Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A
Théorème des Accroissements Finis (TAF)
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) est un outil puissant pour encadrer des fonctions ou démontrer des inégalités.
Soit $f$ une fonction définie sur $[a, b]$ ($a < b$).
Conditions d'application :
$f$ est continue sur $[a, b]$.
$f$ est dérivable sur $]a, b[$.
Conclusion : Il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que :
$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
Interprétation géométrique : Il existe une tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $c$ qui est parallèle à la droite passant par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.
Méthodes à maîtriser
Démontrer une inégalité : Pour montrer $|f(x) - f(y)| \leq k|x - y|$, on applique le TAF sur l'intervalle d'extrémités $x$ et $y$ (en supposant $x < y$). On encadre ensuite $f'(c)$ par $k$.
Recherche de $c$ : Résoudre l'équation $f'(c) = \text{taux d'accroissement}$.
Utilisation du TAF pour les limites : Parfois utilisé pour démontrer des comportements asymptotiques.
Exemples corrigés
Exemple : Soit $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[1, 4]$.
$f$ est continue sur $[1, 4]$ et dérivable sur $]1, 4[$.
Il existe $c \in ]1, 4[$ tel que $f'(c) = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{1}}{4 - 1} = \frac{1}{3}$.
Comme $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, on a $\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{3}{2} \implies c = \frac{9}{4}$.
$c = 2,25 \in ]1, 4[$.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier la continuité sur l'intervalle fermé $[a, b]$ et la dérivabilité sur l'ouvert $]a, b[$.
Confondre le TAF avec le théorème de Rolle (qui est un cas particulier où $f(a) = f(b)$).
Appliquer le TAF sur un intervalle où la fonction n'est pas dérivable (ex: $f(x) = |x|$ en $0$).
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Est-ce que je peux appliquer le TAF si la fonction n'est pas dérivable en a ou b ?
Oui, tout à fait. Le théorème exige la dérivabilité uniquement sur l'intervalle ouvert $]a, b[$. La fonction doit être continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$, mais elle peut très bien ne pas être dérivable aux bornes.
💡 À retenir : La dérivabilité sur $]a, b[$ suffit, pas besoin en $a$ ou $b$.
Kifach n7seb c ila tlabuha lia f l'examen ?
Vérifie les conditions (continuité et dérivabilité).
Calcule le taux d'accroissement $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Calcule la dérivée $f'(x)$.
Résous l'équation $f'(c) = \text{taux d'accroissement}$ pour trouver $c$.
Vérifie que la valeur trouvée appartient bien à l'intervalle $]a, b[$.
💡 À retenir : $c$ doit impérativement être dans l'intervalle ouvert $]a, b[$.
Est-ce que le c est unique ?
Non, le théorème dit « il existe au moins un réel $c$ ». Il peut y en avoir plusieurs. Si tu en trouves un, le théorème est satisfait.
💡 À retenir : « Au moins un » signifie qu'il peut y en avoir un, deux, ou une infinité.
Wach darouri nst3mlu TAF bach nbyno l'inégalité ?
Pas forcément. Parfois, l'étude des variations (signe de la dérivée) suffit. Mais si l'inégalité porte sur la différence $|f(x) - f(y)|$, le TAF est souvent la méthode la plus rapide et la plus élégante.
💡 À retenir : Le TAF est l'outil privilégié pour majorer une différence de deux images.
Est-ce que le TAF marche pour les fonctions complexes ?
(à vérifier par le professeur) Non, le TAF tel qu'il est enseigné en 2ème Bac Sciences Mathématiques au Maroc s'applique uniquement aux fonctions à valeurs réelles d'une variable réelle.
💡 À retenir : Le TAF est réservé aux fonctions $f : I \to \mathbb{R}$.
Chno lfar9 bin Rolle o TAF ?
Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF. Dans Rolle, on a $f(a) = f(b)$, donc le taux d'accroissement est nul, ce qui donne $f'(c) = 0$. Le TAF est la version générale.
💡 À retenir : Rolle est le TAF quand la pente est nulle.
Est-ce que je peux utiliser le TAF sur un intervalle infini comme [a, +infty[ ?
Non, le TAF nécessite un intervalle borné $[a, b]$. Pour des intervalles infinis, on utilise souvent les limites ou l'étude des variations de la fonction.
💡 À retenir : Le TAF s'applique sur un intervalle fermé borné $[a, b]$.
Le TAF donne une égalité ($f'(c) = \dots$), tandis que l'IAF donne un encadrement ($m \leq f'(c) \leq M$). Si on te demande de prouver une inégalité, utilise l'IAF.
💡 À retenir : Égalité = TAF, Inégalité = IAF.
Si f'(c) n'est pas constante, comment je fais pour majorer ?
Tu dois chercher le maximum et le minimum de $f'$ sur l'intervalle $[a, b]$. Si $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $m \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq M$.
💡 À retenir : Encadre la dérivée pour encadrer le taux.
Est-ce que le TAF est vrai si la fonction est constante ?
Oui, si $f$ est constante, $f'(x) = 0$ pour tout $x$. Le TAF donne $0 = 0$, ce qui est vrai.
💡 À retenir : Le TAF fonctionne même pour les fonctions constantes.
Wach momkin nطبق TAF 3la fonction f(x) = 1/x f [1, 2] ?
Oui, car $f$ est continue sur $[1, 2]$ et dérivable sur $]1, 2[$. La fonction n'est pas définie en $0$, mais comme $0 \notin [1, 2]$, tout va bien.
💡 À retenir : Vérifie toujours que l'intervalle est inclus dans le domaine de définition.
Pourquoi on dit « au moins un » ?
Parce que la courbe peut faire des « vagues » (oscillations) entre $a$ et $b$, créant plusieurs points où la tangente est parallèle à la sécante.
💡 À retenir : L'existence est garantie, l'unicité n'est pas requise.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.
Montrer que $f$ vérifie les conditions du TAF sur $[0, 1]$.
Déterminer la valeur de $c \in ]0, 1[$ telle que $f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$.
Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) est un outil puissant pour encadrer des fonctions ou démontrer des inégalités.
Soit f une fonction définie sur [a,b] (a<b).
Conditions d'application :
f est continue sur [a,b].
f est dérivable sur ]a,b[.
Conclusion : Il existe au moins un réel c∈]a,b[ tel que :
f′(c)=b−af(b)−f(a)Interprétation géométrique : Il existe une tangente à la courbe de f au point d'abscisse c qui est parallèle à la droite passant par les points (a,f(a)) et (b,f(b)).
Méthodes à maîtriser
Démontrer une inégalité : Pour montrer ∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣, on applique le TAF sur l'intervalle d'extrémités x et y (en supposant x<y). On encadre ensuite f′(c) par k.
Recherche de c : Résoudre l'équation f′(c)=taux d’accroissement.
Utilisation du TAF pour les limites : Parfois utilisé pour démontrer des comportements asymptotiques.
Exemples corrigés
Exemple : Soit f(x)=x sur [1,4].
f est continue sur [1,4] et dérivable sur ]1,4[.
Il existe c∈]1,4[ tel que f′(c)=4−14−1=31.
Comme f′(x)=2x1, on a 2c1=31⟹c=23⟹c=49.
c=2,25∈]1,4[.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier la continuité sur l'intervalle fermé [a,b] et la dérivabilité sur l'ouvert ]a,b[.
Confondre le TAF avec le théorème de Rolle (qui est un cas particulier où f(a)=f(b)).
Appliquer le TAF sur un intervalle où la fonction n'est pas dérivable (ex: f(x)=∣x∣ en 0).
Continuité sur [a,b]
Dérivabilité sur ]a,b[
a<b
Oui, tout à fait. Le théorème exige la dérivabilité uniquement sur l'intervalle ouvert ]a,b[. La fonction doit être continue sur l'intervalle fermé [a,b], mais elle peut très bien ne pas être dérivable aux bornes.
💡 À retenir : La dérivabilité sur ]a,b[ suffit, pas besoin en a ou b.
Vérifie les conditions (continuité et dérivabilité).
Calcule le taux d'accroissement b−af(b)−f(a).
Calcule la dérivée f′(x).
Résous l'équation f′(c)=taux d’accroissement pour trouver c.
Vérifie que la valeur trouvée appartient bien à l'intervalle ]a,b[.
💡 À retenir : c doit impérativement être dans l'intervalle ouvert ]a,b[.
Non, le théorème dit « il existe au moins un réel c ». Il peut y en avoir plusieurs. Si tu en trouves un, le théorème est satisfait.
💡 À retenir : « Au moins un » signifie qu'il peut y en avoir un, deux, ou une infinité.
Pas forcément. Parfois, l'étude des variations (signe de la dérivée) suffit. Mais si l'inégalité porte sur la différence ∣f(x)−f(y)∣, le TAF est souvent la méthode la plus rapide et la plus élégante.
💡 À retenir : Le TAF est l'outil privilégié pour majorer une différence de deux images.
(à vérifier par le professeur) Non, le TAF tel qu'il est enseigné en 2ème Bac Sciences Mathématiques au Maroc s'applique uniquement aux fonctions à valeurs réelles d'une variable réelle.
💡 À retenir : Le TAF est réservé aux fonctions f:I→R.
Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF. Dans Rolle, on a f(a)=f(b), donc le taux d'accroissement est nul, ce qui donne f′(c)=0. Le TAF est la version générale.
💡 À retenir : Rolle est le TAF quand la pente est nulle.
Non, le TAF nécessite un intervalle borné [a,b]. Pour des intervalles infinis, on utilise souvent les limites ou l'étude des variations de la fonction.
💡 À retenir : Le TAF s'applique sur un intervalle fermé borné [a,b].
Le TAF donne une égalité (f′(c)=…), tandis que l'IAF donne un encadrement (m≤f′(c)≤M). Si on te demande de prouver une inégalité, utilise l'IAF.
💡 À retenir : Égalité = TAF, Inégalité = IAF.
Tu dois chercher le maximum et le minimum de f′ sur l'intervalle [a,b]. Si m≤f′(x)≤M pour tout x∈[a,b], alors m≤b−af(b)−f(a)≤M.
💡 À retenir : Encadre la dérivée pour encadrer le taux.
Oui, si f est constante, f′(x)=0 pour tout x. Le TAF donne 0=0, ce qui est vrai.
💡 À retenir : Le TAF fonctionne même pour les fonctions constantes.
Oui, car f est continue sur [1,2] et dérivable sur ]1,2[. La fonction n'est pas définie en 0, mais comme 0∈/[1,2], tout va bien.
💡 À retenir : Vérifie toujours que l'intervalle est inclus dans le domaine de définition.
Parce que la courbe peut faire des « vagues » (oscillations) entre a et b, créant plusieurs points où la tangente est parallèle à la sécante.
💡 À retenir : L'existence est garantie, l'unicité n'est pas requise.
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=x3−3x+2.
Montrer que f vérifie les conditions du TAF sur [0,1].
Déterminer la valeur de c∈]0,1[ telle que f′(c)=1−0f(1)−f(0).
Exercice 2
Soit f(x)=ln(1+x). Montrer que pour tout x>0, on a : 1+xx<ln(1+x)<x.
Exercice 3
Soit f une fonction dérivable sur [a,b] telle que f(a)=a et f(b)=b.
Montrer qu'il existe c∈]a,b[ tel que f′(c)=1.