Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Arithmétique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Congruence : $a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a-b)$ . Elle est compatible avec l'addition, la multiplication et la puissance.
PGCD et Bézout : $d = PGCD(a,b)$ est le plus grand diviseur commun. $d$ existe et vérifie $au + bv = d$ (Théorème de Bézout).
Gauss : Si $a \mid bc$ et $PGCD(a,b)=1$ , alors $a \mid c$ .
Nombres premiers : Tout entier $n \geq 2$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
Fermat : Si $p$ est premier et $p \nmid a$ , alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de PGCD : Utiliser l'algorithme d'Euclide (divisions successives).
Résolution de $ax \equiv b \pmod{n}$ : Utiliser l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver l'inverse de $a$ modulo $n$ .
Démonstrations par récurrence : Souvent utilisées pour les propriétés de divisibilité.
Changement de base : Utiliser la décomposition polynomiale $N = \sum a_i b^i$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $3x \equiv 1 \pmod{7}$ . On cherche $u$ tel que $3u + 7v = 1$ . Par Euclide : $7 = 2(3) + 1 \implies 1 = 7 - 2(3)$ . Donc $3(-2) \equiv 1 \pmod{7}$ . $x \equiv 5 \pmod{7}$ .
Exemple 2 : Montrer que $7 \mid 2^{3n+1} + 3$ . $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ . Donc $2^{3n+1} = 2 \cdot (2^3)^n \equiv 2 \cdot 1^n \equiv 2 \pmod{7}$ . Alors $2^{3n+1} + 3 \equiv 2+3 = 5 \not\equiv 0 \pmod{7}$ . (Attention à la vérification).

Erreurs fréquentes

Oublier que $a \equiv b \pmod{n}$ implique $a^k \equiv b^k \pmod{n}$ mais pas $k^a \equiv k^b \pmod{n}$ .
Confondre $PGCD(a,b)=1$ avec $a, b$ premiers.
Ne pas vérifier la condition $PGCD(a,n)=1$ avant de chercher l'inverse modulaire.

L'essentiel du cours

Congruence : $a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a-b)$. Elle est compatible avec l'addition, la multiplication et la puissance.
PGCD et Bézout : $d = PGCD(a,b)$ est le plus grand diviseur commun. $d$ existe et vérifie $au + bv = d$ (Théorème de Bézout).
Gauss : Si $a \mid bc$ et $PGCD(a,b)=1$, alors $a \mid c$.
Nombres premiers : Tout entier $n \geq 2$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
Fermat : Si $p$ est premier et $p \nmid a$, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de PGCD : Utiliser l'algorithme d'Euclide (divisions successives).
Résolution de $ax \equiv b \pmod{n}$ : Utiliser l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver l'inverse de $a$ modulo $n$.
Démonstrations par récurrence : Souvent utilisées pour les propriétés de divisibilité.
Changement de base : Utiliser la décomposition polynomiale $N = \sum a_i b^i$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $3x \equiv 1 \pmod{7}$. On cherche $u$ tel que $3u + 7v = 1$. Par Euclide : $7 = 2(3) + 1 \implies 1 = 7 - 2(3)$. Donc $3(-2) \equiv 1 \pmod{7}$. $x \equiv 5 \pmod{7}$.
Exemple 2 : Montrer que $7 \mid 2^{3n+1} + 3$. $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$. Donc $2^{3n+1} = 2 \cdot (2^3)^n \equiv 2 \cdot 1^n \equiv 2 \pmod{7}$. Alors $2^{3n+1} + 3 \equiv 2+3 = 5 \not\equiv 0 \pmod{7}$. (Attention à la vérification).

Erreurs fréquentes

Oublier que $a \equiv b \pmod{n}$ implique $a^k \equiv b^k \pmod{n}$ mais pas $k^a \equiv k^b \pmod{n}$.
Confondre $PGCD(a,b)=1$ avec $a, b$ premiers.
Ne pas vérifier la condition $PGCD(a,n)=1$ avant de chercher l'inverse modulaire.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Arithmétique

1/4

Quel est le reste de $2^{100}$ modulo 3 ?

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'un nombre est divisible par 11 ?

Utilise la congruence modulo 11.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$ .
Donc $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$ .
Un nombre est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.

💡 À retenir : La règle des signes alternés est une application directe des congruences.

Utilise la congruence modulo 11.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$.
Donc $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$.
Un nombre est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.

💡 À retenir : La règle des signes alternés est une application directe des congruences.

Kifach n7seb PGCD dyal joj a3dad kbar bzaf?

Utilise l'algorithme d'Euclide : effectue des divisions euclidiennes successives.
Divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à obtenir un reste nul.
Le dernier reste non nul est le PGCD.

💡 À retenir : Le PGCD est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes.

Chno hiya l'utilité dyal moubtarat Bézout f l'examen?

Elle permet de prouver l'existence de solutions pour des équations diophantiennes $ax + by = c$ .
Elle sert à démontrer que deux nombres sont premiers entre eux ( $PGCD(a,b)=1 \iff \exists u, v : au+bv=1$ ).
Elle est indispensable pour trouver l'inverse d'un nombre modulo $n$ .

💡 À retenir : Bézout est l'outil clé pour manipuler les combinaisons linéaires de deux entiers.

Elle permet de prouver l'existence de solutions pour des équations diophantiennes $ax + by = c$.
Elle sert à démontrer que deux nombres sont premiers entre eux ($PGCD(a,b)=1 \iff \exists u, v : au+bv=1$).
Elle est indispensable pour trouver l'inverse d'un nombre modulo $n$.

💡 À retenir : Bézout est l'outil clé pour manipuler les combinaisons linéaires de deux entiers.

Kifach n3ref wach adad awwali wla la?

Pour un nombre $n$ , teste la divisibilité par tous les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \leq n$ .
Si aucune division n'est exacte, alors $n$ est premier.

💡 À retenir : Il suffit de tester les diviseurs jusqu'à la racine carrée du nombre.

Pour un nombre $n$, teste la divisibilité par tous les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \leq n$.
Si aucune division n'est exacte, alors $n$ est premier.

💡 À retenir : Il suffit de tester les diviseurs jusqu'à la racine carrée du nombre.

Est-ce que a equiv b pmod{n} implique a/c equiv b/c pmod{n} ?

Non, c'est faux en général. On ne peut simplifier par $c$ que si $PGCD(c, n) = 1$ .

💡 À retenir : La division dans les congruences nécessite que le diviseur soit premier avec le module.

Non, c'est faux en général. On ne peut simplifier par $c$ que si $PGCD(c, n) = 1$.

💡 À retenir : La division dans les congruences nécessite que le diviseur soit premier avec le module.

Comment trouver le dernier chiffre d'un nombre comme 2024^{2025} ?

Le dernier chiffre est le reste modulo 10.
Calcule $2024 \equiv 4 \pmod{10}$ .
Étudie les puissances de $4 \pmod{10}$ : $4^1 \equiv 4$ , $4^2 \equiv 6$ , $4^3 \equiv 4$ ...
Utilise la périodicité.

💡 À retenir : Chercher le reste modulo 10 revient à chercher le dernier chiffre.

Le dernier chiffre est le reste modulo 10.
Calcule $2024 \equiv 4 \pmod{10}$.
Étudie les puissances de $4 \pmod{10}$ : $4^1 \equiv 4$, $4^2 \equiv 6$, $4^3 \equiv 4$...
Utilise la périodicité.

💡 À retenir : Chercher le reste modulo 10 revient à chercher le dernier chiffre.

C'est quoi la différence entre a mid b et a equiv b pmod{n} ?

$a \mid b$ signifie que $b$ est un multiple de $a$ (division exacte).
$a \equiv b \pmod{n}$ signifie que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$ .

💡 À retenir : La divisibilité est un cas particulier de la congruence ( $a \equiv 0 \pmod{n}$ ).

$a \mid b$ signifie que $b$ est un multiple de $a$ (division exacte).
$a \equiv b \pmod{n}$ signifie que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$.

💡 À retenir : La divisibilité est un cas particulier de la congruence ($a \equiv 0 \pmod{n}$).

Comment résoudre ax equiv ay pmod{n} ?

On ne peut pas diviser par $a$ directement.
On écrit $a(x-y) = kn$ .
On simplifie par $d = PGCD(a, n)$ : $\frac{a}{d}(x-y) = k \frac{n}{d}$ .
Comme $PGCD(\frac{a}{d}, \frac{n}{d}) = 1$ , alors $\frac{n}{d} \mid (x-y)$ .

💡 À retenir : Toujours diviser le module par le PGCD avant de simplifier.

On ne peut pas diviser par $a$ directement.
On écrit $a(x-y) = kn$.
On simplifie par $d = PGCD(a, n)$ : $\frac{a}{d}(x-y) = k \frac{n}{d}$.
Comme $PGCD(\frac{a}{d}, \frac{n}{d}) = 1$, alors $\frac{n}{d} \mid (x-y)$.

💡 À retenir : Toujours diviser le module par le PGCD avant de simplifier.

Pourquoi on utilise la décomposition en facteurs premiers ?

Pour calculer facilement le PGCD et le PPCM.
Pour déterminer le nombre de diviseurs d'un entier.
Pour simplifier des expressions complexes dans les congruences.

💡 À retenir : C'est la "carte d'identité" multiplicative d'un nombre.

Est-ce que Fermat marche si p n'est pas premier ?

Non, le petit théorème de Fermat exige strictement que $p$ soit un nombre premier.

💡 À retenir : Si $p$ n'est pas premier, utilise le théorème d'Euler (hors programme lycée) ou la décomposition.

Non, le petit théorème de Fermat exige strictement que $p$ soit un nombre premier.

💡 À retenir : Si $p$ n'est pas premier, utilise le théorème d'Euler (hors programme lycée) ou la décomposition.

C'est quoi le rôle de l'algorithme d'Euclide étendu ?

Il permet de trouver les coefficients de Bézout $u$ et $v$ tels que $au + bv = PGCD(a,b)$ en remontant les étapes de l'algorithme d'Euclide.

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour inverser un nombre modulo $n$ .

Il permet de trouver les coefficients de Bézout $u$ et $v$ tels que $au + bv = PGCD(a,b)$ en remontant les étapes de l'algorithme d'Euclide.

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour inverser un nombre modulo $n$.

Est-ce que a^n equiv b^n pmod{m} implique a equiv b pmod{m} ?

Non, c'est faux (ex: $1^2 \equiv (-1)^2 \pmod{4}$ mais $1 \not\equiv -1 \pmod{4}$ ).

💡 À retenir : L'implication réciproque est fausse, sauf cas très particuliers.

Non, c'est faux (ex: $1^2 \equiv (-1)^2 \pmod{4}$ mais $1 \not\equiv -1 \pmod{4}$).

💡 À retenir : L'implication réciproque est fausse, sauf cas très particuliers.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer le PGCD de 126 et 45, puis trouver un couple $(u, v) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $126u + 45v = PGCD(126, 45)$ .

Exercice 1

Déterminer le PGCD de 126 et 45, puis trouver un couple $(u, v) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $126u + 45v = PGCD(126, 45)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $3x \equiv 5 \pmod{7}$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $3x \equiv 5 \pmod{7}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par 7.

Exercice 3

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par 7.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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