Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

ثنائي القطب RL

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ (en Henry, H) et sa résistance interne $r$ ( $\Omega$ ).
Tension aux bornes : $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ . Si la bobine est idéale ( $r=0$ ), alors $u_L = L \frac{di}{dt}$ .
Équation différentielle : Pour un circuit RL série avec un générateur de tension $E$ : $E = u_L + u_R = L \frac{di}{dt} + (R+r)i$ .
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$ .
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions ( $u_L + u_R = E$ ).
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63 I_{max}$ .
Calculer $L$ : Utiliser la valeur de $\tau$ et la résistance totale du circuit.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $L=0,5$ H et $R_{tot} = 100$ $\Omega$ , alors $\tau = 0,5 / 100 = 5$ ms.
Régime permanent : À $t \to \infty$ , $\frac{di}{dt} = 0$ , donc $I_0 = \frac{E}{R+r}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de la résistance totale.
Confondre la dérivée $\frac{di}{dt}$ avec la valeur de $i$ .
Négliger l'unité de $L$ (souvent donnée en mH).

L'essentiel du cours

La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ (en Henry, H) et sa résistance interne $r$ ($\Omega$).
Tension aux bornes : $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$. Si la bobine est idéale ($r=0$), alors $u_L = L \frac{di}{dt}$.
Équation différentielle : Pour un circuit RL série avec un générateur de tension $E$ : $E = u_L + u_R = L \frac{di}{dt} + (R+r)i$.
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$.
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions ($u_L + u_R = E$).
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63 I_{max}$.
Calculer $L$ : Utiliser la valeur de $\tau$ et la résistance totale du circuit.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $L=0,5$ H et $R_{tot} = 100$ $\Omega$, alors $\tau = 0,5 / 100 = 5$ ms.
Régime permanent : À $t \to \infty$, $\frac{di}{dt} = 0$, donc $I_0 = \frac{E}{R+r}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de la résistance totale.
Confondre la dérivée $\frac{di}{dt}$ avec la valeur de $i$.
Négliger l'unité de $L$ (souvent donnée en mH).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 ثنائي القطب RL

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Quelle est l'unité de l'inductance $L$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une bobine réelle et idéale ?

Une bobine idéale n'a aucune résistance interne ( $r=0$ ).
Une bobine réelle possède un fil conducteur qui présente une résistance interne $r > 0$ .

💡 À retenir : Dans les exercices, vérifie toujours si l'énoncé mentionne "bobine réelle" ou "bobine idéale".

Une bobine idéale n'a aucune résistance interne ($r=0$).
Une bobine réelle possède un fil conducteur qui présente une résistance interne $r > 0$.

💡 À retenir : Dans les exercices, vérifie toujours si l'énoncé mentionne "bobine réelle" ou "bobine idéale".

kifach n7seb tau men l-men7ana dyal i(t) ?

Trace la tangente à la courbe à l'origine ( $t=0$ ).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (la valeur $I_{max}$ ) donne la valeur de $\tau$ sur l'axe des abscisses.
Alternativement, cherche la valeur $0,63 \times I_{max}$ sur l'axe des ordonnées et lis le temps correspondant.

💡 À retenir : $\tau$ représente la durée nécessaire pour atteindre 63% de la valeur maximale.

Trace la tangente à la courbe à l'origine ($t=0$).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (la valeur $I_{max}$) donne la valeur de $\tau$ sur l'axe des abscisses.
Alternativement, cherche la valeur $0,63 \times I_{max}$ sur l'axe des ordonnées et lis le temps correspondant.

💡 À retenir : $\tau$ représente la durée nécessaire pour atteindre 63% de la valeur maximale.

Est-ce que l'intensité du courant s'établit instantanément ?

Non, à cause de l'auto-induction de la bobine, le courant met un certain temps pour atteindre sa valeur maximale. La bobine s'oppose à toute variation du courant.

💡 À retenir : La bobine est un dipôle qui "retarde" l'établissement du courant.

wach l-wichi3a katstahlek t-ta9a ?

Oui, si elle possède une résistance interne $r$ , elle dissipe de l'énergie par effet Joule ( $P = r \cdot i^2$ ). L'énergie magnétique stockée est, elle, conservée tant que le courant circule.

💡 À retenir : Seule la résistance dissipe l'énergie.

Oui, si elle possède une résistance interne $r$, elle dissipe de l'énergie par effet Joule ($P = r \cdot i^2$). L'énergie magnétique stockée est, elle, conservée tant que le courant circule.

💡 À retenir : Seule la résistance dissipe l'énergie.

Pourquoi on utilise une bobine dans les circuits ?

Pour stocker de l'énergie sous forme magnétique et pour filtrer ou retarder les variations du courant électrique dans le circuit.

💡 À retenir : La bobine est l'analogue magnétique du condensateur (qui stocke l'énergie électrique).

kifach n-biyen bli i(t) = A(1 - e^{-t/tau}) hiya l-hel ?

Calcule la dérivée $\frac{di}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$ .
Remplace $i(t)$ et $\frac{di}{dt}$ dans l'équation différentielle.
Identifie les constantes pour que l'égalité soit vraie pour tout $t$ .

💡 À retenir : La vérification d'une solution est une question classique au bac.

Calcule la dérivée $\frac{di}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$.
Remplace $i(t)$ et $\frac{di}{dt}$ dans l'équation différentielle.
Identifie les constantes pour que l'égalité soit vraie pour tout $t$.

💡 À retenir : La vérification d'une solution est une question classique au bac.

Que devient uL en régime permanent ?

En régime permanent, $i$ est constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$ . Alors $u_L = r \cdot i$ .

💡 À retenir : Si la bobine est idéale, $u_L = 0$ en régime permanent.

En régime permanent, $i$ est constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$. Alors $u_L = r \cdot i$.

💡 À retenir : Si la bobine est idéale, $u_L = 0$ en régime permanent.

Est-ce que l'énergie magnétique peut être négative ?

Non, car $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ . Comme $L > 0$ et $i^2 \geq 0$ , l'énergie est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : L'énergie est une grandeur physique positive.

Non, car $E_m = \frac{1}{2} L i^2$. Comme $L > 0$ et $i^2 \geq 0$, l'énergie est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : L'énergie est une grandeur physique positive.

wach l-mo3adala t-tafadoliya katbeddel ila bdelna R ?

Oui, car $\tau = \frac{L}{R+r}$ . Si $R$ change, la constante de temps change, donc la vitesse d'établissement du courant change.

💡 À retenir : $R$ influence la dynamique du circuit.

Oui, car $\tau = \frac{L}{R+r}$. Si $R$ change, la constante de temps change, donc la vitesse d'établissement du courant change.

💡 À retenir : $R$ influence la dynamique du circuit.

Quelle est l'unité de tau ?

L'unité de $\tau$ est la seconde (s).

💡 À retenir : $\tau$ est homogène à un temps.

L'unité de $\tau$ est la seconde (s).

💡 À retenir : $\tau$ est homogène à un temps.

Comment calculer la résistance interne r ?

En régime permanent, on mesure $I_{max} = \frac{E}{R+r}$ . On en déduit $r = \frac{E}{I_{max}} - R$ .

💡 À retenir : Utilise toujours les données du régime permanent pour trouver $r$ .

En régime permanent, on mesure $I_{max} = \frac{E}{R+r}$. On en déduit $r = \frac{E}{I_{max}} - R$.

💡 À retenir : Utilise toujours les données du régime permanent pour trouver $r$.

Est-ce que L dépend de l'intensité i ?

Non, $L$ est une caractéristique géométrique de la bobine (nombre de spires, longueur, noyau).

💡 À retenir : $L$ est constante pour une bobine donnée.

Non, $L$ est une caractéristique géométrique de la bobine (nombre de spires, longueur, noyau).

💡 À retenir : $L$ est constante pour une bobine donnée.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RL série comprend un générateur de tension $E=6V$ , une bobine de $L=0,2H$ et $r=10\Omega$ , et un conducteur ohmique $R=20\Omega$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ .
Déterminer la valeur de l'intensité en régime permanent.
Calculer la constante de temps $\tau$ .

Exercice 1

Un circuit RL série comprend un générateur de tension $E=6V$, une bobine de $L=0,2H$ et $r=10\Omega$, et un conducteur ohmique $R=20\Omega$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$.
Déterminer la valeur de l'intensité en régime permanent.
Calculer la constante de temps $\tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On visualise la tension $u_R$ aux bornes d'un conducteur ohmique $R=50\Omega$ dans un circuit RL. On trouve $I_{max} = 100$ mA et $\tau = 2$ ms.

Calculer la résistance interne $r$ de la bobine sachant $E=6V$ .
Calculer l'inductance $L$ .

Exercice 2

On visualise la tension $u_R$ aux bornes d'un conducteur ohmique $R=50\Omega$ dans un circuit RL. On trouve $I_{max} = 100$ mA et $\tau = 2$ ms.

Calculer la résistance interne $r$ de la bobine sachant $E=6V$.
Calculer l'inductance $L$.

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Exercice 3

Soit un circuit RL. On donne $L=1H$ et $r=20\Omega$ . On ferme l'interrupteur à $t=0$ . L'énergie magnétique maximale est $E_{m,max} = 0,5$ J.

Calculer $I_{max}$ .
Calculer la tension $E$ du générateur si $R=30\Omega$ .

Exercice 3

Soit un circuit RL. On donne $L=1H$ et $r=20\Omega$. On ferme l'interrupteur à $t=0$. L'énergie magnétique maximale est $E_{m,max} = 0,5$ J.

Calculer $I_{max}$.
Calculer la tension $E$ du générateur si $R=30\Omega$.

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