Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Déterminants

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ qui associe à toute matrice carrée un scalaire. Il est l'unique forme $n$ -linéaire alternée telle que $\det(I_n) = 1$ .

Pour $n=2$ : $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ .
Pour $n=3$ : Utilisation de la règle de Sarrus ou développement selon une ligne/colonne.
Propriété fondamentale : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ .
Inversibilité : $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Développement par rapport à une ligne ou colonne : Choisir la ligne/colonne avec le plus de zéros.
Opérations élémentaires : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant. Multiplier une ligne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ .
Matrice triangulaire : Le déterminant est le produit des éléments diagonaux.
Calcul de l'inverse : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} {}^t(\text{com}(A))$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1(4) - 2(3) = 4 - 6 = -2$ .
Exemple 2 : $\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 5 \times (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 5(-2) = -10$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement.
Croire que $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ (Faux !).
Multiplier toute la matrice par $\lambda$ au lieu d'une seule ligne : $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ .

L'essentiel du cours

Pour $n=2$ : $\det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.
Pour $n=3$ : Utilisation de la règle de Sarrus ou développement selon une ligne/colonne.
Propriété fondamentale : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.
Inversibilité : $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

Méthodes à maîtriser

Développement par rapport à une ligne ou colonne : Choisir la ligne/colonne avec le plus de zéros.
Opérations élémentaires : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant. Multiplier une ligne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$.
Matrice triangulaire : Le déterminant est le produit des éléments diagonaux.
Calcul de l'inverse : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} {}^t(\text{com}(A))$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1(4) - 2(3) = 4 - 6 = -2$.
Exemple 2 : $\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 5 & 0 \ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 5 \times (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = 5(-2) = -10$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement.
Croire que $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ (Faux !).
Multiplier toute la matrice par $\lambda$ au lieu d'une seule ligne : $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Déterminants

1/4

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $\det(A) = 2$ . Que vaut $\det(3A)$ ?

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $\det(A) = 2$. Que vaut $\det(3A)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le déterminant dépend du corps mathbb{K} ?

Oui, les calculs restent les mêmes, mais les résultats appartiennent au corps considéré (ex: $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

💡 À retenir : Les propriétés algébriques sont indépendantes du corps.

Oui, les calculs restent les mêmes, mais les résultats appartiennent au corps considéré (ex: $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

💡 À retenir : Les propriétés algébriques sont indépendantes du corps.

Si une ligne est nulle, que vaut le déterminant ?

Si une ligne (ou une colonne) est composée uniquement de zéros, alors le déterminant est nul.

💡 À retenir : Une ligne nulle implique une dépendance linéaire entre les lignes.

Pourquoi det(lambda A) = lambda^n det(A) ?

Parce que multiplier une matrice par $\lambda$ revient à multiplier chacune des $n$ lignes par $\lambda$ . Comme le déterminant est multilinéaire, on sort $\lambda$ pour chaque ligne.

💡 À retenir : Le facteur $\lambda$ est élevé à la puissance $n$ (taille de la matrice).

Parce que multiplier une matrice par $\lambda$ revient à multiplier chacune des $n$ lignes par $\lambda$. Comme le déterminant est multilinéaire, on sort $\lambda$ pour chaque ligne.

💡 À retenir : Le facteur $\lambda$ est élevé à la puissance $n$ (taille de la matrice).

Est-ce que le déterminant est toujours un nombre réel ?

Non, il appartient au corps $\mathbb{K}$ utilisé. Si la matrice est à coefficients complexes, le déterminant est complexe.

💡 À retenir : Le déterminant est un scalaire du corps de base.

Non, il appartient au corps $\mathbb{K}$ utilisé. Si la matrice est à coefficients complexes, le déterminant est complexe.

💡 À retenir : Le déterminant est un scalaire du corps de base.

Kifach n7seb déterminant d matrix 3x3 b tariqa sahla?

Utilisez la règle de Sarrus si les coefficients sont simples.
Sinon, privilégiez le développement selon la ligne ou colonne qui contient le plus de zéros.
N'oubliez pas la règle des signes : $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Le développement est souvent plus rapide que Sarrus pour les matrices avec des zéros.

Utilisez la règle de Sarrus si les coefficients sont simples.
Sinon, privilégiez le développement selon la ligne ou colonne qui contient le plus de zéros.
N'oubliez pas la règle des signes : $\begin{pmatrix} + & - & + \ - & + & - \ + & - & + \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Le développement est souvent plus rapide que Sarrus pour les matrices avec des zéros.

Est-ce que det(A^T) = det(A) ?

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Cela permet de manipuler les colonnes comme des lignes.

💡 À retenir : $\det(A^T) = \det(A)$ est une propriété fondamentale.

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Cela permet de manipuler les colonnes comme des lignes.

💡 À retenir : $\det(A^T) = \det(A)$ est une propriété fondamentale.

Chno hiya l-3alaqa bin déterminant w l-inversibilité?

Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ . Si $\det(A) = 0$ , la matrice n'est pas inversible (elle est dite singulière).

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A \in GL_n(\mathbb{K})$ .

Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Si $\det(A) = 0$, la matrice n'est pas inversible (elle est dite singulière).

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A \in GL_n(\mathbb{K})$.

Comment le déterminant change-t-il si on échange deux lignes ?

Si vous échangez deux lignes (ou deux colonnes), le déterminant change de signe (il est multiplié par $-1$ ).

💡 À retenir : L'échange de deux lignes multiplie le déterminant par $-1$ .

Si vous échangez deux lignes (ou deux colonnes), le déterminant change de signe (il est multiplié par $-1$).

💡 À retenir : L'échange de deux lignes multiplie le déterminant par $-1$.

Chno hiya l-comatrice?

La comatrice est la matrice formée par les cofacteurs $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$ , où $A_{ij}$ est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ .

💡 À retenir : Elle est indispensable pour calculer l'inverse d'une matrice.

La comatrice est la matrice formée par les cofacteurs $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$, où $A_{ij}$ est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$.

💡 À retenir : Elle est indispensable pour calculer l'inverse d'une matrice.

Est-ce que det(A+B) = det(A) + det(B) ?

Non, c'est une erreur très courante. En général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$ .

💡 À retenir : Le déterminant est une forme multilinéaire, pas une application linéaire.

Non, c'est une erreur très courante. En général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$.

💡 À retenir : Le déterminant est une forme multilinéaire, pas une application linéaire.

Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire ?

Il suffit de faire le produit des éléments situés sur la diagonale principale.

💡 À retenir : $\det(T) = \prod_{i=1}^n t_{ii}$ .

Il suffit de faire le produit des éléments situés sur la diagonale principale.

💡 À retenir : $\det(T) = \prod_{i=1}^n t_{ii}$.

Est-ce que det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)} ?

Oui, car $\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I) = 1$ , donc $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$ .

💡 À retenir : $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}$ .

Oui, car $\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I) = 1$, donc $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$.

💡 À retenir : $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice suivante : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ .

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice suivante : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\det(A)$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$. Calculer $\det(A)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^{-1}$ en utilisant la comatrice.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$ en utilisant la comatrice.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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