Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Nombres réels et suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Propriété de la borne supérieure : Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ .
Suites numériques : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente vers $\ell \in \mathbb{R}$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \implies |u_n - \ell| < \varepsilon$ .
Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Étude de la monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Raisonnement par récurrence : Indispensable pour démontrer une propriété sur les suites définies par récurrence.
Utilisation des suites extraites : Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_n = \frac{1}{n}$ . Elle est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers 0.
Exemple 2 : Suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On montre par récurrence qu'elle est majorée par 2 et croissante, donc elle converge vers $L = \sqrt{L+2} \implies L=2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (ex: $(-1)^n$ est bornée mais diverge).
Oublier de vérifier la monotonie avant d'utiliser le théorème de la limite monotone.
Affirmer qu'une suite est croissante sans vérifier le signe de la différence.

L'essentiel du cours

Propriété de la borne supérieure : Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.
Suites numériques : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente vers $\ell \in \mathbb{R}$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \implies |u_n - \ell| < \varepsilon$.
Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Étude de la monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (si $u_n > 0$).
Raisonnement par récurrence : Indispensable pour démontrer une propriété sur les suites définies par récurrence.
Utilisation des suites extraites : Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_n = \frac{1}{n}$. Elle est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers 0.
Exemple 2 : Suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. On montre par récurrence qu'elle est majorée par 2 et croissante, donc elle converge vers $L = \sqrt{L+2} \implies L=2$.

Erreurs fréquentes

Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (ex: $(-1)^n$ est bornée mais diverge).
Oublier de vérifier la monotonie avant d'utiliser le théorème de la limite monotone.
Affirmer qu'une suite est croissante sans vérifier le signe de la différence.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres réels et suites numériques

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La suite $u_n = (-1)^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une suite est majorée ?

Utilise le raisonnement par récurrence : vérifie l'initialisation pour $n=0$ et suppose que $u_n \leq M$ pour montrer que $u_{n+1} \leq M$ .
Étudie les variations de la fonction associée $f$ si $u_{n+1} = f(u_n)$ .

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour les suites définies par récurrence.

Utilise le raisonnement par récurrence : vérifie l'initialisation pour $n=0$ et suppose que $u_n \leq M$ pour montrer que $u_{n+1} \leq M$.
Étudie les variations de la fonction associée $f$ si $u_{n+1} = f(u_n)$.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour les suites définies par récurrence.

Kifach n3ref wach suite convergente wla la ?

Chouf wach monotoone (katzed dima ola katn9es dima).
Ila kant monotoone, chouf wach bornée (majorée ola minorée).
Ila kant monotoone + bornée, rah convergente (Théorème de la limite monotone).

💡 À retenir : Monotone + Bornée = Convergence.

C'est quoi la différence entre une suite et une série ?

Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres.
Une série est la somme des termes d'une suite : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ .

💡 À retenir : La série est la somme cumulée de la suite.

Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres.
Une série est la somme des termes d'une suite : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.

💡 À retenir : La série est la somme cumulée de la suite.

Kifach n7seb la limite dyal suite u{n+1} = f(un) ?

Montre d'abord que la suite est convergente (monotone et bornée).
Soit $L$ sa limite. Comme $f$ est continue, on résout l'équation $f(L) = L$ .

💡 À retenir : Si la suite converge, sa limite est un point fixe de $f$ .

Montre d'abord que la suite est convergente (monotone et bornée).
Soit $L$ sa limite. Comme $f$ est continue, on résout l'équation $f(L) = L$.

💡 À retenir : Si la suite converge, sa limite est un point fixe de $f$.

Est-ce que toute suite bornée est convergente ?

Non, prends $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle ne converge pas car elle oscille.

💡 À retenir : Bornée n'implique pas convergente.

Non, prends $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle ne converge pas car elle oscille.

💡 À retenir : Bornée n'implique pas convergente.

Chno hiya suite adjacente ?

Wa7da katzed ( $u_n \uparrow$ ) et lokhra katn9es ( $v_n \downarrow$ ).
Lfarq binathom $u_n - v_n$ kaymchi l zero.

💡 À retenir : Elles se "rencontrent" à l'infini en une limite commune.

Wa7da katzed ($u_n \uparrow$) et lokhra katn9es ($v_n \downarrow$).
Lfarq binathom $u_n - v_n$ kaymchi l zero.

💡 À retenir : Elles se "rencontrent" à l'infini en une limite commune.

Comment utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass ?

Il dit que de toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. C'est utile pour prouver l'existence d'une limite sans la calculer.

💡 À retenir : C'est un théorème d'existence, pas de calcul.

Peut-on utiliser la dérivée pour une suite ?

Oui, si $u_{n+1} = f(u_n)$ , le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle où se trouve la suite donne le sens de variation de $f$ , ce qui aide à étudier la monotonie de $(u_n)$ .

💡 À retenir : La fonction associée aide à comprendre la suite.

Oui, si $u_{n+1} = f(u_n)$, le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle où se trouve la suite donne le sens de variation de $f$, ce qui aide à étudier la monotonie de $(u_n)$.

💡 À retenir : La fonction associée aide à comprendre la suite.

C'est quoi la borne supérieure ?

C'est le plus petit des majorants d'une partie de $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : C'est le "plafond" le plus bas possible.

C'est le plus petit des majorants d'une partie de $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : C'est le "plafond" le plus bas possible.

Kifach nbiyen bli suite géométrique ?

Il faut calculer le rapport $u_{n+1} / u_n$ et montrer qu'il est égal à une constante $q$ indépendante de $n$ .

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ .

Il faut calculer le rapport $u_{n+1} / u_n$ et montrer qu'il est égal à une constante $q$ indépendante de $n$.

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$.

Pourquoi on étudie les suites extraites ?

Parfois, la suite globale est difficile à étudier, mais les sous-suites (ex: termes pairs et impairs) sont plus simples.

💡 À retenir : Diviser pour mieux régner.

Est-ce que la limite d'une suite dépend du premier terme u0 ?

Oui, pour les suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ , le point de départ $u_0$ peut faire converger la suite vers différents points fixes.

💡 À retenir : La condition initiale est cruciale.

Oui, pour les suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$, le point de départ $u_0$ peut faire converger la suite vers différents points fixes.

💡 À retenir : La condition initiale est cruciale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ .

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq u_n \leq 3$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n){n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et $u{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq u_n \leq 3$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soient $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n}$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Exercice 2

Soient $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n}$. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $u_n = \frac{2^n + 3^n}{4^n}$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Exercice 3

Soit $u_n = \frac{2^n + 3^n}{4^n}$. Étudier la convergence de $(u_n)$.

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