Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal d'un produit cartésien : Si $A$ et $B$ sont finis, $|A \times B| = |A| \times |B|$ .
p-uplets : Le nombre de $p$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments est $n^p$ .
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ pour $0 \le k \le n$ .
Permutations : $P_n = n!$ .
Combinaisons : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Formule du binôme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ou les puissances. S'il ne compte pas, on utilise les combinaisons.
Tirages :
- Avec remise : $n^p$ .
- Sans remise (ordre important) : $A_n^p$ .
- Simultané (ordre non important) : $\binom{n}{p}$ .
Principe des tiroirs : Si on range $n+1$ objets dans $n$ boîtes, au moins une boîte contient au moins deux objets.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 20 : $\binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ .
Exemple 2 : Nombre de mots de 4 lettres formés avec 26 lettres : $26^4 = 456976$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "avec remise" et "sans remise".
Oublier que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
Appliquer une formule de combinaison quand l'ordre est important.

L'essentiel du cours

Cardinal d'un produit cartésien : Si $A$ et $B$ sont finis, $|A \times B| = |A| \times |B|$.
p-uplets : Le nombre de $p$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments est $n^p$.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ pour $0 \le k \le n$.
Permutations : $P_n = n!$.
Combinaisons : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Formule du binôme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ou les puissances. S'il ne compte pas, on utilise les combinaisons.
Tirages :
- Avec remise : $n^p$.
- Sans remise (ordre important) : $A_n^p$.
- Simultané (ordre non important) : $\binom{n}{p}$.
Principe des tiroirs : Si on range $n+1$ objets dans $n$ boîtes, au moins une boîte contient au moins deux objets.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 20 : $\binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
Exemple 2 : Nombre de mots de 4 lettres formés avec 26 lettres : $26^4 = 456976$.

Erreurs fréquentes

Confondre "avec remise" et "sans remise".
Oublier que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
Appliquer une formule de combinaison quand l'ordre est important.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dénombrement

1/4

Quel est le nombre de façons de choisir un comité de 2 personnes parmi 5 ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi 0! = 1 ?

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $A_n^n = n!$ ou $\binom{n}{0} = 1$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : Sans cette convention, la plupart des formules de dénombrement seraient indéfinies.

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $A_n^n = n!$ ou $\binom{n}{0} = 1$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : Sans cette convention, la plupart des formules de dénombrement seraient indéfinies.

Comment dénombrer les fonctions d'un ensemble E vers F ?

Si $|E|=p$ et $|F|=n$ , le nombre de fonctions est $n^p$ .

Chaque élément de $E$ a $n$ images possibles dans $F$ .
On multiplie $n$ par lui-même $p$ fois.

💡 À retenir : Nombre de fonctions = $(\text{card } F)^{\text{card } E}$ .

Si $|E|=p$ et $|F|=n$, le nombre de fonctions est $n^p$.

Chaque élément de $E$ a $n$ images possibles dans $F$.
On multiplie $n$ par lui-même $p$ fois.

💡 À retenir : Nombre de fonctions = $(\text{card } F)^{\text{card } E}$.

Est-ce que le programme inclut les arrangements avec répétition ?

Oui, c'est ce qu'on appelle les $p$ -uplets. C'est le cas où on peut choisir plusieurs fois le même élément.

💡 À retenir : Le nombre est $n^p$ .

Oui, c'est ce qu'on appelle les $p$-uplets. C'est le cas où on peut choisir plusieurs fois le même élément.

💡 À retenir : Le nombre est $n^p$.

Qu'est-ce qu'un arrangement ?

Un arrangement est une sélection ordonnée de $k$ éléments parmi $n$ éléments distincts. Contrairement à la combinaison, l'ordre ici est crucial.

On choisit le premier élément ( $n$ choix).
On choisit le deuxième ( $n-1$ choix), et ainsi de suite jusqu'au $k$ -ième.

💡 À retenir : $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$ .

Un arrangement est une sélection ordonnée de $k$ éléments parmi $n$ éléments distincts. Contrairement à la combinaison, l'ordre ici est crucial.

On choisit le premier élément ($n$ choix).
On choisit le deuxième ($n-1$ choix), et ainsi de suite jusqu'au $k$-ième.

💡 À retenir : $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.

Kifach n3ref wach nkhdem b binom{n}{k} wla n^k ?

Sahl, chouf wach l'ordre mhm wla la :

Ila kan l'ordre mhm (b7al code secret), khdem b $n^k$ (ila kayna l'iirja3) aw $A_n^k$ (ila makaynch l'iirja3).
Ila kan l'ordre makayhemch (b7al ktaf 3 chkhas mn majmou3a), khdem b $\binom{n}{k}$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé pour choisir la bonne formule.

Sahl, chouf wach l'ordre mhm wla la :

Ila kan l'ordre mhm (b7al code secret), khdem b $n^k$ (ila kayna l'iirja3) aw $A_n^k$ (ila makaynch l'iirja3).
Ila kan l'ordre makayhemch (b7al ktaf 3 chkhas mn majmou3a), khdem b $\binom{n}{k}$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé pour choisir la bonne formule.

Est-ce que binom{n}{k} = binom{n}{n-k} est toujours vraie ?

Oui, cette propriété est fondamentale. Elle signifie que choisir $k$ éléments à garder revient à choisir $n-k$ éléments à écarter.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Oui, cette propriété est fondamentale. Elle signifie que choisir $k$ éléments à garder revient à choisir $n-k$ éléments à écarter.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Chno hiya l'utilité dyal factorielle n! ?

$n!$ (factorielle $n$ ) représente le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts dans un ordre précis.

Pour le 1er objet, t'as $n$ choix.
Pour le 2ème, t'as $n-1$ choix... jusqu'au dernier.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .

$n!$ (factorielle $n$) représente le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts dans un ordre précis.

Pour le 1er objet, t'as $n$ choix.
Pour le 2ème, t'as $n-1$ choix... jusqu'au dernier.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.

Comment calculer le nombre de sous-ensembles d'un ensemble à n éléments ?

Le nombre de sous-ensembles (l'ensemble des parties) est $2^n$ .

Pour chaque élément, tu as deux choix : soit il appartient au sous-ensemble, soit il n'y appartient pas.
Comme il y a $n$ éléments, on multiplie $2 \times 2 \times ... \times 2$ ( $n$ fois).

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{|E|}$ .

Le nombre de sous-ensembles (l'ensemble des parties) est $2^n$.

Pour chaque élément, tu as deux choix : soit il appartient au sous-ensemble, soit il n'y appartient pas.
Comme il y a $n$ éléments, on multiplie $2 \times 2 \times ... \times 2$ ($n$ fois).

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{|E|}$.

Kifach n7seb l3adad dyal les anagrammes dyal wa7d lkelma ?

7seb l3adad lkoli dyal 7orouf (n).
7seb ch7al mn mra t3awd kol 7arf ( $n_1, n_2, ...$ ).
St3mel l'formule : $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ...}$ .

💡 À retenir : Il faut diviser par les factorielles des répétitions pour ne pas compter les mêmes mots plusieurs fois.

7seb l3adad lkoli dyal 7orouf (n).
7seb ch7al mn mra t3awd kol 7arf ($n_1, n_2, ...$).
St3mel l'formule : $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ...}$.

💡 À retenir : Il faut diviser par les factorielles des répétitions pour ne pas compter les mêmes mots plusieurs fois.

Peut-on avoir k n dans binom{n}{k} ?

Non, par définition, si $k > n$ , alors $\binom{n}{k} = 0$ . On ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'ensemble.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = 0$ si $k > n$ ou $k < 0$ .

Non, par définition, si $k > n$, alors $\binom{n}{k} = 0$. On ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'ensemble.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = 0$ si $k > n$ ou $k < 0$.

Quelle est la différence entre tirage simultané et successif sans remise ?

Mathématiquement, il n'y en a aucune.

Tirer simultanément 3 boules revient au même que de les tirer l'une après l'autre sans les remettre.
Dans les deux cas, on utilise $\binom{n}{k}$ .

💡 À retenir : Le résultat est identique car l'ordre n'est pas pris en compte.

Mathématiquement, il n'y en a aucune.

Tirer simultanément 3 boules revient au même que de les tirer l'une après l'autre sans les remettre.
Dans les deux cas, on utilise $\binom{n}{k}$.

💡 À retenir : Le résultat est identique car l'ordre n'est pas pris en compte.

Est-ce que le principe multiplicatif s'applique toujours ?

Oui, tant que les choix sont indépendants et successifs. Si le choix à l'étape $i$ dépend du résultat de l'étape $i-1$ , il faut adapter le calcul.

💡 À retenir : Si les choix sont liés, on multiplie les cardinaux conditionnels.

Oui, tant que les choix sont indépendants et successifs. Si le choix à l'étape $i$ dépend du résultat de l'étape $i-1$, il faut adapter le calcul.

💡 À retenir : Si les choix sont liés, on multiplie les cardinaux conditionnels.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 10 boules : 4 rouges, 3 vertes et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules.

Quel est le nombre total de tirages possibles ?
Quel est le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges ?

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Exercice 2

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettres du mot "MATHS" (sans répétition) ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un groupe de 12 personnes doit élire un président, un secrétaire et un trésorier. Combien de bureaux différents peut-on former ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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