(u_n) \leq b$ en utilisant les variations de $f$.

💡 À retenir : Si $f$ est croissante, l'encadrement est conservé directement.

Est-ce que toute suite bornée est convergente ?

Non. Prends l'exemple de $u_n = (-1)^n$ . Les termes sont toujours compris entre -1 et 1 (elle est bornée), mais elle ne converge pas car elle oscille indéfiniment entre -1 et 1.

💡 À retenir : Une suite bornée n'est pas forcément convergente, il lui faut une "stabilité" (monotonie).

Non. Prends l'exemple de $u_n = (-1)^n$. Les termes sont toujours compris entre -1 et 1 (elle est bornée), mais elle ne converge pas car elle oscille indéfiniment entre -1 et 1.

💡 À retenir : Une suite bornée n'est pas forcément convergente, il lui faut une "stabilité" (monotonie).

Comment calculer la limite d'une suite définie par u{n+1} = sqrt{un + 6} ?

Montrer que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est croissante et majorée par 3).
Poser $l = \sqrt{l + 6}$ .
Résoudre l'équation $l^2 - l - 6 = 0$ .
Les solutions sont $l=3$ et $l=-2$ . Comme $u_n > 0$ , on garde $l=3$ .

💡 À retenir : La limite doit être cohérente avec le signe des termes de la suite.

Montrer que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est croissante et majorée par 3).
Poser $l = \sqrt{l + 6}$.
Résoudre l'équation $l^2 - l - 6 = 0$.
Les solutions sont $l=3$ et $l=-2$. Comme $u_n > 0$, on garde $l=3$.

💡 À retenir : La limite doit être cohérente avec le signe des termes de la suite.

C'est quoi des suites adjacentes ?

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

$(u_n)$ est croissante.
$(v_n)$ est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent alors vers la même limite réelle $l$ .

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour prouver l'existence d'une limite sans la calculer explicitement.

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

$(u_n)$ est croissante.
$(v_n)$ est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent alors vers la même limite réelle $l$.

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour prouver l'existence d'une limite sans la calculer explicitement.

Est-ce qu'on peut utiliser le théorème des gendarmes pour toutes les suites ?

Oui, si tu arrives à trouver deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ telles que $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$ . C'est très utile quand $u_n$ contient des termes comme $\sin(n)$ ou $\cos(n)$ qui n'ont pas de limite.

💡 À retenir : Le théorème des gendarmes est idéal pour les suites "coincées" entre deux fonctions.

Oui, si tu arrives à trouver deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ telles que $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$. C'est très utile quand $u_n$ contient des termes comme $\sin(n)$ ou $\cos(n)$ qui n'ont pas de limite.

💡 À retenir : Le théorème des gendarmes est idéal pour les suites "coincées" entre deux fonctions.

Kifach n7seb la limite de un = frac{2^n + 3^n}{4^n} ?

Il faut factoriser par le terme dominant au numérateur et au dénominateur : $u_n = \frac{3^n ((\frac{2}{3})^n + 1)}{4^n} = (\frac{3}{4})^n ((\frac{2}{3})^n + 1)$ . Comme $-1 < \frac{3}{4} < 1$ et $-1 < \frac{2}{3} < 1$ , alors $(\frac{3}{4})^n \to 0$ et $(\frac{2}{3})^n \to 0$ . Donc $u_n \to 0 \times (0 + 1) = 0$ .

💡 À retenir : Factorise toujours par la puissance la plus grande.

Il faut factoriser par le terme dominant au numérateur et au dénominateur : $u_n = \frac{3^n ((\frac{2}{3})^n + 1)}{4^n} = (\frac{3}{4})^n ((\frac{2}{3})^n + 1)$. Comme $-1 < \frac{3}{4} < 1$ et $-1 < \frac{2}{3} < 1$, alors $(\frac{3}{4})^n \to 0$ et $(\frac{2}{3})^n \to 0$. Donc $u_n \to 0 \times (0 + 1) = 0$.

💡 À retenir : Factorise toujours par la puissance la plus grande.

Pourquoi on étudie la monotonie avant la limite ?

Parce que le théorème de convergence monotone dit qu'une suite croissante et majorée converge. Si tu prouves qu'elle est croissante et majorée, tu as prouvé qu'elle converge, ce qui justifie l'existence de la limite avant même de la calculer.