Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Fonctions exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ , est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ . On note $e = \exp(1) \approx 2,718$ .

Propriétés algébriques : Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ , $e^{x+y} = e^x e^y$ , $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ , $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$ et $(e^x)^n = e^{nx}$ pour $n \in \mathbb{Z}$ .
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ .
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ .
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ .
Dérivée : La fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable, de dérivée $u'(x)e^{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle ( $e^a = e^b \iff a=b$ et $e^a < e^b \iff a < b$ ).
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Levée d'indéterminations : Utiliser les croissances comparées pour les limites en $\pm \infty$ .

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ . Poser $X = e^x$ . On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$ , soit $(X-1)(X-2)=0$ . D'où $e^x=1$ ( $x=0$ ) ou $e^x=2$ ( $x=\ln 2$ ).
Limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$ . On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ , donc ici la limite est $+\infty$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $e^{x+y}$ avec $e^x + e^y$ .
Oublier de multiplier par $u'(x)$ lors de la dérivation de $e^{u(x)}$ .
Appliquer les croissances comparées en des points autres que $\pm \infty$ .

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On note $e = \exp(1) \approx 2,718$.

Propriétés algébriques : Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$, $e^{x+y} = e^x e^y$, $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$ et $(e^x)^n = e^{nx}$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.
Dérivée : La fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable, de dérivée $u'(x)e^{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle ($e^a = e^b \iff a=b$ et $e^a < e^b \iff a < b$).
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Levée d'indéterminations : Utiliser les croissances comparées pour les limites en $\pm \infty$.

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Poser $X = e^x$. On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$, soit $(X-1)(X-2)=0$. D'où $e^x=1$ ($x=0$) ou $e^x=2$ ($x=\ln 2$).
Limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$, donc ici la limite est $+\infty$.

Erreurs fréquentes

Confondre $e^{x+y}$ avec $e^x + e^y$.
Oublier de multiplier par $u'(x)$ lors de la dérivation de $e^{u(x)}$.
Appliquer les croissances comparées en des points autres que $\pm \infty$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions exponentielles

1/4

Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{-3x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que e^x est toujours positif ?

Oui, pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . C'est une propriété fondamentale qui découle de la définition de la fonction exponentielle. Elle ne s'annule jamais et reste strictement positive sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : La courbe représentative de la fonction exponentielle est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

Oui, pour tout réel $x$, $e^x > 0$. C'est une propriété fondamentale qui découle de la définition de la fonction exponentielle. Elle ne s'annule jamais et reste strictement positive sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : La courbe représentative de la fonction exponentielle est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

Kifach n7seb la dérivée de e^{x^2+1} ?

Pour dériver une fonction de la forme $e^{u(x)}$ , on utilise la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Ici, $u(x) = x^2 + 1$ .
On calcule $u'(x) = 2x$ .
On applique la formule : $(e^{x^2+1})' = 2x \cdot e^{x^2+1}$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant.

Pour dériver une fonction de la forme $e^{u(x)}$, on utilise la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Ici, $u(x) = x^2 + 1$.
On calcule $u'(x) = 2x$.
On applique la formule : $(e^{x^2+1})' = 2x \cdot e^{x^2+1}$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant.

Est-ce que lim{x to -infty} e^{x^2} = 0 ?

Non, attention ! Quand $x \to -\infty$ , $x^2 \to +\infty$ . Donc, par composition, $\lim_{x \to -\infty} e^{x^2} = \lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$ .

💡 À retenir : Toujours calculer la limite de l'exposant avant d'appliquer la limite de l'exponentielle.

Non, attention ! Quand $x \to -\infty$, $x^2 \to +\infty$. Donc, par composition, $\lim_{x \to -\infty} e^{x^2} = \lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$.

💡 À retenir : Toujours calculer la limite de l'exposant avant d'appliquer la limite de l'exponentielle.

Chno hiya l'asymptote de f(x) = e^x ?

La fonction $f(x) = e^x$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) au voisinage de $-\infty$ , car $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

💡 À retenir : Une limite finie en $-\infty$ indique une asymptote horizontale.

La fonction $f(x) = e^x$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) au voisinage de $-\infty$, car $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

💡 À retenir : Une limite finie en $-\infty$ indique une asymptote horizontale.

Comment résoudre e^x = -5 ?

Il n'y a aucune solution. Comme nous l'avons vu, $e^x$ est strictement positif pour tout réel $x$ . L'équation $e^x = k$ n'admet de solution que si $k > 0$ .

💡 À retenir : L'exponentielle ne peut jamais être négative ou nulle.

Il n'y a aucune solution. Comme nous l'avons vu, $e^x$ est strictement positif pour tout réel $x$. L'équation $e^x = k$ n'admet de solution que si $k > 0$.

💡 À retenir : L'exponentielle ne peut jamais être négative ou nulle.

Kifach nkhrej x mn e^{3x} = 7 ?

Pour isoler $x$ quand il est en exposant, on utilise la fonction logarithme népérien ( $\ln$ ) qui est la fonction réciproque de l'exponentielle :

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^{3x}) = \ln(7)$ .
Comme $\ln(e^a) = a$ , on obtient : $3x = \ln(7)$ .
On divise par 3 : $x = \frac{\ln(7)}{3}$ .

💡 À retenir : Le $\ln$ est l'outil indispensable pour "descendre" l'exposant.

Pour isoler $x$ quand il est en exposant, on utilise la fonction logarithme népérien ($\ln$) qui est la fonction réciproque de l'exponentielle :

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^{3x}) = \ln(7)$.
Comme $\ln(e^a) = a$, on obtient : $3x = \ln(7)$.
On divise par 3 : $x = \frac{\ln(7)}{3}$.

💡 À retenir : Le $\ln$ est l'outil indispensable pour "descendre" l'exposant.

Est-ce que la fonction exponentielle est croissante ?

Oui, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Sa dérivée est $f'(x) = e^x$ , qui est strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Une dérivée strictement positive implique une fonction strictement croissante.

Oui, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = e^x$, qui est strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$.

💡 À retenir : Une dérivée strictement positive implique une fonction strictement croissante.

Pourquoi lim{x to -infty} x e^x = 0 ?

C'est une limite de référence liée aux croissances comparées. L'exponentielle "l'emporte" sur n'importe quelle puissance de $x$ en $-\infty$ . Même si $x$ tend vers $-\infty$ , le terme $e^x$ tend vers 0 beaucoup plus rapidement, ce qui impose le résultat 0.

💡 À retenir : En $-\infty$ , l'exponentielle écrase les polynômes.

C'est une limite de référence liée aux croissances comparées. L'exponentielle "l'emporte" sur n'importe quelle puissance de $x$ en $-\infty$. Même si $x$ tend vers $-\infty$, le terme $e^x$ tend vers 0 beaucoup plus rapidement, ce qui impose le résultat 0.

💡 À retenir : En $-\infty$, l'exponentielle écrase les polynômes.

Comment étudier le signe de e^x - 1 ?

On résout $e^x - 1 = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$ .
Comme la fonction est croissante, si $x > 0$ alors $e^x > e^0$ donc $e^x > 1 \iff e^x - 1 > 0$ .
Si $x < 0$ alors $e^x < 1 \iff e^x - 1 < 0$ .

💡 À retenir : Le signe de $e^x - 1$ est le même que celui de $x$ .

On résout $e^x - 1 = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$.
Comme la fonction est croissante, si $x > 0$ alors $e^x > e^0$ donc $e^x > 1 \iff e^x - 1 > 0$.
Si $x < 0$ alors $e^x < 1 \iff e^x - 1 < 0$.

💡 À retenir : Le signe de $e^x - 1$ est le même que celui de $x$.

Est-ce que (e^x)^2 = e^{x^2} ?

Non, c'est une erreur classique ! Selon les règles des puissances, $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$ .

💡 À retenir : $(e^a)^b = e^{ab}$ , alors que $e^a \times e^a = e^{2a}$ .

Non, c'est une erreur classique ! Selon les règles des puissances, $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$.

💡 À retenir : $(e^a)^b = e^{ab}$, alors que $e^a \times e^a = e^{2a}$.

Comment calculer la dérivée de f(x) = x e^x ?

On utilise la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .

Soit $u(x) = x$ (donc $u'(x) = 1$ ) et $v(x) = e^x$ (donc $v'(x) = e^x$ ).
$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x$ .
On factorise : $f'(x) = e^x(1 + x)$ .

💡 À retenir : Toujours factoriser par l'exponentielle pour étudier le signe de la dérivée.

On utilise la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$.

Soit $u(x) = x$ (donc $u'(x) = 1$) et $v(x) = e^x$ (donc $v'(x) = e^x$).
$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x$.
On factorise : $f'(x) = e^x(1 + x)$.

💡 À retenir : Toujours factoriser par l'exponentielle pour étudier le signe de la dérivée.

Est-ce que la courbe de e^x coupe l'axe des ordonnées ?

Oui, elle coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse $x=0$ . Comme $e^0 = 1$ , la courbe passe par le point de coordonnées $(0, 1)$ .

💡 À retenir : L'ordonnée à l'origine de $e^x$ est toujours 1.

Oui, elle coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse $x=0$. Comme $e^0 = 1$, la courbe passe par le point de coordonnées $(0, 1)$.

💡 À retenir : L'ordonnée à l'origine de $e^x$ est toujours 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $e^{2x} - 4e^x + 3 \leq 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $e^{2x} - 4e^x + 3 \leq 0$.

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Exercice 2

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$ .

Exercice 2

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - x}$ .

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - x}$.

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