Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limites usuelles : Les limites des fonctions polynômes et rationnelles en $\pm \infty$ et en un point. Limites trigonométriques : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ , $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ .
Continuité : Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans $[a, b]$ .
Fonction réciproque : Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$ , continue et de même monotonie que $f$ .

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué, ou les taux d'accroissement.
Étude de continuité : Vérifier la limite à gauche, à droite et la valeur en $x_0$ .
Recherche de solutions : Utiliser le TVI pour prouver l'existence et la monotonie pour l'unicité.
Calcul de $f^{-1}$ : Résoudre l'équation $f(x) = y$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$ .
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $0 \in [-1, 1]$ , il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $x_0$ et la valeur $f(x_0)$ .
Ne pas vérifier la stricte monotonie pour l'unicité de la solution.

L'essentiel du cours

Limites usuelles : Les limites des fonctions polynômes et rationnelles en $\pm \infty$ et en un point. Limites trigonométriques : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Continuité : Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans $[a, b]$.
Fonction réciproque : Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$, continue et de même monotonie que $f$.

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué, ou les taux d'accroissement.
Étude de continuité : Vérifier la limite à gauche, à droite et la valeur en $x_0$.
Recherche de solutions : Utiliser le TVI pour prouver l'existence et la monotonie pour l'unicité.
Calcul de $f^{-1}$ : Résoudre l'équation $f(x) = y$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$.
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $0 \in [-1, 1]$, il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $x_0$ et la valeur $f(x_0)$.
Ne pas vérifier la stricte monotonie pour l'unicité de la solution.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Limites et continuité

1/4

Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction continue sur ]a, b[ est forcément bornée ?

Non, pas forcément. Par exemple, la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est continue sur $]0, 1[$ , mais elle n'est pas bornée car elle tend vers $+\infty$ en $0^+$ . Pour qu'une fonction soit bornée, il faut qu'elle soit continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$ .

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle ouvert ne garantit pas que la fonction est bornée.

Non, pas forcément. Par exemple, la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est continue sur $]0, 1[$, mais elle n'est pas bornée car elle tend vers $+\infty$ en $0^+$. Pour qu'une fonction soit bornée, il faut qu'elle soit continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$.

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle ouvert ne garantit pas que la fonction est bornée.

Kifach n3ref wach l'equation f(x)=0 3ndha 7el wa7id f'intervalle [a,b] ?

Pour prouver qu'il existe une solution unique :

Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ (pour l'existence via le TVI).
Vérifie que $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ (pour l'unicité).

💡 À retenir : Continuité + changement de signe = existence ; Stricte monotonie = unicité.

Pour prouver qu'il existe une solution unique :

Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$.
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ (pour l'existence via le TVI).
Vérifie que $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ (pour l'unicité).

💡 À retenir : Continuité + changement de signe = existence ; Stricte monotonie = unicité.

Est-ce que la réciproque d'une fonction continue est toujours dérivable ?

Non. La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$ , mais elle n'est dérivable qu'aux points où $f'(x) \neq 0$ . Si $f'(x_0) = 0$ , la courbe de $f^{-1}$ admettra une tangente verticale au point d'abscisse $f(x_0)$ .

💡 À retenir : La dérivabilité de $f^{-1}$ dépend de la dérivabilité de $f$ et de la non-nullité de sa dérivée.

Non. La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$, mais elle n'est dérivable qu'aux points où $f'(x) \neq 0$. Si $f'(x_0) = 0$, la courbe de $f^{-1}$ admettra une tangente verticale au point d'abscisse $f(x_0)$.

💡 À retenir : La dérivabilité de $f^{-1}$ dépend de la dérivabilité de $f$ et de la non-nullité de sa dérivée.

Chno hiya l'utilité dyal le TVI f'l'examen national ?

Le TVI sert principalement à deux choses :

Démontrer l'existence de solutions à des équations complexes où on ne peut pas isoler $x$ .
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue, ce qui est crucial pour définir le domaine de définition de la fonction réciproque.

💡 À retenir : Le TVI est l'outil fondamental pour l'étude qualitative des fonctions.

Le TVI sert principalement à deux choses :

Démontrer l'existence de solutions à des équations complexes où on ne peut pas isoler $x$.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue, ce qui est crucial pour définir le domaine de définition de la fonction réciproque.

💡 À retenir : Le TVI est l'outil fondamental pour l'étude qualitative des fonctions.

Comment calculer la limite d'une fonction avec une racine carrée quand on a une forme indéterminée ?

La méthode classique est d'utiliser l'expression conjuguée.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.
Simplifie l'expression pour éliminer le terme qui cause l'indétermination.
Calcule la limite. Exemple : $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ .

💡 À retenir : Le conjugué transforme une différence de racines en une fraction plus simple.

La méthode classique est d'utiliser l'expression conjuguée.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.
Simplifie l'expression pour éliminer le terme qui cause l'indétermination.
Calcule la limite. Exemple : $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

💡 À retenir : Le conjugué transforme une différence de racines en une fraction plus simple.

Kifach n7seb l'image d'un intervalle f(I) ?

Si $f$ est continue sur $I$ :

Si $f$ est strictement croissante sur $I=[a, b]$ , alors $f(I) = [f(a), f(b)]$ .
Si $f$ est strictement décroissante sur $I=[a, b]$ , alors $f(I) = [f(b), f(a)]$ .
Si l'intervalle est ouvert, utilise les limites aux bornes.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si $f$ est continue sur $I$ :

Si $f$ est strictement croissante sur $I=[a, b]$, alors $f(I) = [f(a), f(b)]$.
Si $f$ est strictement décroissante sur $I=[a, b]$, alors $f(I) = [f(b), f(a)]$.
Si l'intervalle est ouvert, utilise les limites aux bornes.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Est-ce que la composée de deux fonctions continues est toujours continue ?

Oui, absolument. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$ , alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$ . C'est une propriété très utile pour étudier la continuité de fonctions complexes.

💡 À retenir : La continuité se conserve par composition.

Oui, absolument. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$. C'est une propriété très utile pour étudier la continuité de fonctions complexes.

💡 À retenir : La continuité se conserve par composition.

Peut-on utiliser le TVI si la fonction n'est pas strictement monotone ?

Oui, le TVI (existence) ne nécessite que la continuité. Cependant, si la fonction n'est pas strictement monotone, tu ne peux pas garantir l'unicité de la solution. Il pourrait y avoir plusieurs solutions.

💡 À retenir : Le TVI garantit l'existence, la monotonie garantit l'unicité.

Si lim{x to x0} f(x) = ell, est-ce que f(x0) = ell ?

Pas forcément. Cela n'est vrai que si la fonction $f$ est continue en $x_0$ . Si la fonction n'est pas définie en $x_0$ ou si elle présente un saut, alors $f(x_0)$ peut être différent de $\ell$ ou même ne pas exister.

💡 À retenir : La limite ne donne la valeur de la fonction que si la continuité est vérifiée.

Pas forcément. Cela n'est vrai que si la fonction $f$ est continue en $x_0$. Si la fonction n'est pas définie en $x_0$ ou si elle présente un saut, alors $f(x_0)$ peut être différent de $\ell$ ou même ne pas exister.

💡 À retenir : La limite ne donne la valeur de la fonction que si la continuité est vérifiée.

Comment montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque ?

Il suffit de montrer que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle donné. Ces deux conditions garantissent que la fonction est une bijection de $I$ vers $f(I)$ , et donc qu'elle admet une fonction réciproque.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Bijection.

Est-ce que la limite d'un produit est toujours le produit des limites ?

Oui, sauf dans le cas de la forme indéterminée $0 \times \infty$ . Dans ce cas, il faut transformer l'expression (par exemple en factorisant ou en utilisant des équivalents) pour lever l'indétermination.

💡 À retenir : Attention aux formes indéterminées lors du calcul des limites.

Oui, sauf dans le cas de la forme indéterminée $0 \times \infty$. Dans ce cas, il faut transformer l'expression (par exemple en factorisant ou en utilisant des équivalents) pour lever l'indétermination.

💡 À retenir : Attention aux formes indéterminées lors du calcul des limites.

Est-ce que f^{-1}(x) est égal à 1/f(x) ?

Non, surtout pas ! $f^{-1}(x)$ désigne la fonction réciproque, alors que $1/f(x)$ est l'inverse multiplicatif. C'est une confusion très grave. La notation $f^{-1}$ est une notation fonctionnelle, pas algébrique.

💡 À retenir : $f^{-1}$ est la fonction qui "annule" l'action de $f$ .

💡 À retenir : $f^{-1}$ est la fonction qui "annule" l'action de $f$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 3x - 4$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ .
Vérifier que $\alpha \in [0, 2]$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 3x - 4$.

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
Vérifier que $\alpha \in [0, 2]$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ .