Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Fonctions primitives et calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction définie sur $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ . Si $F$ est une primitive, alors toute autre primitive est de la forme $F(x) + c$ ( $c \in \mathbb{R}$ ).
Intégrale : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ , alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Propriétés : Linéarité, relation de Chasles, positivité et ordre.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Reconnaître les formes usuelles ( $u^n \cdot u'$ , $u'/u$ , $u'e^u$ , etc.).
Choisir judicieusement $u(x)$ et $v'(x)$ pour l'intégration par parties (règle LIATE : Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Exponentielle).
Utiliser le changement de variable $t = \varphi(x)$ en n'oubliant pas de changer les bornes.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x e^{x^2}$ : On reconnaît $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$ , donc $F(x) = e^{x^2} + c$ .
Calcul de $\int_0^1 x e^x dx$ : Par parties, $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$ . Résultat : $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ pour les primitives.
Inverser les bornes lors du calcul de l'intégrale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive.

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction définie sur $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$. Si $F$ est une primitive, alors toute autre primitive est de la forme $F(x) + c$ ($c \in \mathbb{R}$).
Intégrale : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Propriétés : Linéarité, relation de Chasles, positivité et ordre.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Reconnaître les formes usuelles ($u^n \cdot u'$, $u'/u$, $u'e^u$, etc.).
Choisir judicieusement $u(x)$ et $v'(x)$ pour l'intégration par parties (règle LIATE : Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Exponentielle).
Utiliser le changement de variable $t = \varphi(x)$ en n'oubliant pas de changer les bornes.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x e^{x^2}$ : On reconnaît $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$, donc $F(x) = e^{x^2} + c$.
Calcul de $\int_0^1 x e^x dx$ : Par parties, $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$. Résultat : $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ pour les primitives.
Inverser les bornes lors du calcul de l'intégrale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions primitives et calcul intégral

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La primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref chkoun li ghanakhod u(x) f l'intégration par parties ?

Pour choisir $u(x)$ , utilise la règle mnémotechnique LIATE :

Logarithme ( $\ln x$ )
Inverse (fonctions rationnelles)
Algébrique (polynômes $x^n$ )
Trigonométrique ( $\cos, \sin$ )
Exponentielle ( $e^x$ ) Celui qui apparaît en premier dans cette liste est ton $u(x)$ .

💡 À retenir : Le choix de $u(x)$ doit simplifier l'intégrale après dérivation.

Pour choisir $u(x)$, utilise la règle mnémotechnique LIATE :

Logarithme ($\ln x$)
Inverse (fonctions rationnelles)
Algébrique (polynômes $x^n$)
Trigonométrique ($\cos, \sin$)
Exponentielle ($e^x$) Celui qui apparaît en premier dans cette liste est ton $u(x)$.

💡 À retenir : Le choix de $u(x)$ doit simplifier l'intégrale après dérivation.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours positive ?

Oui, si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ . Si de plus $f$ n'est pas nulle, l'intégrale est strictement positive.

💡 À retenir : L'intégrale conserve l'ordre et le signe de la fonction.

Oui, si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$. Si de plus $f$ n'est pas nulle, l'intégrale est strictement positive.

💡 À retenir : L'intégrale conserve l'ordre et le signe de la fonction.

Wach darouri nbeddel les bornes f changement de variable ?

Oui, c'est obligatoire. Si tu poses $t = \varphi(x)$ , alors quand $x=a$ , $t=\varphi(a)$ et quand $x=b$ , $t=\varphi(b)$ . Si tu ne changes pas les bornes, ton résultat sera faux.

💡 À retenir : Le changement de variable transforme tout, y compris les bornes et le $dx$ .

Oui, c'est obligatoire. Si tu poses $t = \varphi(x)$, alors quand $x=a$, $t=\varphi(a)$ et quand $x=b$, $t=\varphi(b)$. Si tu ne changes pas les bornes, ton résultat sera faux.

💡 À retenir : Le changement de variable transforme tout, y compris les bornes et le $dx$.

Comment calculer l'aire d'un domaine délimité par deux courbes ?

L'aire $A$ (en unité d'aire) est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ .

Étudie le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$ .
Sépare l'intégrale selon le signe pour enlever la valeur absolue.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on intègre la différence de la courbe supérieure moins la courbe inférieure.

L'aire $A$ (en unité d'aire) est donnée par $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.

Étudie le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$.
Sépare l'intégrale selon le signe pour enlever la valeur absolue.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on intègre la différence de la courbe supérieure moins la courbe inférieure.

Quelle est la primitive de tan(x) ?

La primitive de $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ est $-\ln|\cos(x)| + c$ .

💡 À retenir : On utilise la forme $\frac{u'}{u}$ en remarquant que $(\cos x)' = -\sin x$ .

La primitive de $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ est $-\ln|\cos(x)| + c$.

💡 À retenir : On utilise la forme $\frac{u'}{u}$ en remarquant que $(\cos x)' = -\sin x$.

Chno hiya la relation bin l'intégrale o l'mosa7a ?

L'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ hiya l'mosa7a l'mouwajjaha. Ila kan l'man7ana fou9 l'me7war, l'intégrale kikon positif. Ila kan ta7t, kikon négatif. L'mosa7a b'l'ma3na l'handasi khasha tkon dima positive.

💡 À retenir : L'intégrale peut être négative, mais l'aire est toujours positive.

Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction non continue ?

Au programme, on travaille principalement avec des fonctions continues. Si la fonction a un nombre fini de points de discontinuité, on peut utiliser la relation de Chasles pour découper l'intégrale sur des intervalles où la fonction est continue.

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence d'une primitive.

Comment savoir si une fonction admet des primitives ?

D'après le cours, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet au moins une primitive sur $I$ .

💡 À retenir : Continuité $\Rightarrow$ existence d'une primitive.

D'après le cours, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet au moins une primitive sur $I$.

💡 À retenir : Continuité $\Rightarrow$ existence d'une primitive.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx cdot inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur très grave. La multiplication ne respecte pas la linéarité de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale d'un produit n'est jamais le produit des intégrales.

Kifach n7seb l'intégrale dyal frac{1}{x^2+1} ?

C'est une intégrale classique. La primitive de $\frac{1}{x^2+1}$ est $\arctan(x) + c$ .

💡 À retenir : Apprends par cœur les primitives des fonctions usuelles.

C'est une intégrale classique. La primitive de $\frac{1}{x^2+1}$ est $\arctan(x) + c$.

💡 À retenir : Apprends par cœur les primitives des fonctions usuelles.

Si F est une primitive de f, est-ce que F est unique ?

Non, il existe une infinité de primitives. Si $F$ est une primitive, alors $F+c$ est aussi une primitive pour tout réel $c$ .

💡 À retenir : Les primitives diffèrent d'une constante.

Non, il existe une infinité de primitives. Si $F$ est une primitive, alors $F+c$ est aussi une primitive pour tout réel $c$.

💡 À retenir : Les primitives diffèrent d'une constante.

Comment utiliser la parité pour calculer une intégrale ?

Si $f$ est paire et l'intervalle est symétrique $[-a, a]$ , alors $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ . Si $f$ est impaire, l'intégrale est nulle.

💡 À retenir : La parité simplifie énormément les calculs sur les intervalles symétriques.

Si $f$ est paire et l'intervalle est symétrique $[-a, a]$, alors $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$. Si $f$ est impaire, l'intégrale est nulle.