Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Dérivation et étude des fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en un point : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell \in \mathbb{R}$ . $\ell$ est le nombre dérivé $f'(a)$ .
Interprétation géométrique : La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivabilité à droite/gauche : Permet d'étudier les points anguleux ou les demi-tangentes.
Fonctions dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\tan x)' = 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Extremums : Si $f$ admet un extremum local en $a$ et est dérivable en $a$ , alors $f'(a)=0$ .
Concavité : Si $f'' \geq 0$ sur $I$ , alors $\mathcal{C}_f$ est convexe. Si $f''$ change de signe en $a$ , alors $(a, f(a))$ est un point d'inflexion.

Méthodes à maîtriser

Étude des branches infinies : Calculer $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la direction asymptotique.
Étude de la convexité : Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ et dresser son tableau de signe.
Recherche d'asymptotes : Asymptote verticale (limite infinie en $a$ ), horizontale (limite finie en $\infty$ ), oblique (limite de $f(x)-(ax+b)$ nulle).

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$ . Équation : $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$ .
Dérivée composée : Soit $f(x) = \sin(x^2)$ . $f'(x) = (x^2)' \cdot \cos(x^2) = 2x\cos(x^2)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ (sens de variation) et le signe de $f''(x)$ (concavité).
Ne pas vérifier les conditions de dérivabilité pour la règle de la chaîne $(f \circ g)'$ .

L'essentiel du cours

Dérivabilité en un point : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell \in \mathbb{R}$. $\ell$ est le nombre dérivé $f'(a)$.
Interprétation géométrique : La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivabilité à droite/gauche : Permet d'étudier les points anguleux ou les demi-tangentes.
Fonctions dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Extremums : Si $f$ admet un extremum local en $a$ et est dérivable en $a$, alors $f'(a)=0$.
Concavité : Si $f'' \geq 0$ sur $I$, alors $\mathcal{C}_f$ est convexe. Si $f''$ change de signe en $a$, alors $(a, f(a))$ est un point d'inflexion.

Méthodes à maîtriser

Étude des branches infinies : Calculer $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la direction asymptotique.
Étude de la convexité : Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ et dresser son tableau de signe.
Recherche d'asymptotes : Asymptote verticale (limite infinie en $a$), horizontale (limite finie en $\infty$), oblique (limite de $f(x)-(ax+b)$ nulle).

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$. Équation : $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$.
Dérivée composée : Soit $f(x) = \sin(x^2)$. $f'(x) = (x^2)' \cdot \cos(x^2) = 2x\cos(x^2)$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ (sens de variation) et le signe de $f''(x)$ (concavité).
Ne pas vérifier les conditions de dérivabilité pour la règle de la chaîne $(f \circ g)'$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dérivation et étude des fonctions

1/4

Si $f'(a) = 0$ et $f''(a) > 0$ , alors $a$ est :

Si $f'(a) = 0$ et $f''(a) > 0$, alors $a$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si cette limite est un nombre réel fini $\ell$ , alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$ .
Si la limite est $\pm \infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si cette limite est un nombre réel fini $\ell$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$.
Si la limite est $\pm \infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

Kifach n3ref wach l'point d'inflexion kayn wla la ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Cherche les points où $f''(x) = 0$ .
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ces points.
Si le signe change, c'est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Cherche les points où $f''(x) = 0$.
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ces points.
Si le signe change, c'est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

C'est quoi la différence entre un extremum local et global ?

Un extremum local est une valeur maximale ou minimale sur un intervalle ouvert contenant le point.
Un extremum global est le maximum ou le minimum absolu sur tout le domaine de définition.
Un extremum global est toujours local, mais un local n'est pas forcément global.

💡 À retenir : Pour les trouver, on cherche les points où $f'(x)=0$ et on étudie le changement de signe.

Un extremum local est une valeur maximale ou minimale sur un intervalle ouvert contenant le point.
Un extremum global est le maximum ou le minimum absolu sur tout le domaine de définition.
Un extremum global est toujours local, mais un local n'est pas forcément global.

💡 À retenir : Pour les trouver, on cherche les points où $f'(x)=0$ et on étudie le changement de signe.

Chno hiya l'equation dyal l'tangente f point a ?

La formule est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : C'est l'approximation affine de la fonction au voisinage de $a$ .

La formule est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : C'est l'approximation affine de la fonction au voisinage de $a$.

Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?

Oui. Si $f$ est dérivable et paire, alors pour tout $x$ , $f(-x) = f(x)$ . En dérivant les deux membres par rapport à $x$ : $-f'(-x) = f'(x)$ , donc $f'(-x) = -f'(x)$ .

💡 À retenir : La dérivée d'une fonction paire est impaire, et vice-versa.

Oui. Si $f$ est dérivable et paire, alors pour tout $x$, $f(-x) = f(x)$. En dérivant les deux membres par rapport à $x$ : $-f'(-x) = f'(x)$, donc $f'(-x) = -f'(x)$.

💡 À retenir : La dérivée d'une fonction paire est impaire, et vice-versa.

Kifach n7seb l'asymptote oblique ?

Calcule $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ .
Calcule $b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$ .
Si $a$ et $b$ sont finis, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique.

💡 À retenir : Si $a=0$ , c'est une asymptote horizontale.

Calcule $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$.
Calcule $b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$.
Si $a$ et $b$ sont finis, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique.

💡 À retenir : Si $a=0$, c'est une asymptote horizontale.

Pourquoi on étudie le signe de f''(x) ?

Pour déterminer la convexité de la courbe :

$f''(x) > 0$ : la courbe est convexe (tourne sa concavité vers le haut).
$f''(x) < 0$ : la courbe est concave (tourne sa concavité vers le bas).

💡 À retenir : L'étude de la concavité est cruciale pour le tracé précis de la courbe.

Pour déterminer la convexité de la courbe :

$f''(x) > 0$ : la courbe est convexe (tourne sa concavité vers le haut).
$f''(x) < 0$ : la courbe est concave (tourne sa concavité vers le bas).

💡 À retenir : L'étude de la concavité est cruciale pour le tracé précis de la courbe.

Comment dériver une fonction composée f(g(x)) ?

Utilise la règle de la chaîne : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$ .

Dérive la fonction intérieure $g(x)$ .
Multiplie par la dérivée de la fonction extérieure $f$ évaluée en $g(x)$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par $g'(x)$ .

Utilise la règle de la chaîne : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$.

Dérive la fonction intérieure $g(x)$.
Multiplie par la dérivée de la fonction extérieure $f$ évaluée en $g(x)$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par $g'(x)$.

Est-ce qu'une fonction dérivable est toujours continue ?

Oui, c'est un théorème fondamental. Si $f$ est dérivable en $a$ , alors elle est nécessairement continue en $a$ .

💡 À retenir : La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.

Oui, c'est un théorème fondamental. Si $f$ est dérivable en $a$, alors elle est nécessairement continue en $a$.

💡 À retenir : La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.

Comment interpréter lim{x to a^+} frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +infty ?

Cela signifie que la courbe admet une demi-tangente verticale au point $a$ dirigée vers le haut.

💡 À retenir : La courbe "monte" verticalement au point $a$ .

Cela signifie que la courbe admet une demi-tangente verticale au point $a$ dirigée vers le haut.

💡 À retenir : La courbe "monte" verticalement au point $a$.

C'est quoi une branche parabolique ?

C'est quand la courbe s'éloigne vers l'infini sans admettre d'asymptote.

Direction axe des ordonnées : $\lim \frac{f(x)}{x} = \infty$ .
Direction axe des abscisses : $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$ .

💡 À retenir : La courbe suit la direction d'un axe.

C'est quand la courbe s'éloigne vers l'infini sans admettre d'asymptote.

Direction axe des ordonnées : $\lim \frac{f(x)}{x} = \infty$.
Direction axe des abscisses : $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$.

💡 À retenir : La courbe suit la direction d'un axe.

Est-ce que f'(x)=0 suffit pour dire qu'il y a un extremum ?

Non, il faut que $f'(x)$ change de signe en ce point. Si $f'(x)$ s'annule sans changer de signe (ex: $f(x)=x^3$ en 0), ce n'est pas un extremum.

💡 À retenir : Le changement de signe est indispensable.

Non, il faut que $f'(x)$ change de signe en ce point. Si $f'(x)$ s'annule sans changer de signe (ex: $f(x)=x^3$ en 0), ce n'est pas un extremum.

💡 À retenir : Le changement de signe est indispensable.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 2x + 3$ . Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0 = 2$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0 = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ . Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_f$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x^4 - 2x^2$ . Étudier la concavité et trouver les points d'inflexion.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^4 - 2x^2$. Étudier la concavité et trouver les points d'inflexion.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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