Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Matrices

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.

Opérations : Addition et multiplication par un scalaire ( $\lambda A$ ).
Produit : Si $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ , alors $AB \in \mathcal{M}_{n,q}$ . Attention : $AB \neq BA$ en général.
Matrice identité : $I_n$ est la matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et 0 ailleurs.
Inversibilité : $A$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$ . On note $B = A^{-1}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de produit : Toujours multiplier "ligne par colonne".
Calcul de l'inverse : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan (résolution du système $AX=Y$ ) ou les propriétés algébriques.
Transposition : $(AB)^T = B^T A^T$ .
Puissances : Utiliser la formule du binôme de Newton si $AB=BA$ ou la diagonalisation (si vue).

Exemples corrigés

Produit : Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . $AB = \begin{pmatrix} 1\times3+2\times1 & 1\times0+2\times2 \\ 0\times3+1\times1 & 0\times0+1\times2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
Inverse : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , on cherche $X$ tq $AX=I$ . On trouve $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Croire que $(AB)^2 = A^2 B^2$ (Faux, sauf si $AB=BA$ ).
Oublier que le produit matriciel n'est pas commutatif.
Confondre la transposée avec l'inverse.

L'essentiel du cours

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.

Opérations : Addition et multiplication par un scalaire ($\lambda A$).
Produit : Si $A \in \mathcal{M}{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}{p,q}$, alors $AB \in \mathcal{M}_{n,q}$. Attention : $AB \neq BA$ en général.
Matrice identité : $I_n$ est la matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et 0 ailleurs.
Inversibilité : $A$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$. On note $B = A^{-1}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de produit : Toujours multiplier "ligne par colonne".
Calcul de l'inverse : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan (résolution du système $AX=Y$) ou les propriétés algébriques.
Transposition : $(AB)^T = B^T A^T$.
Puissances : Utiliser la formule du binôme de Newton si $AB=BA$ ou la diagonalisation (si vue).

Exemples corrigés

Produit : Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$. $AB = \begin{pmatrix} 1\times3+2\times1 & 1\times0+2\times2 \ 0\times3+1\times1 & 0\times0+1\times2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Inverse : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$, on cherche $X$ tq $AX=I$. On trouve $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Croire que $(AB)^2 = A^2 B^2$ (Faux, sauf si $AB=BA$).
Oublier que le produit matriciel n'est pas commutatif.
Confondre la transposée avec l'inverse.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Matrices

1/4

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Quel est le déterminant de $A$ ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Quel est le déterminant de $A$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la transposée de la matrice identité ?

C'est elle-même : $I^T = I$ .

💡 À retenir : La matrice identité est symétrique.

C'est elle-même : $I^T = I$.

💡 À retenir : La matrice identité est symétrique.

Est-ce que det(A^n) = (det(A))^n ?

Oui, c'est une propriété fondamentale du déterminant.

💡 À retenir : Le déterminant est un morphisme de groupes pour la multiplication.

Est-ce que det(kA) = k cdot det(A) ?

Non. Pour une matrice $n \times n$ , $det(kA) = k^n \cdot det(A)$ .

💡 À retenir : Attention à la dimension $n$ de la matrice.

Non. Pour une matrice $n \times n$, $det(kA) = k^n \cdot det(A)$.

💡 À retenir : Attention à la dimension $n$ de la matrice.

Est-ce que le produit de deux matrices inversibles est toujours inversible ?

Oui. Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .

💡 À retenir : L'ordre s'inverse lors du passage à l'inverse du produit.

Oui. Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

💡 À retenir : L'ordre s'inverse lors du passage à l'inverse du produit.

Kifach n7seb A^n ila kant A matrice carrée ?

Calcule $A^2, A^3$ pour voir s'il y a une récurrence.
Si $A = P+I$ avec $PI=IP$ , utilise la formule du binôme.
Sinon, utilise la diagonalisation (si $A$ est diagonalisable).

💡 À retenir : Cherche toujours une structure simple ou une récurrence.

Calcule $A^2, A^3$ pour voir s'il y a une récurrence.
Si $A = P+I$ avec $PI=IP$, utilise la formule du binôme.
Sinon, utilise la diagonalisation (si $A$ est diagonalisable).

💡 À retenir : Cherche toujours une structure simple ou une récurrence.

Est-ce que A^2 = 0 implique A = 0 ?

Non. Exemple : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Ici $A \neq 0$ mais $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Dans les matrices, il existe des diviseurs de zéro.

Non. Exemple : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Ici $A \neq 0$ mais $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Dans les matrices, il existe des diviseurs de zéro.

Chno hiya l-far9 bin matrice symétrique w matrice antisymétrique ?

Symétrique : $A^T = A$ .
Antisymétrique : $A^T = -A$ .

💡 À retenir : Pour une antisymétrique, les éléments de la diagonale sont toujours nuls.

Symétrique : $A^T = A$.
Antisymétrique : $A^T = -A$.

💡 À retenir : Pour une antisymétrique, les éléments de la diagonale sont toujours nuls.

Comment montrer qu'une matrice est inversible ?

Calculer son déterminant (doit être $\neq 0$ ).
Ou résoudre $AX=0$ et montrer que $X=0$ est la seule solution.
Ou trouver une matrice $B$ telle que $AB=I$ .

💡 À retenir : Le déterminant est l'outil le plus rapide pour les matrices $2\times2$ ou $3\times3$ .

Calculer son déterminant (doit être $\neq 0$).
Ou résoudre $AX=0$ et montrer que $X=0$ est la seule solution.
Ou trouver une matrice $B$ telle que $AB=I$.

💡 À retenir : Le déterminant est l'outil le plus rapide pour les matrices $2\times2$ ou $3\times3$.

Wach A times B = A times C implique B = C ?

Non, seulement si $A$ est inversible. Si $A$ n'est pas inversible, on peut avoir $AB=AC$ avec $B \neq C$ .

💡 À retenir : On ne peut pas "simplifier" par $A$ sans vérifier l'inversibilité.

Non, seulement si $A$ est inversible. Si $A$ n'est pas inversible, on peut avoir $AB=AC$ avec $B \neq C$.

💡 À retenir : On ne peut pas "simplifier" par $A$ sans vérifier l'inversibilité.

Qu'est-ce que la trace d'une matrice ?

C'est la somme des éléments diagonaux : $Tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ .

💡 À retenir : $Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)$ et $Tr(AB) = Tr(BA)$ .

C'est la somme des éléments diagonaux : $Tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$.

💡 À retenir : $Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)$ et $Tr(AB) = Tr(BA)$.

Kifach n3ref wach matrice inversible bla ma n7seb l'inverse ?

Calcule le déterminant. S'il est nul, elle n'est pas inversible.
Vérifie si les lignes (ou colonnes) sont linéairement indépendantes.

💡 À retenir : $det(A) \neq 0 \iff A$ est inversible.

Calcule le déterminant. S'il est nul, elle n'est pas inversible.
Vérifie si les lignes (ou colonnes) sont linéairement indépendantes.

💡 À retenir : $det(A) \neq 0 \iff A$ est inversible.

Est-ce que (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ?

Seulement si $A$ et $B$ commutent ( $AB=BA$ ). Sinon, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ .

💡 À retenir : La commutativité est cruciale dans les identités remarquables matricielles.

Seulement si $A$ et $B$ commutent ($AB=BA$). Sinon, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$.

💡 À retenir : La commutativité est cruciale dans les identités remarquables matricielles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ .

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A^2 - 4A + 3I = 0$ et en déduire $A^{-1}$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Montrer que $A^2 - 4A + 3I = 0$ et en déduire $A^{-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

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