Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Fonctions usuelles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ s'annulant en 1. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln(a^n) = n\ln a$ .
Fonction $\exp$ : Réciproque de $\ln$ . $\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$ . $\exp(x) = e^x$ .
Fonctions puissances : Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ , $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ définie sur $]0, +\infty[$ .
Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\alpha x}}{x^\beta} = +\infty$ pour $\alpha, \beta > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Toujours déterminer le domaine de définition avant de transformer les expressions.
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Utilisation des croissances comparées : Lever les indéterminations en factorisant par le terme dominant.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x^2-1) = \ln(3)$ . Condition : $x^2-1 > 0 \implies x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ . $x^2-1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ ou $x = -2$ . Les deux sont valides.
Exemple 2 : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (limite usuelle).

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2) = 2\ln x$ est FAUX, c'est $2\ln|x|$ ).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (qui n'existe pas).
Mal appliquer les croissances comparées en oubliant les conditions sur les exposants.

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ s'annulant en 1. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln(a^n) = n\ln a$.
Fonction $\exp$ : Réciproque de $\ln$. $\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$. $\exp(x) = e^x$.
Fonctions puissances : Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ définie sur $]0, +\infty[$.
Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\alpha x}}{x^\beta} = +\infty$ pour $\alpha, \beta > 0$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Toujours déterminer le domaine de définition avant de transformer les expressions.
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Utilisation des croissances comparées : Lever les indéterminations en factorisant par le terme dominant.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x^2-1) = \ln(3)$. Condition : $x^2-1 > 0 \implies x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. $x^2-1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ ou $x = -2$. Les deux sont valides.
Exemple 2 : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (limite usuelle).

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2) = 2\ln x$ est FAUX, c'est $2\ln|x|$).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (qui n'existe pas).
Mal appliquer les croissances comparées en oubliant les conditions sur les exposants.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions usuelles

1/4

La valeur de $\ln(e^2)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fonction 3ndha point d'inflexion?

Khassek t7seb l'dérivée taniya $f''(x)$ .
Chouf fin $f''(x)$ katsawa zero.
Ila kanat $f''(x)$ katbeddel l'ichara (mn + l - awla l'3aks) f'hadik l'no9ta, rah hiya point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de la dérivée seconde est la condition nécessaire et suffisante.

Khassek t7seb l'dérivée taniya $f''(x)$.
Chouf fin $f''(x)$ katsawa zero.
Ila kanat $f''(x)$ katbeddel l'ichara (mn + l - awla l'3aks) f'hadik l'no9ta, rah hiya point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de la dérivée seconde est la condition nécessaire et suffisante.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln x est toujours vrai ?

Non, c'est faux en général.

$\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$ .
$2\ln x$ est défini uniquement pour $x > 0$ .
La formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue pour les puissances paires.

Non, c'est faux en général.

$\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$.
$2\ln x$ est défini uniquement pour $x > 0$.
La formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue pour les puissances paires.

Chno hiya l'relation bin ln w exp ?

Homa des fonctions réciproques (dwal 3aksiya).
$\exp(\ln x) = x$ pour $x > 0$ .
$\ln(\exp x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : L'une "annule" l'effet de l'autre.

Homa des fonctions réciproques (dwal 3aksiya).
$\exp(\ln x) = x$ pour $x > 0$.
$\ln(\exp x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

💡 À retenir : L'une "annule" l'effet de l'autre.

Comment lever une indétermination du type infty - infty avec des exponentielles ?

Factoriser par le terme qui croît le plus vite (le terme dominant).
Utiliser les limites usuelles de croissances comparées.
Simplifier l'expression pour faire apparaître des formes connues.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur le polynôme.

Kifach n7seb dérivée dyal x^x ?

Écrire $x^x$ sous la forme $\exp(x \ln x)$ .
Utiliser la formule $(\exp(u))' = u' \exp(u)$ .
Dériver $u(x) = x \ln x$ qui donne $1 + \ln x$ .
Résultat : $(1 + \ln x) x^x$ .

💡 À retenir : Passer par l'exponentielle est indispensable pour les fonctions $u(x)^{v(x)}$ .

Écrire $x^x$ sous la forme $\exp(x \ln x)$.
Utiliser la formule $(\exp(u))' = u' \exp(u)$.
Dériver $u(x) = x \ln x$ qui donne $1 + \ln x$.
Résultat : $(1 + \ln x) x^x$.

💡 À retenir : Passer par l'exponentielle est indispensable pour les fonctions $u(x)^{v(x)}$.

Quelle est la dérivée de ln(u(x)) ?

La formule est $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ . Il faut bien sûr que $u(x) > 0$ .

💡 À retenir : La dérivée du logarithme est le rapport de la dérivée de l'intérieur sur l'intérieur.

La formule est $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Il faut bien sûr que $u(x) > 0$.

💡 À retenir : La dérivée du logarithme est le rapport de la dérivée de l'intérieur sur l'intérieur.

Est-ce que ln(1) = 0 ?

Oui, c'est une valeur fondamentale. De même, $\ln(e) = 1$ et $\exp(0) = 1$ .

💡 À retenir : Ces valeurs sont les points de passage obligés de vos courbes.

Oui, c'est une valeur fondamentale. De même, $\ln(e) = 1$ et $\exp(0) = 1$.

💡 À retenir : Ces valeurs sont les points de passage obligés de vos courbes.

Comment étudier la convexité d'une fonction ?

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ .
Si $f''(x) \geq 0$ , alors $f$ est convexe.
Si $f''(x) \leq 0$ , alors $f$ est concave.

💡 À retenir : La dérivée seconde renseigne sur la courbure.

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
Si $f''(x) \geq 0$, alors $f$ est convexe.
Si $f''(x) \leq 0$, alors $f$ est concave.

💡 À retenir : La dérivée seconde renseigne sur la courbure.

Chno hiya l'limite dyal frac{ln x}{x} mli x to +infty ?

C'est une limite classique de croissance comparée.
Elle est égale à 0.
Cela signifie que $x$ croît beaucoup plus vite que $\ln x$ .

💡 À retenir : Le polynôme domine le logarithme.

C'est une limite classique de croissance comparée.
Elle est égale à 0.
Cela signifie que $x$ croît beaucoup plus vite que $\ln x$.

💡 À retenir : Le polynôme domine le logarithme.

Pourquoi ln(x) n'est pas définie pour x leq 0 ?

$\ln$ est la réciproque de $\exp$ .
Comme $\exp(x)$ est toujours strictement positif pour tout $x$ , son image est $]0, +\infty[$ .
Donc le domaine de définition de $\ln$ est nécessairement $]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'ensemble de définition est imposé par la fonction réciproque.

$\ln$ est la réciproque de $\exp$.
Comme $\exp(x)$ est toujours strictement positif pour tout $x$, son image est $]0, +\infty[$.
Donc le domaine de définition de $\ln$ est nécessairement $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : L'ensemble de définition est imposé par la fonction réciproque.

Comment tracer la courbe de ln(x) ?

Elle passe par $(1, 0)$ et $(e, 1)$ .
Elle est strictement croissante.
Elle admet une asymptote verticale en $x=0$ .

💡 À retenir : La courbe est en dessous de toutes ses tangentes (concave).

Elle passe par $(1, 0)$ et $(e, 1)$.
Elle est strictement croissante.
Elle admet une asymptote verticale en $x=0$.

💡 À retenir : La courbe est en dessous de toutes ses tangentes (concave).

Est-ce que e^x peut être négatif ?

Non, $e^x$ est strictement positif pour tout réel $x$ . C'est une propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

💡 À retenir : L'exponentielle ne s'annule jamais et reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Non, $e^x$ est strictement positif pour tout réel $x$. C'est une propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

💡 À retenir : L'exponentielle ne s'annule jamais et reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la position relative de la courbe de $f(x) = e^x$ et de la droite $y = x+1$ .

Exercice 1

Étudier la position relative de la courbe de $f(x) = e^x$ et de la droite $y = x+1$.

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Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln x$ .

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine.
Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Montrer que pour tout $x > 0$ , $f(x) \geq 1$ .

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln x$.

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine.
Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Montrer que pour tout $x > 0$, $f(x) \geq 1$.

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Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

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