Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Applications linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$\forall (u, v) \in E^2, f(u+v) = f(u) + f(v)$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$ Le noyau est $\ker(f) = \{u \in E / f(u) = 0_F\}$ . L'image est $\text{Im}(f) = \{f(u) / u \in E\}$ . Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .

Méthodes à maîtriser

Pour montrer qu'une application est linéaire : vérifier les deux propriétés de linéarité ou montrer qu'elle s'écrit sous forme matricielle.
Pour déterminer $\ker(f)$ : résoudre l'équation $f(x,y,z) = (0,0,0)$ .
Pour déterminer $\text{Im}(f)$ : chercher l'image des vecteurs d'une base de $E$ .

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, x-y)$ .

Linéarité : $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$ (calcul direct).
Noyau : $x+y=0$ et $x-y=0 \implies x=0, y=0$ . Donc $\ker(f) = \{(0,0)\}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0_E) = 0_F$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.
Confondre la dimension de l'espace de départ et celle de l'espace d'arrivée dans le théorème du rang.
Ne pas vérifier la linéarité avant de chercher le noyau.

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$\forall (u, v) \in E^2, f(u+v) = f(u) + f(v)$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$ Le noyau est $\ker(f) = {u \in E / f(u) = 0_F}$. L'image est $\text{Im}(f) = {f(u) / u \in E}$. Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer qu'une application est linéaire : vérifier les deux propriétés de linéarité ou montrer qu'elle s'écrit sous forme matricielle.
Pour déterminer $\ker(f)$ : résoudre l'équation $f(x,y,z) = (0,0,0)$.
Pour déterminer $\text{Im}(f)$ : chercher l'image des vecteurs d'une base de $E$.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, x-y)$.

Linéarité : $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$ (calcul direct).
Noyau : $x+y=0$ et $x-y=0 \implies x=0, y=0$. Donc $\ker(f) = {(0,0)}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0_E) = 0_F$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.
Confondre la dimension de l'espace de départ et celle de l'espace d'arrivée dans le théorème du rang.
Ne pas vérifier la linéarité avant de chercher le noyau.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Applications linéaires

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Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ une application linéaire. Si $\ker(f) = \{0\}$ , alors :

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ une application linéaire. Si $\ker(f) = {0}$, alors :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une application linéaire et une application affine ?

Une application linéaire vérifie $f(0) = 0$ et préserve les combinaisons linéaires.
Une application affine est de la forme $f(x) = L(x) + b$ , où $L$ est linéaire et $b$ est un vecteur constant. Si $b \neq 0$ , alors $f(0) \neq 0$ .

💡 À retenir : Toute application linéaire est affine, mais la réciproque est fausse si $b \neq 0$ .

Une application linéaire vérifie $f(0) = 0$ et préserve les combinaisons linéaires.
Une application affine est de la forme $f(x) = L(x) + b$, où $L$ est linéaire et $b$ est un vecteur constant. Si $b \neq 0$, alors $f(0) \neq 0$.

💡 À retenir : Toute application linéaire est affine, mais la réciproque est fausse si $b \neq 0$.

Kifach n7seb l'noyau dyal wahed l'application f ?

Tu poses l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ .
Tu résous le système linéaire obtenu.
Tu écris l'ensemble des solutions sous forme de combinaison linéaire de vecteurs.

💡 À retenir : Le noyau est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace de départ.

Tu poses l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$.
Tu résous le système linéaire obtenu.
Tu écris l'ensemble des solutions sous forme de combinaison linéaire de vecteurs.

💡 À retenir : Le noyau est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace de départ.

Est-ce que l'image d'une famille libre est toujours une famille libre ?

Non, pas forcément. Si l'application n'est pas injective, elle peut "écraser" des vecteurs vers le vecteur nul ou vers des vecteurs dépendants.

💡 À retenir : L'image d'une famille libre est libre si et seulement si l'application est injective.

Chno hiya l'relation bin l'rang o l'dimension dyal l'image ?

C'est la même chose ! Par définition, le rang d'une application linéaire est la dimension de son image.

💡 À retenir : $\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f))$ .

C'est la même chose ! Par définition, le rang d'une application linéaire est la dimension de son image.

💡 À retenir : $\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f))$.

Comment montrer qu'une application est un isomorphisme ?

Montrer qu'elle est linéaire.
Montrer qu'elle est bijective (soit en montrant $\ker(f)=\{0\}$ et $\dim(E)=\dim(F)$ , soit en cherchant la réciproque).

💡 À retenir : En dimension finie, injectivité + même dimension = isomorphisme.

Montrer qu'elle est linéaire.
Montrer qu'elle est bijective (soit en montrant $\ker(f)={0}$ et $\dim(E)=\dim(F)$, soit en cherchant la réciproque).

💡 À retenir : En dimension finie, injectivité + même dimension = isomorphisme.

Kifach n3ref wach wahed l'application linéaire est surjective ?

Tu vérifies si $\text{Im}(f) = F$ .
En dimension finie, il suffit de vérifier que $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(F)$ .

💡 À retenir : $\text{rg}(f) = \dim(F)$ est la condition de surjectivité.

Tu vérifies si $\text{Im}(f) = F$.
En dimension finie, il suffit de vérifier que $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(F)$.

💡 À retenir : $\text{rg}(f) = \dim(F)$ est la condition de surjectivité.

Est-ce que le noyau peut être vide ?

Non, jamais. Le vecteur nul $0_E$ appartient toujours au noyau car $f(0_E) = 0_F$ .

💡 À retenir : Le noyau contient au moins le vecteur nul.

Non, jamais. Le vecteur nul $0_E$ appartient toujours au noyau car $f(0_E) = 0_F$.

💡 À retenir : Le noyau contient au moins le vecteur nul.

Est-ce que la composée de deux applications linéaires est linéaire ?

Oui, si $f$ et $g$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire.

💡 À retenir : La linéarité est stable par composition.

Oui, si $f$ et $g$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire.

💡 À retenir : La linéarité est stable par composition.

Est-ce que l'image d'un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel ?

Oui, si $E'$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors $f(E')$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

💡 À retenir : L'image directe d'un SEV est un SEV.

Oui, si $E'$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $f(E')$ est un sous-espace vectoriel de $F$.

💡 À retenir : L'image directe d'un SEV est un SEV.

Comment utiliser le théorème du rang si on ne connaît pas la dimension ?

Le théorème du rang ne s'applique que si l'espace de départ est de dimension finie. Si ce n'est pas le cas, il faut utiliser la définition de l'injectivité et de la surjectivité.

💡 À retenir : Dimension finie obligatoire pour le théorème du rang.

Est-ce que le rang peut être supérieur à la dimension de l'espace de départ ?

Non, car $\text{rg}(f) = \dim(E) - \dim(\ker(f))$ , donc $\text{rg}(f) \leq \dim(E)$ .

💡 À retenir : Le rang est toujours inférieur ou égal au minimum des dimensions de $E$ et $F$ .

Non, car $\text{rg}(f) = \dim(E) - \dim(\ker(f))$, donc $\text{rg}(f) \leq \dim(E)$.

💡 À retenir : Le rang est toujours inférieur ou égal au minimum des dimensions de $E$ et $F$.

Est-ce que f(u+v) = f(u)+f(v) suffit pour dire que f est linéaire ?

Non, il faut aussi vérifier $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ .

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les deux conditions (ou la forme $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$ ).

Non, il faut aussi vérifier $f(\lambda u) = \lambda f(u)$.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les deux conditions (ou la forme $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, y+z)$ .

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer $\ker(f)$ et sa dimension.
En déduire le rang de $f$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, y+z)$.

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer $\ker(f)$ et sa dimension.
En déduire le rang de $f$.

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Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+2y, 3x+6y)$ .

Déterminer $\ker(f)$ .
$f$ est-elle injective ? Surjective ?
Déterminer $\text{Im}(f)$ .

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+2y, 3x+6y)$.

Déterminer $\ker(f)$.
$f$ est-elle injective ? Surjective ?
Déterminer $\text{Im}(f)$.

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Exercice 3

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 = 0$ (où $f^2 = f \circ f$ ). Montrer que $\text{Im}(f) \subset \ker(f)$ et en déduire que $\text{rg}(f) \leq \frac{3}{2}$ . Que peut-on dire sur $\text{rg}(f)$ ?

Exercice 3

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 = 0$ (où $f^2 = f \circ f$). Montrer que $\text{Im}(f) \subset \ker(f)$ et en déduire que $\text{rg}(f) \leq \frac{3}{2}$. Que peut-on dire sur $\text{rg}(f)$ ?

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