Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Logique et raisonnements

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Proposition : Assertion mathématique ayant une valeur de vérité (Vrai ou Faux).
Connecteurs logiques : $\neg, \land, \lor, \implies, \iff$ .
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement par récurrence : Initialisation ( $P(n_0)$ ), Hérédité (supposer $P(n)$ , montrer $P(n+1)$ ), Conclusion.
Raisonnement par l'absurde : Supposer $\neg P$ et aboutir à une contradiction ( $A \land \neg A$ ).
Raisonnement par contraposée : Utiliser $P \implies Q \equiv \neg Q \implies \neg P$ .

Méthodes à maîtriser

Négation des quantificateurs : $\neg(\forall x \in E, P(x)) \iff \exists x \in E, \neg P(x)$ .
Récurrence : Toujours bien rédiger l'hérédité en partant de l'hypothèse de récurrence.
Analyse-Synthèse : Pour montrer $E = \{x\}$ , on montre d'abord que si $x \in E$ alors $x = \dots$ (Analyse), puis on vérifie que la valeur trouvée appartient à $E$ (Synthèse).

Exemples corrigés

Négation : La négation de $\forall x > 0, \exists y \in \mathbb{R}, x+y > 0$ est $\exists x > 0, \forall y \in \mathbb{R}, x+y \leq 0$ .
Récurrence : Montrer $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
- Init : $n=1, 1 = \frac{1(2)}{2}$ (Vrai).
- Hérédité : Supposons $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Alors $\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier l'initialisation dans une récurrence.
Confondre $\neg(P \implies Q)$ avec $\neg P \implies \neg Q$ (le bon est $P \land \neg Q$ ).
Inverser l'ordre des quantificateurs $\forall$ et $\exists$ change totalement le sens.

L'essentiel du cours

Proposition : Assertion mathématique ayant une valeur de vérité (Vrai ou Faux).
Connecteurs logiques : $\neg, \land, \lor, \implies, \iff$.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement par récurrence : Initialisation ($P(n_0)$), Hérédité (supposer $P(n)$, montrer $P(n+1)$), Conclusion.
Raisonnement par l'absurde : Supposer $\neg P$ et aboutir à une contradiction ($A \land \neg A$).
Raisonnement par contraposée : Utiliser $P \implies Q \equiv \neg Q \implies \neg P$.

Méthodes à maîtriser

Négation des quantificateurs : $\neg(\forall x \in E, P(x)) \iff \exists x \in E, \neg P(x)$.
Récurrence : Toujours bien rédiger l'hérédité en partant de l'hypothèse de récurrence.
Analyse-Synthèse : Pour montrer $E = {x}$, on montre d'abord que si $x \in E$ alors $x = \dots$ (Analyse), puis on vérifie que la valeur trouvée appartient à $E$ (Synthèse).

Exemples corrigés

Négation : La négation de $\forall x > 0, \exists y \in \mathbb{R}, x+y > 0$ est $\exists x > 0, \forall y \in \mathbb{R}, x+y \leq 0$.
Récurrence : Montrer $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
- Init : $n=1, 1 = \frac{1(2)}{2}$ (Vrai).
- Hérédité : Supposons $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. Alors $\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier l'initialisation dans une récurrence.
Confondre $\neg(P \implies Q)$ avec $\neg P \implies \neg Q$ (le bon est $P \land \neg Q$).
Inverser l'ordre des quantificateurs $\forall$ et $\exists$ change totalement le sens.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Logique et raisonnements

1/4

La négation de " $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$ " est :

La négation de "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$" est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir quel raisonnement choisir pour un exercice ?

Analyse la structure de la question : "Montrer que pour tout n..." suggère la récurrence.
"Montrer que si A alors B" suggère la contraposée si B est facile à nier.
"Montrer qu'il existe un unique x" impose l'analyse-synthèse.
Si rien ne marche, essaie l'absurde en supposant le contraire de ce que tu cherches.

💡 À retenir : Le choix du raisonnement dépend de la forme de la proposition à démontrer.

Kifach n7seb la négation dyal chi proposition fiha "pour tout" o "il existe" f dbal?

Ktbdel $\forall$ b $\exists$ o l3aks.
Ktbdel l'assertion li morahom b n-nafi dyalha.
Exemple : $\neg(\forall x, \exists y, x+y=0) \iff \exists x, \forall y, x+y \neq 0$ .

💡 À retenir : L'ordre des quantificateurs ne change jamais, juste leur nature.

Ktbdel $\forall$ b $\exists$ o l3aks.
Ktbdel l'assertion li morahom b n-nafi dyalha.
Exemple : $\neg(\forall x, \exists y, x+y=0) \iff \exists x, \forall y, x+y \neq 0$.

💡 À retenir : L'ordre des quantificateurs ne change jamais, juste leur nature.

Est-ce que l'implication P implies Q est la même chose que Q implies P ?

Non, $Q \implies P$ est la réciproque. L'implication $P \implies Q$ est logiquement équivalente à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$ , mais pas à sa réciproque.

💡 À retenir : Ne jamais confondre réciproque et contraposée.

Non, $Q \implies P$ est la réciproque. L'implication $P \implies Q$ est logiquement équivalente à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$, mais pas à sa réciproque.

💡 À retenir : Ne jamais confondre réciproque et contraposée.

Chno hiya l'étape li katsma l'hérédité f récurrence?

Hiya l'étape fin kanafdo bli l'expression s7i7a f rang $n$ (hypothèse).
O khassna nbyno bli hiya s7i7a f rang $n+1$ (conclusion).

💡 À retenir : L'hérédité est le pont qui permet de passer de $n$ à $n+1$ .

Hiya l'étape fin kanafdo bli l'expression s7i7a f rang $n$ (hypothèse).
O khassna nbyno bli hiya s7i7a f rang $n+1$ (conclusion).

💡 À retenir : L'hérédité est le pont qui permet de passer de $n$ à $n+1$.

Pourquoi on utilise l'analyse-synthèse pour l'unicité ?

L'analyse permet de trouver la forme que doit prendre l'objet s'il existe (condition nécessaire). La synthèse permet de vérifier que cet objet répond bien à la définition (condition suffisante).

💡 À retenir : L'analyse trouve le candidat, la synthèse confirme qu'il est le bon.

Kifach n3ref bli khassni nkhdem b l'absurde?

Ila knti baghi tbyen chi haja o ban lik bli n-nafi dyalha kayshel 3lik lkhdma (bhal ila knti baghi tbyen bli chi 3adad machi 3adadi).

💡 À retenir : L'absurde est utile quand la négation de la conclusion donne une information directe.

Est-ce que (forall x, P(x)) land (forall x, Q(x)) est équivalent à forall x, (P(x) land Q(x)) ?

Oui, c'est une règle logique fondamentale. Si une propriété est vraie pour tout $x$ et qu'une autre est vraie pour tout $x$ , alors les deux sont vraies pour tout $x$ .

💡 À retenir : Le quantificateur universel est distributif par rapport à la conjonction.

Oui, c'est une règle logique fondamentale. Si une propriété est vraie pour tout $x$ et qu'une autre est vraie pour tout $x$, alors les deux sont vraies pour tout $x$.

💡 À retenir : Le quantificateur universel est distributif par rapport à la conjonction.

Est-ce que exists x, (P(x) land Q(x)) est équivalent à (exists x, P(x)) land (exists x, Q(x)) ?

Non. Si il existe un $x$ tel que $P(x)$ et un $y$ tel que $Q(y)$ , rien ne garantit que $x=y$ .

💡 À retenir : Le quantificateur existentiel n'est pas distributif par rapport à la conjonction.

Non. Si il existe un $x$ tel que $P(x)$ et un $y$ tel que $Q(y)$, rien ne garantit que $x=y$.

💡 À retenir : Le quantificateur existentiel n'est pas distributif par rapport à la conjonction.

Est-ce que la contraposée est toujours plus simple ?

Pas forcément. Elle est utile quand la négation de la conclusion est plus facile à manipuler que la conclusion elle-même (ex: inégalités, divisibilité).

💡 À retenir : La contraposée est un outil, pas une obligation.

Chno hiya l'importance dyal l'initialisation f récurrence?

Hiya li katbda biha l'enchaînement. Bhal chi domino, ila mata7ch lawl, lbaqi mayt7ch.

💡 À retenir : Sans initialisation, la récurrence n'a aucune valeur.

Comment nier une implication P implies Q ?

La négation est $P \land \neg Q$ . C'est une erreur classique de dire que c'est $\neg P \implies \neg Q$ .

💡 À retenir : Pour nier une implication, on garde la condition et on nie le résultat.

La négation est $P \land \neg Q$. C'est une erreur classique de dire que c'est $\neg P \implies \neg Q$.

💡 À retenir : Pour nier une implication, on garde la condition et on nie le résultat.

Est-ce qu'on peut utiliser la récurrence forte ?

Oui, quand pour montrer $P(n+1)$ , on a besoin de toutes les hypothèses précédentes $P(0), P(1), \dots, P(n)$ .

💡 À retenir : La récurrence forte est une variante puissante de la récurrence classique.

Oui, quand pour montrer $P(n+1)$, on a besoin de toutes les hypothèses précédentes $P(0), P(1), \dots, P(n)$.

💡 À retenir : La récurrence forte est une variante puissante de la récurrence classique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

Exercice 2

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer par contraposée : $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 \text{ est pair} \implies n \text{ est pair}$ .

Exercice 3

Montrer par contraposée : $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 \text{ est pair} \implies n \text{ est pair}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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