Structures algébriques (Lois de composition interne, Groupes, Anneaux, Corps)

1. On cherche $e$ tel que $x * e = x$.
2. $xe + 2x + 2e + 2 = x$.
3. $e(x + 2) = -x - 2$.
4. $e(x + 2) = -(x + 2)$.
5. Pour $x \neq -2$, on trouve $e = -1$.

💡 À retenir : L'élément neutre doit être indépendant de $x$ pour tout $x$ de l'ensemble.

Non, un anneau $(A, T, \perp)$ possède deux éléments neutres différents :

1. L'élément neutre pour la loi $T$ (souvent noté $0_A$).
2. L'élément neutre pour la loi $\perp$ (souvent noté $1_A$).

💡 À retenir : Ne jamais confondre le neutre de l'addition et celui de la multiplication.

1. Un groupe est défini avec une seule loi de composition interne.
2. Un anneau est défini avec deux lois (généralement notées $+$ et $\times$).
3. Dans un anneau, la structure doit être un groupe commutatif pour la première loi, et la seconde loi doit être distributive par rapport à la première.

💡 À retenir : L'anneau est une structure plus riche car il combine deux opérations.

Il faut démontrer quatre points :

1. La loi est interne dans $G$.
2. La loi est associative.
3. Il existe un élément neutre dans $G$.
4. Tout élément de $G$ possède un symétrique dans $G$.

💡 À retenir : Si la loi est commutative, on parle de groupe abélien.

Non. Un corps est un anneau très particulier où tout élément non nul possède un inverse (symétrique pour la deuxième loi). Par exemple, $(\mathbb{Z}, +, \times)$ est un anneau mais pas un corps, car $2$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb{Z}$.

💡 À retenir : Un corps est un anneau "plus grand" en termes de propriétés.

Il faut vérifier que pour tous $x, y$ dans l'ensemble de départ : $f(x * y) = f(x) \perp f(y)$ où $*$ est la loi de l'ensemble de départ et $\perp$ celle de l'ensemble d'arrivée.

💡 À retenir : Le morphisme "respecte" la structure de la loi.

Un élément $a$ est régulier pour une loi $*$ si :

1. $a * x = a * y \implies x = y$ (régularité à gauche).
2. $x * a = y * a \implies x = y$ (régularité à droite).

💡 À retenir : Dans un groupe, tous les éléments sont réguliers.

Non, elle doit être démontrée pour chaque loi donnée. Si $x * (y * z) \neq (x * y) * z$, alors la loi n'est pas associative et l'ensemble ne peut pas être un groupe.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'associativité, il faut la vérifier par le calcul.

Il faut résoudre l'équation $x * x' = e$, où $e$ est l'élément neutre déjà calculé. $x'$ doit être exprimé en fonction de $x$ et doit appartenir à l'ensemble de départ.

💡 À retenir : Le symétrique dépend de l'élément $x$.

Une partie $H$ d'un groupe $(G, *)$ est un sous-groupe si :

1. $H \neq \emptyset$.
2. $\forall x, y \in H, x * y \in H$.
3. $\forall x \in H, x^{-1} \in H$.

💡 À retenir : Un sous-groupe est lui-même un groupe pour la même loi.

On le dit quand la loi de composition interne est commutative, c'est-à-dire $x * y = y * x$ pour tous $x, y$ de l'ensemble. On utilise aussi le terme "groupe abélien".

💡 À retenir : La commutativité n'est pas une propriété obligatoire d'un groupe.

Oui, dans n'importe quelle structure (groupe, anneau), si un élément neutre existe, il est unique. Si vous en trouvez deux, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : L'unicité est une propriété fondamentale des éléments neutres.