Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini selon des conditions précises.

1. Principe multiplicatif (Principe du produit) : Si une opération peut être décomposée en $k$ étapes successives, où la première peut être faite de $n_1$ façons, la deuxième de $n_2$ façons, ..., la $k$ -ième de $n_k$ façons, alors le nombre total de façons de réaliser l'opération est : $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$

2. Principe additif (Principe de la somme) : Si on doit choisir entre plusieurs options mutuellement exclusives (on ne peut pas faire les deux en même temps), on additionne les possibilités.

3. Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts : $P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$

4. Arrangements : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts ( $p \le n$ ) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$

5. Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts sans tenir compte de l'ordre ( $p \le n$ ) : $\binom{n}{p} = C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Propriétés des combinaisons :

$\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
Formule du triangle de Pascal : $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut suivre ces étapes :

Identifier l'ordre : Est-ce que l'ordre des éléments compte ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison.
Identifier la répétition : Est-ce qu'on peut choisir plusieurs fois le même élément ?
- Si OUI $\rightarrow$ P-uplets (ou arrangements avec répétition).
- Si NON $\rightarrow$ Arrangement/Combinaison classique.
Utiliser l'événement contraire : Quand la question demande "au moins un...", il est souvent plus simple de calculer : $\text{Total} - \text{Cas où il n'y en a aucun}$

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec l'alphabet $\{A, B, C, D, E\}$ si les lettres sont distinctes ? Solution : On choisit 3 lettres et l'ordre compte (un mot est un ordre). C'est un arrangement de 3 parmi 5. $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

Exemple 2 : Un club de 10 personnes veut élire un bureau composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier. Combien de bureaux possibles ? Solution : Les rôles sont distincts, donc l'ordre compte. On choisit 3 personnes parmi 10. $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $\binom{n}{p}$ : L'erreur classique est d'utiliser les combinaisons quand l'ordre est important (ex: un code de cadenas ou un podium).
Oublier la distinction "avec" ou "sans" répétition : Si on peut reprendre le même chiffre, on utilise $n^p$ et non $A_n^p$ .
Mauvaise utilisation du "au moins" : Vouloir lister tous les cas possibles au lieu de passer par l'événement contraire, ce qui mène souvent à des doubles comptages.

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini selon des conditions précises.

1. Principe multiplicatif (Principe du produit) : Si une opération peut être décomposée en $k$ étapes successives, où la première peut être faite de $n_1$ façons, la deuxième de $n_2$ façons, ..., la $k$-ième de $n_k$ façons, alors le nombre total de façons de réaliser l'opération est : $$n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$$

2. Principe additif (Principe de la somme) : Si on doit choisir entre plusieurs options mutuellement exclusives (on ne peut pas faire les deux en même temps), on additionne les possibilités.

3. Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts : $$P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$$

4. Arrangements : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts ($p \le n$) : $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$

5. Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts sans tenir compte de l'ordre ($p \le n$) : $$\binom{n}{p} = C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Propriétés des combinaisons :

$\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
Formule du triangle de Pascal : $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut suivre ces étapes :

Identifier l'ordre : Est-ce que l'ordre des éléments compte ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison.
Identifier la répétition : Est-ce qu'on peut choisir plusieurs fois le même élément ?
- Si OUI $\rightarrow$ P-uplets (ou arrangements avec répétition).
- Si NON $\rightarrow$ Arrangement/Combinaison classique.
Utiliser l'événement contraire : Quand la question demande "au moins un...", il est souvent plus simple de calculer : $$\text{Total} - \text{Cas où il n'y en a aucun}$$

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec l'alphabet ${A, B, C, D, E}$ si les lettres sont distinctes ? Solution : On choisit 3 lettres et l'ordre compte (un mot est un ordre). C'est un arrangement de 3 parmi 5. $$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$$

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $\binom{n}{p}$ : L'erreur classique est d'utiliser les combinaisons quand l'ordre est important (ex: un code de cadenas ou un podium).
Oublier la distinction "avec" ou "sans" répétition : Si on peut reprendre le même chiffre, on utilise $n^p$ et non $A_n^p$.
Mauvaise utilisation du "au moins" : Vouloir lister tous les cas possibles au lieu de passer par l'événement contraire, ce qui mène souvent à des doubles comptages.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dénombrement

1/4

Quelle est la valeur de $5!$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno lfarq bin arrangement et combinaison?

La différence fondamentale est l'ordre :

Dans un arrangement, l'ordre des éléments est important. Par exemple, le code (1, 2) est différent du code (2, 1).
Dans une combinaison, l'ordre n'importe pas. Par exemple, choisir deux élèves $\{A, B\}$ est la même chose que choisir $\{B, A\}$ pour former un groupe.

💡 À retenir : Ordre important $\rightarrow$ Arrangement ; Ordre non important $\rightarrow$ Combinaison.

La différence fondamentale est l'ordre :

Dans un arrangement, l'ordre des éléments est important. Par exemple, le code (1, 2) est différent du code (2, 1).
Dans une combinaison, l'ordre n'importe pas. Par exemple, choisir deux élèves ${A, B}$ est la même chose que choisir ${B, A}$ pour former un groupe.

💡 À retenir : Ordre important $\rightarrow$ Arrangement ; Ordre non important $\rightarrow$ Combinaison.

Kifach n7seb binom{10}{3} b deghya?

Pour calculer rapidement $\binom{n}{p}$ , utilise la méthode de la descente :

Écris $p$ facteurs au numérateur en partant de $n$ (décroissant).
Écris $p!$ au dénominateur.

Pour $\binom{10}{3}$ : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$ Simplifie avant de multiplier :

$9 / 3 = 3$
$8 / 2 = 4$ Il reste : $10 \times 3 \times 4 = 120$ .

💡 À retenir : Toujours simplifier les fractions avant de faire les grosses multiplications.

Pour calculer rapidement $\binom{n}{p}$, utilise la méthode de la descente :

Écris $p$ facteurs au numérateur en partant de $n$ (décroissant).
Écris $p!$ au dénominateur.

Pour $\binom{10}{3}$ : $$\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$$ Simplifie avant de multiplier :

$9 / 3 = 3$
$8 / 2 = 4$ Il reste : $10 \times 3 \times 4 = 120$.

💡 À retenir : Toujours simplifier les fractions avant de faire les grosses multiplications.

Wach darori nsta3mel An^p f ga3 l'as'ila?

Non, cela dépend de l'énoncé. Pose-toi toujours la question : "Si je change l'ordre des éléments que j'ai choisis, est-ce que j'obtiens un résultat différent ?"

Si la réponse est OUI (ex: un numéro de téléphone, un classement), utilise $A_n^p$ ou $n!$ .
Si la réponse est NON (ex: une main de cartes, un sous-ensemble, un comité sans rôles), utilise $\binom{n}{p}$ .

💡 À retenir : L'ordre est le critère de décision.

Non, cela dépend de l'énoncé. Pose-toi toujours la question : "Si je change l'ordre des éléments que j'ai choisis, est-ce que j'obtiens un résultat différent ?"

Si la réponse est OUI (ex: un numéro de téléphone, un classement), utilise $A_n^p$ ou $n!$.
Si la réponse est NON (ex: une main de cartes, un sous-ensemble, un comité sans rôles), utilise $\binom{n}{p}$.

💡 À retenir : L'ordre est le critère de décision.

Quelle est la différence entre une permutation et un arrangement ?

L'arrangement consiste à choisir $p$ éléments parmi $n$ et à les ordonner ( $p \le n$ ).
La permutation est un cas particulier de l'arrangement où l'on utilise tous les éléments disponibles ( $p = n$ ). $P_n = A_n^n = n!$

💡 À retenir : La permutation, c'est juste ranger tout le monde.

L'arrangement consiste à choisir $p$ éléments parmi $n$ et à les ordonner ($p \le n$).
La permutation est un cas particulier de l'arrangement où l'on utilise tous les éléments disponibles ($p = n$). $$P_n = A_n^n = n!$$

💡 À retenir : La permutation, c'est juste ranger tout le monde.

Comment compter le nombre de sous-ensembles d'un ensemble à n éléments ?

Le nombre total de sous-ensembles est $2^n$ . On peut le démontrer en sommant toutes les combinaisons possibles de taille $k$ (de $0$ à $n$ ) : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

💡 À retenir : Pour un ensemble de $n$ éléments, il y a $2^n$ possibilités de sous-ensembles.

Le nombre total de sous-ensembles est $2^n$. On peut le démontrer en sommant toutes les combinaisons possibles de taille $k$ (de $0$ à $n$) : $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

💡 À retenir : Pour un ensemble de $n$ éléments, il y a $2^n$ possibilités de sous-ensembles.

Que signifie "au moins un" dans un problème de dénombrement ?

"Au moins un" signifie que l'on peut avoir 1, 2, 3... jusqu'à $n$ éléments. Au lieu de calculer chaque cas séparément, utilise la méthode de l'événement contraire : $\text{Nombre de cas (au moins un)} = \text{Total des cas} - \text{Nombre de cas (aucun)}$

💡 À retenir : "Au moins un" $\rightarrow$ passer par l'événement contraire pour gagner du temps.

"Au moins un" signifie que l'on peut avoir 1, 2, 3... jusqu'à $n$ éléments. Au lieu de calculer chaque cas séparément, utilise la méthode de l'événement contraire : $$\text{Nombre de cas (au moins un)} = \text{Total des cas} - \text{Nombre de cas (aucun)}$$

💡 À retenir : "Au moins un" $\rightarrow$ passer par l'événement contraire pour gagner du temps.

Peut-on utiliser les combinaisons pour choisir un comité avec un président et un secrétaire ?

Non. Puisque les rôles (président, secrétaire) sont différents, l'ordre de sélection compte. Si tu choisis A comme président et B comme secrétaire, c'est différent de B président et A secrétaire. Il faut donc utiliser un arrangement $A_n^2$ .

💡 À retenir : Des rôles distincts = l'ordre compte = Arrangement.

Comment calculer le nombre de façons de ranger n livres sur une étagère ?

Il s'agit de ranger tous les objets disponibles. C'est une permutation de $n$ objets. Le nombre de façons est $n!$ .

💡 À retenir : Ranger $n$ objets distincts $\rightarrow n!$ .

Il s'agit de ranger tous les objets disponibles. C'est une permutation de $n$ objets. Le nombre de façons est $n!$.

💡 À retenir : Ranger $n$ objets distincts $\rightarrow n!$.

Si je tire 2 boules simultanément dans une urne de 10, est-ce un arrangement ou une combinaison ?

C'est une combinaison. Le mot "simultanément" est l'indice clé : il signifie que l'ordre dans lequel les boules sortent n'a aucune importance. On utilise $\binom{10}{2}$ .

💡 À retenir : "Simultanément" $\rightarrow$ Combinaison.

C'est une combinaison. Le mot "simultanément" est l'indice clé : il signifie que l'ordre dans lequel les boules sortent n'a aucune importance. On utilise $\binom{10}{2}$.

💡 À retenir : "Simultanément" $\rightarrow$ Combinaison.

Quelle est la valeur de binom{n}{1} et binom{n}{0} ?

$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$ (Choisir 1 élément parmi $n$ peut se faire de $n$ façons).
$\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \times n!} = 1$ (Il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir : l'ensemble vide).

💡 À retenir : $\binom{n}{1} = n$ et $\binom{n}{0} = 1$ .

$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$ (Choisir 1 élément parmi $n$ peut se faire de $n$ façons).
$\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \times n!} = 1$ (Il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir : l'ensemble vide).

💡 À retenir : $\binom{n}{1} = n$ et $\binom{n}{0} = 1$.

Comment dénombrer les nombres de 4 chiffres sans répétition ?

Attention au premier chiffre (il ne peut pas être 0) !

Premier chiffre : 9 choix (de 1 à 9).
Deuxième chiffre : 9 choix (0 + les 8 restants).
Troisième chiffre : 8 choix.
Quatrième chiffre : 7 choix. Total : $9 \times 9 \times 8 \times 7$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier si le chiffre "0" est autorisé en première position.

Attention au premier chiffre (il ne peut pas être 0) !

Premier chiffre : 9 choix (de 1 à 9).
Deuxième chiffre : 9 choix (0 + les 8 restants).
Troisième chiffre : 8 choix.
Quatrième chiffre : 7 choix. Total : $9 \times 9 \times 8 \times 7$.

💡 À retenir : Toujours vérifier si le chiffre "0" est autorisé en première position.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Moyen) : On considère l'ensemble $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Combien de sous-ensembles de $E$ possède exactement 3 éléments ?
Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former en utilisant les éléments de $E$ ?
Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former si le nombre doit être pair ?

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Moyen) : On considère l'ensemble $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

Combien de sous-ensembles de $E$ possède exactement 3 éléments ?
Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former en utilisant les éléments de $E$ ?
Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former si le nombre doit être pair ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Examen National) : Un comité de gestion est composé de 12 membres : 7 femmes et 5 hommes. On souhaite former une commission de 4 personnes parmi ces membres.

Combien de commissions peut-on former au total ?
Combien de commissions peut-on former si elle doit contenir exactement 2 femmes et 2 hommes ?
Combien de commissions peut-on former si elle doit contenir au moins une femme ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile - SM-A) : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'ensemble $S = \{1, 2, \dots, n\}$ . On appelle "sous-ensemble sans éléments consécutifs" un sous-ensemble de $S$ tel que si $k \in S$ appartient au sous-ensemble, alors $k+1 \notin S$ . Démontrer que le nombre de sous-ensembles de $S$ de cardinal $p$ ne contenant aucun élément consécutif est égal à $\binom{n-p+1}{p}$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile - SM-A) : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère l'ensemble $S = {1, 2, \dots, n}$. On appelle "sous-ensemble sans éléments consécutifs" un sous-ensemble de $S$ tel que si $k \in S$ appartient au sous-ensemble, alors $k+1 \notin S$. Démontrer que le nombre de sous-ensembles de $S$ de cardinal $p$ ne contenant aucun élément consécutif est égal à $\binom{n-p+1}{p}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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