Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

ثنائي القطب RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un condensateur est un dipôle constitué de deux armatures séparées par un isolant. Il emmagasine de l'énergie sous forme électrique.
Relation charge-courant : $q = C \cdot u_C$ et $i = \frac{dq}{dt}$ . Pour un condensateur, $i = C \frac{du_C}{dt}$ .
Équation différentielle : Lors de la charge par un générateur de tension $E$ , la loi d'additivité des tensions donne : $E = u_R + u_C \Rightarrow RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ .
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = RC$ (constante de temps).
Énergie : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Méthodes à maîtriser

Détermination de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine (elle coupe l'asymptote $u_C = E$ à $t = \tau$ ) ou la valeur $u_C(\tau) \approx 0,63 E$ .
Analyse dimensionnelle : Vérifier que $[RC] = [T]$ .
Établissement de l'équation différentielle : Toujours partir de la loi d'additivité des tensions et de la loi d'Ohm $u_R = Ri$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 \, \Omega$ et $C = 100 \, \mu F$ , alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 \, s = 10 \, ms$ .
Charge à $t = 5\tau$ : Le condensateur est considéré comme chargé à 99%.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $mF$ ou $\mu F$ en $F$ ).
Confondre le sens du courant $i$ avec le sens de déplacement des électrons.
Ne pas justifier l'équation différentielle par la loi d'additivité des tensions.

L'essentiel du cours

Définition : Un condensateur est un dipôle constitué de deux armatures séparées par un isolant. Il emmagasine de l'énergie sous forme électrique.
Relation charge-courant : $q = C \cdot u_C$ et $i = \frac{dq}{dt}$. Pour un condensateur, $i = C \frac{du_C}{dt}$.
Équation différentielle : Lors de la charge par un générateur de tension $E$, la loi d'additivité des tensions donne : $E = u_R + u_C \Rightarrow RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$.
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = RC$ (constante de temps).
Énergie : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Méthodes à maîtriser

Détermination de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine (elle coupe l'asymptote $u_C = E$ à $t = \tau$) ou la valeur $u_C(\tau) \approx 0,63 E$.
Analyse dimensionnelle : Vérifier que $[RC] = [T]$.
Établissement de l'équation différentielle : Toujours partir de la loi d'additivité des tensions et de la loi d'Ohm $u_R = Ri$.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 , \Omega$ et $C = 100 , \mu F$, alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 , s = 10 , ms$.
Charge à $t = 5\tau$ : Le condensateur est considéré comme chargé à 99%.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $mF$ ou $\mu F$ en $F$).
Confondre le sens du courant $i$ avec le sens de déplacement des électrons.
Ne pas justifier l'équation différentielle par la loi d'additivité des tensions.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 ثنائي القطب RC

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Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

Wach n9der nst3mel l'oscilloscope f had l-chapiitre ?

Oui, l'oscilloscope permet de visualiser l'évolution de la tension $u_C(t)$ en fonction du temps. C'est l'outil idéal pour mesurer $\tau$ expérimentalement.

💡 À retenir : La voie Y mesure $u_C$ et la masse doit être placée correctement.

Oui, l'oscilloscope permet de visualiser l'évolution de la tension $u_C(t)$ en fonction du temps. C'est l'outil idéal pour mesurer $\tau$ expérimentalement.

💡 À retenir : La voie Y mesure $u_C$ et la masse doit être placée correctement.

Qu'est-ce qu'un condensateur idéal ?

Un condensateur idéal est un composant dont la résistance interne est nulle et qui ne présente aucune fuite de courant à travers son isolant (diélectrique). Il ne dissipe aucune énergie par effet Joule.

💡 À retenir : Dans nos exercices, on considère toujours le condensateur comme idéal.

Kifach n7seb la constante de temps tau graphiquement ?

Trace la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine ( $t=0$ ).
Trace l'asymptote horizontale de la courbe (la valeur finale $E$ ).
L'abscisse du point d'intersection entre la tangente et l'asymptote est égale à $\tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ représente la durée caractéristique de la charge ou décharge.

Trace la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine ($t=0$).
Trace l'asymptote horizontale de la courbe (la valeur finale $E$).
L'abscisse du point d'intersection entre la tangente et l'asymptote est égale à $\tau$.

💡 À retenir : $\tau$ représente la durée caractéristique de la charge ou décharge.

Pourquoi la tension uC ne dépasse jamais E ?

Parce que selon la loi d'additivité des tensions ( $E = u_R + u_C$ ), si $u_C$ atteignait $E$ , alors $u_R$ deviendrait nulle. Comme $u_R = Ri$ , cela signifie que le courant $i$ s'annule. Le condensateur est alors chargé et le circuit est ouvert.

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint quand $i=0$ .

Parce que selon la loi d'additivité des tensions ($E = u_R + u_C$), si $u_C$ atteignait $E$, alors $u_R$ deviendrait nulle. Comme $u_R = Ri$, cela signifie que le courant $i$ s'annule. Le condensateur est alors chargé et le circuit est ouvert.

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint quand $i=0$.

Est-ce que la valeur de tau change si on change E ?

Non, $\tau = RC$ . Elle ne dépend que des caractéristiques physiques du circuit (la résistance $R$ et la capacité $C$ ). La tension $E$ modifie la valeur finale de la tension, mais pas la vitesse de charge.

💡 À retenir : $\tau$ est une propriété intrinsèque du dipôle RC.

Non, $\tau = RC$. Elle ne dépend que des caractéristiques physiques du circuit (la résistance $R$ et la capacité $C$). La tension $E$ modifie la valeur finale de la tension, mais pas la vitesse de charge.

💡 À retenir : $\tau$ est une propriété intrinsèque du dipôle RC.

Chno hiya l'unité dial la capacité C ?

L'unité de la capacité $C$ est le Farad, noté $F$ . Comme c'est une unité très grande, on utilise souvent des sous-multiples : le millifarad ( $mF = 10^{-3} F$ ), le microfarad ( $\mu F = 10^{-6} F$ ) ou le nanofarad ( $nF = 10^{-9} F$ ).

💡 À retenir : Toujours convertir en Farad avant de calculer $\tau$ .

L'unité de la capacité $C$ est le Farad, noté $F$. Comme c'est une unité très grande, on utilise souvent des sous-multiples : le millifarad ($mF = 10^{-3} F$), le microfarad ($\mu F = 10^{-6} F$) ou le nanofarad ($nF = 10^{-9} F$).

💡 À retenir : Toujours convertir en Farad avant de calculer $\tau$.

Comment démontrer que uC(t) = A(1 - e^{-t/tau}) est solution ?

Calcule la dérivée $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$ .
Remplace $u_C$ et sa dérivée dans l'équation différentielle $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ .
Identifie les termes pour trouver $A=E$ et $\tau=RC$ .

💡 À retenir : Une solution est valide si elle vérifie l'équation et les conditions initiales.

Calcule la dérivée $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$.
Remplace $u_C$ et sa dérivée dans l'équation différentielle $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$.
Identifie les termes pour trouver $A=E$ et $\tau=RC$.

💡 À retenir : Une solution est valide si elle vérifie l'équation et les conditions initiales.

Wach l'énergie stockée dépend de la résistance R ?

Non, l'énergie $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ dépend uniquement de la capacité $C$ et de la tension aux bornes $u_C$ . La résistance $R$ influence seulement la vitesse avec laquelle cette énergie est stockée.

💡 À retenir : $R$ dissipe l'énergie par effet Joule, elle ne la stocke pas.

Non, l'énergie $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ dépend uniquement de la capacité $C$ et de la tension aux bornes $u_C$. La résistance $R$ influence seulement la vitesse avec laquelle cette énergie est stockée.

💡 À retenir : $R$ dissipe l'énergie par effet Joule, elle ne la stocke pas.

Pourquoi dit-on que le condensateur est un réservoir d'énergie ?

Parce qu'il peut accumuler des charges électriques sur ses armatures pendant une phase de charge et les restituer ultérieurement dans un autre circuit lors d'une phase de décharge.

💡 À retenir : Contrairement à la pile, il ne produit pas d'énergie, il la stocke.

Comment savoir si le condensateur est en charge ou décharge ?

Si le circuit contient un générateur de tension $E$ , c'est une charge.
Si le circuit ne contient que le condensateur et un conducteur ohmique (sans générateur), c'est une décharge.

💡 À retenir : La courbe de charge est croissante, celle de décharge est décroissante.

Si le circuit contient un générateur de tension $E$, c'est une charge.
Si le circuit ne contient que le condensateur et un conducteur ohmique (sans générateur), c'est une décharge.

💡 À retenir : La courbe de charge est croissante, celle de décharge est décroissante.

Est-ce que le courant i est constant pendant la charge ?

Non, le courant diminue au cours du temps. Au début ( $t=0$ ), le condensateur est déchargé ( $u_C=0$ ), donc $u_R = E$ et $i = E/R$ (courant maximal). À la fin, $u_C = E$ , donc $u_R = 0$ et $i = 0$ .

💡 À retenir : Le courant est maximal à l'instant initial.

Non, le courant diminue au cours du temps. Au début ($t=0$), le condensateur est déchargé ($u_C=0$), donc $u_R = E$ et $i = E/R$ (courant maximal). À la fin, $u_C = E$, donc $u_R = 0$ et $i = 0$.

💡 À retenir : Le courant est maximal à l'instant initial.

Comment calculer l'énergie dissipée par effet Joule ?

L'énergie dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique est égale à la différence entre l'énergie fournie par le générateur et l'énergie stockée par le condensateur.

💡 À retenir : $E_{Joule} = E_{gen} - E_{condensateur}$ .

L'énergie dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique est égale à la différence entre l'énergie fournie par le générateur et l'énergie stockée par le condensateur.

💡 À retenir : $E_{Joule} = E_{gen} - E_{condensateur}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 \, \mu F$ est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 1 \, k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 \, V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Calculer la constante de temps $\tau$ .
Déterminer l'énergie stockée en régime permanent.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 , \mu F$ est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 1 , k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 , V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Calculer la constante de temps $\tau$.
Déterminer l'énergie stockée en régime permanent.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On décharge un condensateur initialement chargé sous $E=10V$ dans une résistance $R$ . La tension aux bornes du condensateur est donnée par $u_C(t) = 10 e^{-t/0,05}$ .

Déterminer la valeur de $\tau$ .
Calculer la valeur de $u_C$ à $t = 0,05 \, s$ .
À quel instant $t$ la tension est-elle égale à $1 \, V$ ?

Exercice 2

On décharge un condensateur initialement chargé sous $E=10V$ dans une résistance $R$. La tension aux bornes du condensateur est donnée par $u_C(t) = 10 e^{-t/0,05}$.

Déterminer la valeur de $\tau$.
Calculer la valeur de $u_C$ à $t = 0,05 , s$.
À quel instant $t$ la tension est-elle égale à $1 , V$ ?

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Exercice 3

Un condensateur est chargé avec un courant constant $I_0 = 1 \, mA$ . La tension passe de $0$ à $5 \, V$ en $2 \, s$ .

Exprimer $u_C(t)$ en fonction de $I_0, C$ et $t$ .
Calculer la valeur de $C$ .
Quelle est l'énergie stockée à $t = 2 \, s$ ?

Exercice 3

Un condensateur est chargé avec un courant constant $I_0 = 1 , mA$. La tension passe de $0$ à $5 , V$ en $2 , s$.

Exprimer $u_C(t)$ en fonction de $I_0, C$ et $t$.
Calculer la valeur de $C$.
Quelle est l'énergie stockée à $t = 2 , s$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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