Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Nombres complexes (Partie 2 : Applications géométriques)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Affixe d'un vecteur : Pour deux points $A(a)$ et $B(b)$ , l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = b - a$ .
Distance et angle : $AB = |b - a|$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg(b - a) \pmod{2\pi}$ .
Alignement et orthogonalité :
- $A, B, C$ sont alignés ssi $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$ .
- $(AB) \perp (AC)$ ssi $\frac{c-a}{b-a} \in i\mathbb{R}$ .
Transformations :
- Translation de vecteur $\vec{u}$ ( $z_u$ ) : $z' = z + z_u$ .
- Homothétie $h(\Omega, k)$ : $z' - \omega = k(z - \omega)$ .
- Rotation $r(\Omega, \theta)$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer la nature d'un triangle : calculer $\frac{c-a}{b-a}$ et chercher son module et son argument.
Déterminer un ensemble de points : transformer l'équation $|z - a| = |z - b|$ en médiatrice ou $|z - a| = R$ en cercle.
Utiliser les transformations pour démontrer des propriétés géométriques (isométrie, similitude).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A(1+i)$ et $B(2)$ . Calculer $AB$ : $AB = |2 - (1+i)| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ .
Exemple 2 : Rotation de centre $\Omega(i)$ et angle $\pi/2$ . L'image de $A(1)$ est $z'$ tel que $z' - i = e^{i\pi/2}(1 - i) \Rightarrow z' = i + i(1-i) = i + i + 1 = 1 + 2i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans les arguments.
Confondre l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ ( $b-a$ ) avec le milieu du segment ( $\frac{a+b}{2}$ ).
Ne pas vérifier si le rapport est nul lors de la recherche de l'alignement.

L'essentiel du cours

Affixe d'un vecteur : Pour deux points $A(a)$ et $B(b)$, l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = b - a$.
Distance et angle : $AB = |b - a|$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg(b - a) \pmod{2\pi}$.
Alignement et orthogonalité :
- $A, B, C$ sont alignés ssi $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$.
- $(AB) \perp (AC)$ ssi $\frac{c-a}{b-a} \in i\mathbb{R}$.
Transformations :
- Translation de vecteur $\vec{u}$ ($z_u$) : $z' = z + z_u$.
- Homothétie $h(\Omega, k)$ : $z' - \omega = k(z - \omega)$.
- Rotation $r(\Omega, \theta)$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la nature d'un triangle : calculer $\frac{c-a}{b-a}$ et chercher son module et son argument.
Déterminer un ensemble de points : transformer l'équation $|z - a| = |z - b|$ en médiatrice ou $|z - a| = R$ en cercle.
Utiliser les transformations pour démontrer des propriétés géométriques (isométrie, similitude).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A(1+i)$ et $B(2)$. Calculer $AB$ : $AB = |2 - (1+i)| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
Exemple 2 : Rotation de centre $\Omega(i)$ et angle $\pi/2$. L'image de $A(1)$ est $z'$ tel que $z' - i = e^{i\pi/2}(1 - i) \Rightarrow z' = i + i(1-i) = i + i + 1 = 1 + 2i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans les arguments.
Confondre l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ ($b-a$) avec le milieu du segment ($\frac{a+b}{2}$).
Ne pas vérifier si le rapport est nul lors de la recherche de l'alignement.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Nombres complexes (Partie 2 : Applications géométriques)

1/4

L'affixe du milieu de $[AB]$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un triangle est rectangle isocèle ?

Calcule le rapport $Z = \frac{c-a}{b-a}$ .
Vérifie si $|Z| = 1$ (pour le côté isocèle) et si $\arg(Z) \equiv \pm \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ (pour l'orthogonalité).

💡 À retenir : Un triangle est rectangle isocèle en $A$ si $\frac{c-a}{b-a} = i$ ou $-i$ .

Calcule le rapport $Z = \frac{c-a}{b-a}$.
Vérifie si $|Z| = 1$ (pour le côté isocèle) et si $\arg(Z) \equiv \pm \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ (pour l'orthogonalité).

💡 À retenir : Un triangle est rectangle isocèle en $A$ si $\frac{c-a}{b-a} = i$ ou $-i$.

Kifach n7seb l'ensemble dyal noqat ila 3tani |z - (1+i)| = 2 ?

L'équation est de la forme $|z - \omega| = R$ .
Ici, $\omega = 1+i$ (affixe du point $A$ ) et $R = 2$ .
L'ensemble est le cercle de centre $A(1+i)$ et de rayon $R=2$ .

💡 À retenir : $|z - \omega| = R$ représente toujours un cercle de centre $\omega$ et de rayon $R$ .

L'équation est de la forme $|z - \omega| = R$.
Ici, $\omega = 1+i$ (affixe du point $A$) et $R = 2$.
L'ensemble est le cercle de centre $A(1+i)$ et de rayon $R=2$.

💡 À retenir : $|z - \omega| = R$ représente toujours un cercle de centre $\omega$ et de rayon $R$.

Quelle est la différence entre une homothétie et une rotation ?

L'homothétie multiplie les distances par un rapport réel $k$ . La formule est $z' - \omega = k(z - \omega)$ .
La rotation conserve les distances (isométrie) et fait tourner le point d'un angle $\theta$ . La formule est $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .

💡 À retenir : L'homothétie change la taille, la rotation change l'orientation.

L'homothétie multiplie les distances par un rapport réel $k$. La formule est $z' - \omega = k(z - \omega)$.
La rotation conserve les distances (isométrie) et fait tourner le point d'un angle $\theta$. La formule est $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

💡 À retenir : L'homothétie change la taille, la rotation change l'orientation.

Chno hiya l'fayda dyal l'forme exponentielle f l'handasa ?

Elle simplifie énormément les calculs de rotation.
Multiplier par $e^{i\theta}$ revient à faire une rotation d'angle $\theta$ .

💡 À retenir : La forme exponentielle rend les transformations géométriques beaucoup plus intuitives.

Elle simplifie énormément les calculs de rotation.
Multiplier par $e^{i\theta}$ revient à faire une rotation d'angle $\theta$.

💡 À retenir : La forme exponentielle rend les transformations géométriques beaucoup plus intuitives.

Comment démontrer que quatre points sont cocycliques ?

Calcule le birapport $Z = \frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$ .
Si $Z \in \mathbb{R}$ , alors les points sont cocycliques ou alignés.

💡 À retenir : Le birapport réel est la condition nécessaire et suffisante pour la cocyclicité.

Calcule le birapport $Z = \frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$.
Si $Z \in \mathbb{R}$, alors les points sont cocycliques ou alignés.

💡 À retenir : Le birapport réel est la condition nécessaire et suffisante pour la cocyclicité.

Kifach n3ref l'nature dyal t7wil ila 3tani z' = az + b ?

Si $a=1$ , c'est une translation de vecteur $b$ .
Si $a \neq 1$ , c'est une similitude directe de centre $\Omega$ (point fixe) et d'angle $\arg(a)$ .

💡 À retenir : Résous $z = az + b$ pour trouver le centre $\Omega$ .

Si $a=1$, c'est une translation de vecteur $b$.
Si $a \neq 1$, c'est une similitude directe de centre $\Omega$ (point fixe) et d'angle $\arg(a)$.

💡 À retenir : Résous $z = az + b$ pour trouver le centre $\Omega$.

Est-ce que l'argument d'un nombre complexe est unique ?

Non, il est défini à $2k\pi$ près. On parle de mesure principale dans $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : $\arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi}$ .

Non, il est défini à $2k\pi$ près. On parle de mesure principale dans $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : $\arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi}$.

Comment trouver l'image d'une droite par une rotation ?

Choisis deux points distincts $M_1$ et $M_2$ sur la droite.
Calcule leurs images $M'_1$ et $M'_2$ par la rotation.
La droite image est la droite $(M'_1 M'_2)$ .

💡 À retenir : Une droite est définie par deux points.

Choisis deux points distincts $M_1$ et $M_2$ sur la droite.
Calcule leurs images $M'_1$ et $M'_2$ par la rotation.
La droite image est la droite $(M'_1 M'_2)$.

💡 À retenir : Une droite est définie par deux points.

Qu'est-ce qu'une similitude directe ?

C'est une transformation qui conserve les angles orientés et le rapport des distances. Elle s'écrit $z' = az + b$ .

💡 À retenir : La similitude est une composition d'homothétie et de rotation.

C'est une transformation qui conserve les angles orientés et le rapport des distances. Elle s'écrit $z' = az + b$.

💡 À retenir : La similitude est une composition d'homothétie et de rotation.

Peut-on utiliser les nombres complexes pour calculer des aires ?

Oui, l'aire d'un triangle $ABC$ est $\frac{1}{2} | \text{Im}(\overline{(b-a)}(c-a)) |$ .

💡 À retenir : Le produit vectoriel est lié à la partie imaginaire du produit complexe.

Oui, l'aire d'un triangle $ABC$ est $\frac{1}{2} | \text{Im}(\overline{(b-a)}(c-a)) |$.

💡 À retenir : Le produit vectoriel est lié à la partie imaginaire du produit complexe.

Est-ce que la rotation conserve le milieu ?

Oui, toutes les transformations affines (translation, rotation, homothétie) conservent le milieu.

💡 À retenir : L'image du milieu est le milieu des images.

Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?

Montre que $d-c = a-b$ (les vecteurs $\vec{CD}$ et $\vec{BA}$ sont égaux).

💡 À retenir : $ABCD$ est un parallélogramme ssi $a+c = b+d$ .

Montre que $d-c = a-b$ (les vecteurs $\vec{CD}$ et $\vec{BA}$ sont égaux).

💡 À retenir : $ABCD$ est un parallélogramme ssi $a+c = b+d$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(i)$ , $B(1)$ et $C(2+i)$ .

Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

Exercice 1

Soient $A(i)$, $B(1)$ et $C(2+i)$.

Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $r$ la rotation de centre $\Omega(1)$ et d'angle $\pi/3$ .

Donner l'écriture complexe de $r$ .
Soit $M(z)$ et $M'(z')$ . Montrer que si $M$ appartient au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$ , alors $M'$ aussi.

Exercice 2

Soit $r$ la rotation de centre $\Omega(1)$ et d'angle $\pi/3$.

Donner l'écriture complexe de $r$.
Soit $M(z)$ et $M'(z')$. Montrer que si $M$ appartient au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$, alors $M'$ aussi.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $\frac{z-i}{z+1} \in i\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $\frac{z-i}{z+1} \in i\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Limites et continuité Dérivation et étude des fonctions Théorème des Accroissements Finis (TAF)Suites numériques Fonctions logarithmiques Fonctions exponentielles Équations différentielles Nombres complexes (Partie 1)Fonctions primitives et calcul intégral Arithmétique Structures algébriques (Lois de composition interne, Groupes, Anneaux, Corps)Dénombrement Probabilités