Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\alpha > 0$ tel que $|x-a| < \alpha \implies |f(x)-\ell| < \varepsilon$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ .

Méthodes à maîtriser

Lever une indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué, ou les limites usuelles.
Étudier la continuité : Vérifier $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ .
Démontrer l'existence d'une racine : Utiliser le TVI sur un intervalle où $f(a) \cdot f(b) < 0$ .

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ .
Continuité : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$ .
Négliger les conditions de stricte monotonie pour le théorème de la bijection.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\alpha > 0$ tel que $|x-a| < \alpha \implies |f(x)-\ell| < \varepsilon$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Méthodes à maîtriser

Lever une indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué, ou les limites usuelles.
Étudier la continuité : Vérifier $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
Démontrer l'existence d'une racine : Utiliser le TVI sur un intervalle où $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.
Continuité : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$.
Négliger les conditions de stricte monotonie pour le théorème de la bijection.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite de $\frac{1}{x}$ quand $x \to 0^+$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-founction mttasla f-nuqta?

Hseb l-limite d-l-founction f-hadik n-nuqta $a$ .
Hseb $f(a)$ (l-image d-n-nuqta).
Ila kanet $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , rah l-founction mttasla.

💡 À retenir : L-mttasla khassha tkon mttasla mn l-yimin o l-yisar f-n-nafs l-waqt.

Hseb l-limite d-l-founction f-hadik n-nuqta $a$.
Hseb $f(a)$ (l-image d-n-nuqta).
Ila kanet $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, rah l-founction mttasla.

💡 À retenir : L-mttasla khassha tkon mttasla mn l-yimin o l-yisar f-n-nafs l-waqt.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non, la continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$ , mais elle n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Non, la continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Chno hiya l-farq bin l-limite o l-continuité ?

L-limite katwri l-founction fin ghada qreb n-nuqta.
L-continuité katwri wach l-founction mkhdama f-dik n-nuqta o wach mktassa (mafihach qte3).

💡 À retenir : L-limite hiya l-ihtimal, l-continuité hiya l-waqi3.

Kifach nst3mel TVI bach n-biyen bli 3ndna 7al wahed?

Biyen bli $f$ mttasla.
Biyen bli $f$ rtaba qat3a (tzaidya aw tnaqusya qat3a).
Hseb $f(a) \times f(b) < 0$ .
Stntj bli 3ndna 7al wahed f-l-majall.

💡 À retenir : L-rtaba qat3a hiya li katkhli l-7al ykon wahed (unique).

Biyen bli $f$ mttasla.
Biyen bli $f$ rtaba qat3a (tzaidya aw tnaqusya qat3a).
Hseb $f(a) \times f(b) < 0$.
Stntj bli 3ndna 7al wahed f-l-majall.

💡 À retenir : L-rtaba qat3a hiya li katkhli l-7al ykon wahed (unique).

Comment lever une indétermination du type infty - infty ?

Factoriser par le terme de plus haut degré.
Utiliser la quantité conjuguée si la fonction contient des racines carrées.

💡 À retenir : Ne jamais conclure directement sans transformer l'expression.

Est-ce que l'image d'un intervalle ouvert par une fonction continue est toujours ouverte ?

Oui, si la fonction est strictement monotone, l'image d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert. Cependant, si elle n'est pas monotone, cela peut varier.

💡 À retenir : La continuité conserve la connexité des intervalles.

Wach momkin nst3mel TVI ila kanet l-founction mttasla ghir f-majall mftouh?

TVI khassha majall mghlaq $[a, b]$ . Ila kan mftouh, khassk tst3mel les limites f-l-atraf.

💡 À retenir : TVI = continuité sur $[a, b]$ .

TVI khassha majall mghlaq $[a, b]$. Ila kan mftouh, khassk tst3mel les limites f-l-atraf.

💡 À retenir : TVI = continuité sur $[a, b]$.

Comment montrer qu'une fonction admet une bijection réciproque ?

Il faut montrer que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle donné.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Bijection.

Pourquoi on étudie les limites à l'infini ?

Pour comprendre le comportement de la courbe quand $x$ devient très grand ou très petit, ce qui permet de trouver les asymptotes.

💡 À retenir : Les limites à l'infini définissent les branches infinies.

Pour comprendre le comportement de la courbe quand $x$ devient très grand ou très petit, ce qui permet de trouver les asymptotes.

💡 À retenir : Les limites à l'infini définissent les branches infinies.

Est-ce que la somme de deux fonctions continues est continue ?

Oui, la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions continues sont des fonctions continues.

💡 À retenir : La continuité est stable par les opérations usuelles.

Comment trouver l'image d'un intervalle [a, b] par une fonction continue ?

Si $f$ est continue et croissante, l'image est $[f(a), f(b)]$ . Si elle est décroissante, c'est $[f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : L'ordre change avec la décroissance.

Si $f$ est continue et croissante, l'image est $[f(a), f(b)]$. Si elle est décroissante, c'est $[f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : L'ordre change avec la décroissance.

Est-ce que le théorème de la bijection permet de calculer la réciproque ?

Il permet de prouver son existence et ses propriétés, mais pour l'expliciter, il faut résoudre l'équation $y = f(x)$ pour trouver $x = f^{-1}(y)$ .

💡 À retenir : Existence $\neq$ Expression explicite.

Il permet de prouver son existence et ses propriétés, mais pour l'expliciter, il faut résoudre l'équation $y = f(x)$ pour trouver $x = f^{-1}(y)$.

💡 À retenir : Existence $\neq$ Expression explicite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 1$ .

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 1$.

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.

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Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $0$ avec $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 1$ .

Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $0$ avec $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 1$.

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