Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ un espace probabilisé. Un couple de variables aléatoires discrètes est une application $X \times Y : \Omega \to \mathbb{R}^2$.
Loi conjointe : Définie par $P(X=x_i, Y=y_j)$ pour tout $(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$.
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X, Y)$ est :
❓ Questions fréquentes
Est-ce que le support d'un couple est toujours un produit cartésien ?
Non, le support est l'ensemble des couples $(x_i, y_j)$ tels que $P(X=x_i, Y=y_j) > 0$. Il peut être plus petit que le produit cartésien $X(\Omega) \times Y(\Omega)$.
💡 À retenir : Regarde bien les cases où la probabilité est nulle.
Calcule la loi conditionnelle $P(X=x|Y=y) = \frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)}$.
Applique la formule de l'espérance : $E(X|Y=y) = \sum x \cdot P(X=x|Y=y)$.
💡 À retenir : Il faut que $P(Y=y) > 0$.
La covariance peut-elle être négative ?
Oui, une covariance négative signifie que quand $X$ augmente, $Y$ a tendance à diminuer.
💡 À retenir : Le signe de la covariance indique le sens de la corrélation.
Qu'est-ce qu'une loi conjointe ?
C'est la donnée de toutes les probabilités $P(X=x_i, Y=y_j)$ pour tous les couples possibles de valeurs prises par $X$ et $Y$. On la présente souvent sous forme d'un tableau à double entrée.
💡 À retenir : La somme de toutes les cases du tableau doit impérativement être égale à 1.
kifach n3ref wach X o Y indépendants ?
Calcule les lois marginales $P(X=x_i)$ et $P(Y=y_j)$.
Vérifie si pour chaque case du tableau, $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$.
Si ça marche pour TOUTES les cases, alors ils sont indépendants.
💡 À retenir : Il suffit d'un seul contre-exemple pour dire qu'ils ne sont pas indépendants.
Est-ce que Cov(X, X) = Var(X) ?
Oui, tout à fait. D'après la formule, $Cov(X, X) = E(X^2) - E(X)E(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, ce qui est exactement la définition de la variance $V(X)$.
💡 À retenir : La covariance d'une variable avec elle-même est sa variance.
chnou l'far9 bin covariance o coefficient de corrélation ?
La covariance mesure la dépendance linéaire mais dépend de l'unité de mesure. Le coefficient de corrélation est une version normalisée (entre -1 et 1) qui ne dépend pas des unités.
💡 À retenir : $\rho$ est sans dimension, contrairement à la covariance.
Comment calculer E(XY) ?
On utilise la formule : $E(XY) = \sum_{i} \sum_{j} x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j)$.
Multiplie chaque valeur $x_i$ par $y_j$.
Multiplie ce résultat par la probabilité correspondante dans la case du tableau.
Fais la somme de tous ces produits.
💡 À retenir : Ne pas oublier les valeurs nulles qui annulent certains termes.
wach l'espérance dyal X+Y hiya dima E(X) + E(Y) ?
Oui, toujours ! C'est la propriété de linéarité de l'espérance. Elle est vraie même si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : La linéarité est universelle, contrairement à la variance qui nécessite l'indépendance pour $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.
Que signifie rho = 0 ?
Cela signifie que les variables ne sont pas corrélées linéairement. Attention : cela ne veut pas dire qu'elles sont indépendantes (sauf dans le cas du couple gaussien, mais c'est hors programme ici).
💡 À retenir : Non corrélé $\neq$ Indépendant.
Comment calculer la loi marginale de X ?
Pour chaque valeur $x_i$ de $X$, tu additionnes toutes les probabilités de la ligne correspondante dans le tableau de la loi conjointe.
💡 À retenir : La somme des probabilités marginales de $X$ doit valoir 1.
Si X et Y sont indépendantes, V(X-Y) est égal à quoi ?
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X-Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = V(X) + V(Y)$.
💡 À retenir : La variance d'une somme ou d'une différence de variables indépendantes est toujours la somme des variances.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par :
$P(X=0, Y=0) = 0.1$, $P(X=0, Y=1) = 0.2$, $P(X=1, Y=0) = 0.3$, $P(X=1, Y=1) = 0.4$.
Un sac contient 3 boules numérotées {1, 2, 3}. On tire deux boules simultanément. $X$ est le numéro de la plus petite boule, $Y$ le numéro de la plus grande.
Oublier que E(XY)=E(X)E(Y) n'est vrai que si X et Y sont indépendantes.
Confondre loi conjointe et lois marginales.
Ne pas vérifier la condition ∑P=1 avant de commencer les calculs.
Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y) est :
E(X)E(Y)
V(X)V(Y)
Non, le support est l'ensemble des couples (xi,yj) tels que P(X=xi,Y=yj)>0. Il peut être plus petit que le produit cartésien X(Ω)×Y(Ω).
💡 À retenir : Regarde bien les cases où la probabilité est nulle.
Calcule la loi conditionnelle P(X=x∣Y=y)=P(Y=y)P(X=x,Y=y).
Applique la formule de l'espérance : E(X∣Y=y)=∑x⋅P(X=x∣Y=y).
💡 À retenir : Il faut que P(Y=y)>0.
Oui, une covariance négative signifie que quand X augmente, Y a tendance à diminuer.
💡 À retenir : Le signe de la covariance indique le sens de la corrélation.
C'est la donnée de toutes les probabilités P(X=xi,Y=yj) pour tous les couples possibles de valeurs prises par X et Y. On la présente souvent sous forme d'un tableau à double entrée.
💡 À retenir : La somme de toutes les cases du tableau doit impérativement être égale à 1.
Calcule les lois marginales P(X=xi) et P(Y=yj).
Vérifie si pour chaque case du tableau, P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)×P(Y=yj).
Si ça marche pour TOUTES les cases, alors ils sont indépendants.
💡 À retenir : Il suffit d'un seul contre-exemple pour dire qu'ils ne sont pas indépendants.
Oui, tout à fait. D'après la formule, Cov(X,X)=E(X2)−E(X)E(X)=E(X2)−(E(X))2, ce qui est exactement la définition de la variance V(X).
💡 À retenir : La covariance d'une variable avec elle-même est sa variance.
La covariance mesure la dépendance linéaire mais dépend de l'unité de mesure. Le coefficient de corrélation est une version normalisée (entre -1 et 1) qui ne dépend pas des unités.
💡 À retenir : ρ est sans dimension, contrairement à la covariance.
On utilise la formule : E(XY)=∑i∑jxiyjP(X=xi,Y=yj).
Multiplie chaque valeur xi par yj.
Multiplie ce résultat par la probabilité correspondante dans la case du tableau.
Fais la somme de tous ces produits.
💡 À retenir : Ne pas oublier les valeurs nulles qui annulent certains termes.
Oui, toujours ! C'est la propriété de linéarité de l'espérance. Elle est vraie même si X et Y ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : La linéarité est universelle, contrairement à la variance qui nécessite l'indépendance pour V(X+Y)=V(X)+V(Y).
Cela signifie que les variables ne sont pas corrélées linéairement. Attention : cela ne veut pas dire qu'elles sont indépendantes (sauf dans le cas du couple gaussien, mais c'est hors programme ici).
💡 À retenir : Non corrélé = Indépendant.
Pour chaque valeur xi de X, tu additionnes toutes les probabilités de la ligne correspondante dans le tableau de la loi conjointe.
💡 À retenir : La somme des probabilités marginales de X doit valoir 1.
Si X et Y sont indépendantes, alors V(X−Y)=V(X)+(−1)2V(Y)=V(X)+V(Y).
💡 À retenir : La variance d'une somme ou d'une différence de variables indépendantes est toujours la somme des variances.
Exercice 1
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par :
P(X=0,Y=0)=0.1, P(X=0,Y=1)=0.2, P(X=1,Y=0)=0.3, P(X=1,Y=1)=0.4.
Déterminer les lois marginales de X et Y.
Calculer E(X) et E(Y).
X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 2
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p=0.5.
Déterminer la loi conjointe du couple (X,Y).
Calculer Cov(X,Y).
Calculer V(X+Y).
Exercice 3
Un sac contient 3 boules numérotées {1, 2, 3}. On tire deux boules simultanément. X est le numéro de la plus petite boule, Y le numéro de la plus grande.