Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Systèmes linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit sous la forme $AX = B$ , où $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ , $X \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ .

Théorème de Cramer : Si $n=p$ et $\det(A) \neq 0$ , le système admet une solution unique $X = A^{-1}B$ .
Théorème de Rouché-Fontené : Le système est compatible si et seulement si le rang de la matrice $A$ est égal au rang de la matrice augmentée $(A|B)$ .

Méthodes à maîtriser

Méthode du pivot de Gauss : Transformer le système en un système échelonné équivalent.
Analyse du rang : Comparer $\text{rg}(A)$ et $\text{rg}(A|B)$ pour déterminer l'existence des solutions.
Utilisation des paramètres : Si $\text{rg}(A) < p$ , exprimer les inconnues en fonction des variables libres.

Exemples corrigés

Soit le système : $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \end{cases}$ En soustrayant $L_1$ de $L_2$ , on obtient $y + 2z = 1$ . On pose $z = \alpha$ (paramètre), alors $y = 1 - 2\alpha$ et $x = 1 - (1-2\alpha) - \alpha = \alpha$ . La solution est $S = \{(\alpha, 1-2\alpha, \alpha) / \alpha \in \mathbb{R}\}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la compatibilité avant de conclure sur le nombre de solutions.
Faire des erreurs de signe lors des opérations élémentaires sur les lignes.
Confondre le nombre d'inconnues avec le rang de la matrice.

L'essentiel du cours

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit sous la forme $AX = B$, où $A \in \mathcal{M}{n,p}(\mathbb{K})$, $X \in \mathcal{M}{p,1}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$.

Théorème de Cramer : Si $n=p$ et $\det(A) \neq 0$, le système admet une solution unique $X = A^{-1}B$.
Théorème de Rouché-Fontené : Le système est compatible si et seulement si le rang de la matrice $A$ est égal au rang de la matrice augmentée $(A|B)$.

Méthodes à maîtriser

Méthode du pivot de Gauss : Transformer le système en un système échelonné équivalent.
Analyse du rang : Comparer $\text{rg}(A)$ et $\text{rg}(A|B)$ pour déterminer l'existence des solutions.
Utilisation des paramètres : Si $\text{rg}(A) < p$, exprimer les inconnues en fonction des variables libres.

Exemples corrigés

Soit le système : $\begin{cases} x + y + z = 1 \ x + 2y + 3z = 2 \end{cases}$ En soustrayant $L_1$ de $L_2$, on obtient $y + 2z = 1$. On pose $z = \alpha$ (paramètre), alors $y = 1 - 2\alpha$ et $x = 1 - (1-2\alpha) - \alpha = \alpha$. La solution est $S = {(\alpha, 1-2\alpha, \alpha) / \alpha \in \mathbb{R}}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la compatibilité avant de conclure sur le nombre de solutions.
Faire des erreurs de signe lors des opérations élémentaires sur les lignes.
Confondre le nombre d'inconnues avec le rang de la matrice.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Systèmes linéaires

1/4

Soit un système $AX=B$ avec $A \in \mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{R})$ . Si $\det(A)=0$ , alors :

Soit un système $AX=B$ avec $A \in \mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{R})$. Si $\det(A)=0$, alors :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un système a une solution unique sans le résoudre ?

Calcule le déterminant de la matrice $A$ associée au système.
Si $\det(A) \neq 0$ , alors le système admet une solution unique.
Si $\det(A) = 0$ , le système n'a pas de solution unique (soit 0, soit une infinité).

💡 À retenir : La condition $\det(A) \neq 0$ est la clé pour l'inversibilité et l'unicité.

Calcule le déterminant de la matrice $A$ associée au système.
Si $\det(A) \neq 0$, alors le système admet une solution unique.
Si $\det(A) = 0$, le système n'a pas de solution unique (soit 0, soit une infinité).

💡 À retenir : La condition $\det(A) \neq 0$ est la clé pour l'inversibilité et l'unicité.

Kifach n3ref wach system incompatible bla mankemel l7sab?

Applique la méthode de Gauss pour échelonner la matrice augmentée $(A|B)$ .
Si tu obtiens une ligne du type $(0, 0, \dots, 0 | k)$ avec $k \neq 0$ , alors le système est incompatible.

💡 À retenir : Une ligne "zéro = non-zéro" signifie qu'il n'y a pas de solution.

Applique la méthode de Gauss pour échelonner la matrice augmentée $(A|B)$.
Si tu obtiens une ligne du type $(0, 0, \dots, 0 | k)$ avec $k \neq 0$, alors le système est incompatible.

💡 À retenir : Une ligne "zéro = non-zéro" signifie qu'il n'y a pas de solution.

Est-ce que le rang de la matrice A doit être égal au nombre d'inconnues pour avoir une solution ?

Non, pas forcément. Si $\text{rg}(A) = p$ (nombre d'inconnues), la solution est unique. Si $\text{rg}(A) < p$ , il y a une infinité de solutions (si le système est compatible).

💡 À retenir : Le rang détermine le nombre de variables libres.

Non, pas forcément. Si $\text{rg}(A) = p$ (nombre d'inconnues), la solution est unique. Si $\text{rg}(A) < p$, il y a une infinité de solutions (si le système est compatible).

💡 À retenir : Le rang détermine le nombre de variables libres.

Chno hiya l'far9 bin system homogène w system 3adi?

Un système homogène a toujours $B = 0$ .
Il admet toujours au moins la solution nulle $(0, 0, \dots, 0)$ .

💡 À retenir : Un système homogène n'est jamais incompatible.

Un système homogène a toujours $B = 0$.
Il admet toujours au moins la solution nulle $(0, 0, \dots, 0)$.

💡 À retenir : Un système homogène n'est jamais incompatible.

Kifach nkhdem b les paramètres f l7al dyal system?

Identifie les variables libres (celles qui ne correspondent pas à un pivot).
Donne-leur des noms comme $\alpha, \beta$ .
Exprime les variables pivots en fonction de ces paramètres.

💡 À retenir : Le nombre de paramètres est égal à $p - \text{rg}(A)$ .

Identifie les variables libres (celles qui ne correspondent pas à un pivot).
Donne-leur des noms comme $\alpha, \beta$.
Exprime les variables pivots en fonction de ces paramètres.

💡 À retenir : Le nombre de paramètres est égal à $p - \text{rg}(A)$.

Si j'ai plus d'équations que d'inconnues, est-ce que le système est toujours incompatible ?

Non. Il peut être compatible si les équations supplémentaires sont des combinaisons linéaires des autres.

💡 À retenir : La compatibilité dépend du rang, pas seulement du nombre d'équations.

Est-ce que l'ordre des lignes change la solution du système ?

Non, l'ordre des équations ne modifie pas l'ensemble des solutions.

💡 À retenir : Les opérations élémentaires sur les lignes préservent l'équivalence du système.

Comment utiliser l'inverse d'une matrice pour résoudre AX=B ?

Si $A$ est inversible, multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}AX = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$ .

💡 À retenir : $X = A^{-1}B$ est la méthode la plus rapide pour $n=p$ .

Si $A$ est inversible, multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}AX = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$.

💡 À retenir : $X = A^{-1}B$ est la méthode la plus rapide pour $n=p$.

Est-ce que je peux multiplier une ligne par zéro ?

Non ! Les opérations élémentaires autorisées sont : échange de lignes, multiplication par un scalaire non nul, ajout d'un multiple d'une ligne à une autre.

💡 À retenir : Multiplier par zéro détruit l'information du système.

Wach l'matrice augmentée khassha tkon carré?

Non, elle peut être de format $n \times (p+1)$ .

💡 À retenir : Seule la matrice $A$ doit être carrée pour parler de déterminant.

Non, elle peut être de format $n \times (p+1)$.

💡 À retenir : Seule la matrice $A$ doit être carrée pour parler de déterminant.

Que faire si le déterminant est nul ?

Utilise la méthode de Gauss pour échelonner et voir si le système est compatible ou non.

💡 À retenir : Le déterminant nul indique une perte de rang.

Est-ce que les solutions d'un système linéaire forment un espace vectoriel ?

Oui, si le système est homogène ( $AX=0$ ), l'ensemble des solutions est le noyau de l'application linéaire associée.

💡 À retenir : Pour $AX=B$ avec $B \neq 0$ , c'est un espace affine.

Oui, si le système est homogène ($AX=0$), l'ensemble des solutions est le noyau de l'application linéaire associée.

💡 À retenir : Pour $AX=B$ avec $B \neq 0$, c'est un espace affine.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Résoudre $AX = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ par inversion.

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Résoudre $AX = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$ par inversion.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : $\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 5 \\ 3x + 4y + 5z = 7 \end{cases}$

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : $\begin{cases} x + y + z = 2 \ 2x + 3y + 4z = 5 \ 3x + 4y + 5z = 7 \end{cases}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Discuter suivant le paramètre réel $m$ l'existence des solutions du système : $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + mz = 1 \\ x + 2y + 3z = m \end{cases}$

Exercice 3

Discuter suivant le paramètre réel $m$ l'existence des solutions du système : $\begin{cases} x + y + z = 1 \ x + 2y + mz = 1 \ x + 2y + 3z = m \end{cases}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Logique et raisonnements Ensembles et applications Relations binaires Nombres complexes Nombres réels et suites numériques Limites et continuité Dérivabilité Fonctions usuelles Calcul intégral Développements limités Espaces vectoriels Applications linéaires Matrices Déterminants Dénombrement Espaces probabilisés Variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes