Séries entières

Oui. Si $\lim_{n \to +\infty} |a_n| = +\infty$ (par exemple $a_n = n!$), alors $R=0$. La série ne converge qu'en $x=0$.

💡 À retenir : Un rayon nul signifie que la série ne définit aucune fonction au voisinage de 0.

Le rayon de convergence $R$ ne permet pas de conclure sur les bornes.

1. Remplace $x$ par $R$ et $-R$ dans la série numérique $\sum a_n x^n$.
2. Étudie la nature de la série numérique obtenue (série de Riemann, série alternée, etc.).
3. Si la série numérique converge, alors la série entière converge en ce point.

💡 À retenir : Le rayon de convergence ne donne que l'intérieur de l'intervalle de convergence.

1. Applique la règle de d'Alembert : calcule $L = \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$.
2. Le rayon est $R = \frac{1}{L}$.
3. Si $L=0$, alors $R=+\infty$. Si $L=+\infty$, alors $R=0$.

💡 À retenir : La règle de d'Alembert est la plus efficace quand il y a des factorielles ou des puissances $n$-ièmes.

Oui, absolument. Si une série entière $\sum a_n x^n$ a un rayon de convergence $R > 0$, alors sa somme $S(x)$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]-R, R[$ et : $S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$. La série dérivée a le même rayon de convergence $R$.

💡 À retenir : La dérivation terme à terme conserve le rayon de convergence.

Une fonction développable en série entière au voisinage de 0 est égale à sa série de Taylor : $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$.

💡 À retenir : Si $f$ est DSE, ses coefficients sont nécessairement ceux de Taylor.

1. Vérifie si elle est $C^\infty$ au voisinage de 0.
2. Vérifie si le reste de Taylor $R_n(x)$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$.
3. Ou bien utilise les opérations sur les séries usuelles (somme, produit, composition).

💡 À retenir : La méthode des opérations est souvent plus rapide que la formule de Taylor.

Non, pas forcément. Par exemple, $\sum x^n$ diverge en $1$ et $-1$. $\sum \frac{x^n}{n^2}$ converge sur $[-1, 1]$. $\sum \frac{x^n}{n}$ converge en $-1$ mais diverge en $1$.

💡 À retenir : Il faut toujours tester les bornes au cas par cas.

Parce que sur le disque ouvert $]-R, R[$, la convergence n'est pas forcément uniforme. Mais sur tout segment $[a, b] \subset ]-R, R[$, on peut majorer le reste, ce qui garantit la convergence uniforme.

💡 À retenir : La convergence uniforme est locale (sur les segments), pas globale sur tout l'intervalle ouvert.

1. Identifie la forme (souvent une dérivée ou une primitive d'une série usuelle).
2. Utilise les propriétés : $S'(x) = \sum n a_n x^{n-1}$ ou $\int_0^x S(t) dt = \sum \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$.
3. Résous l'équation différentielle obtenue si nécessaire.

💡 À retenir : Ramener la série à une série usuelle est la clé.

Oui, le produit de Cauchy de deux séries entières de rayons $R_1$ et $R_2$ est une série entière de rayon $R \geq \min(R_1, R_2)$.

💡 À retenir : Le produit de deux séries est une nouvelle série dont les coefficients sont des sommes de produits.

Oui, sur son intervalle de convergence ouvert $]-R, R[$, la somme est une fonction continue (et même $C^\infty$).

💡 À retenir : La continuité est garantie à l'intérieur du disque de convergence.

Une série entière est un cas particulier de série de fonctions où les fonctions sont des monômes $a_n x^n$. Les séries entières ont des propriétés de régularité beaucoup plus fortes (analytiques).

💡 À retenir : Toute série entière est une série de fonctions, mais la réciproque est fausse.