Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Calcul différentiel

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f: U \to \mathbb{R}^p$ .

Différentiabilité : $f$ est différentiable en $a \in U$ s'il existe une application linéaire $L$ telle que $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)$ . On note $L = df_a$ .
Lien avec les dérivées partielles : Si $f$ est différentiable, alors les dérivées partielles existent et la matrice de $df_a$ dans la base canonique est la matrice Jacobienne $J_f(a) = (\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a))$ .
Condition suffisante : Si $f$ est de classe $C^1$ sur $U$ , alors $f$ est différentiable sur $U$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer la différentielle : Utiliser la matrice Jacobienne ou les propriétés de linéarité.
Vérifier la différentiabilité : Vérifier la continuité des dérivées partielles (théorème $C^1$ ).
Appliquer la règle de la chaîne : $d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x,y) = x^2y$ . $df_{(x,y)}(h_1, h_2) = 2xyh_1 + x^2h_2$ .
Exemple 2 : Gradient d'une fonction scalaire $f$ : $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre dérivées partielles et différentiabilité (l'existence des dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité).
Oublier le reste $o(\|h\|)$ dans la définition.
Ne pas préciser que $U$ est un ouvert.

L'essentiel du cours

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f: U \to \mathbb{R}^p$.

Différentiabilité : $f$ est différentiable en $a \in U$ s'il existe une application linéaire $L$ telle que $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|)$. On note $L = df_a$.
Lien avec les dérivées partielles : Si $f$ est différentiable, alors les dérivées partielles existent et la matrice de $df_a$ dans la base canonique est la matrice Jacobienne $J_f(a) = (\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a))$.
Condition suffisante : Si $f$ est de classe $C^1$ sur $U$, alors $f$ est différentiable sur $U$.

Méthodes à maîtriser

Calculer la différentielle : Utiliser la matrice Jacobienne ou les propriétés de linéarité.
Vérifier la différentiabilité : Vérifier la continuité des dérivées partielles (théorème $C^1$).
Appliquer la règle de la chaîne : $d(g \circ f)a = dg{f(a)} \circ df_a$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x,y) = x^2y$. $df_{(x,y)}(h_1, h_2) = 2xyh_1 + x^2h_2$.
Exemple 2 : Gradient d'une fonction scalaire $f$ : $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n})$.

Erreurs fréquentes

Confondre dérivées partielles et différentiabilité (l'existence des dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité).
Oublier le reste $o(|h|)$ dans la définition.
Ne pas préciser que $U$ est un ouvert.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Calcul différentiel

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Soit $f(x,y) = x^3y$ . La différentielle $df_{(1,1)}$ est :

Soit $f(x,y) = x^3y$. La différentielle $df_{(1,1)}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si toutes les dérivées partielles existent, la fonction est différentiable ?

Non, ce n'est pas suffisant. L'existence des dérivées partielles garantit seulement la continuité selon les axes, mais pas la différentiabilité. Il faut que les dérivées partielles soient continues (classe $C^1$ ) pour garantir la différentiabilité.

💡 À retenir : $C^1 \implies$ Différentiable, mais Dérivées partielles existantes $\not\implies$ Différentiable.

Kifach n7seb la matrice Jacobienne d'une fonction f: mathbb{R}^2 to mathbb{R}^2 ?

Tu écris $f(x,y) = (f_1(x,y), f_2(x,y))$ .
Tu calcules les 4 dérivées partielles : $\frac{\partial f_1}{\partial x}, \frac{\partial f_1}{\partial y}, \frac{\partial f_2}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial y}$ .
Tu les places dans la matrice : $J_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Ligne = fonction, Colonne = variable.

Tu écris $f(x,y) = (f_1(x,y), f_2(x,y))$.
Tu calcules les 4 dérivées partielles : $\frac{\partial f_1}{\partial x}, \frac{\partial f_1}{\partial y}, \frac{\partial f_2}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial y}$.
Tu les places dans la matrice : $J_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Ligne = fonction, Colonne = variable.

Chno hiya la différence bin la différentielle et le gradient ?

La différentielle $df_a$ est une application linéaire (un élément du dual), tandis que le gradient $\nabla f(a)$ est un vecteur de l'espace de départ. Dans un espace euclidien, ils sont liés par $df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$ .

💡 À retenir : Gradient = vecteur, Différentielle = application linéaire.

Comment montrer qu'une fonction est de classe C^1 ?

Il suffit de calculer les dérivées partielles et de montrer qu'elles sont continues sur l'ouvert $U$ .

💡 À retenir : La continuité des dérivées partielles est la condition clé.

Il suffit de calculer les dérivées partielles et de montrer qu'elles sont continues sur l'ouvert $U$.

💡 À retenir : La continuité des dérivées partielles est la condition clé.

Est-ce que la différentielle dépend du point a ?

Oui, la différentielle $df_a$ est une application linéaire qui dépend en général du point $a$ où l'on se place.

💡 À retenir : $df$ est une application de $U$ dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^p)$ .

Oui, la différentielle $df_a$ est une application linéaire qui dépend en général du point $a$ où l'on se place.

💡 À retenir : $df$ est une application de $U$ dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^p)$.

Kifach nst3mlou la règle de la chaîne f calcul ?

Si tu as $h = g \circ f$ , alors $dh_a = dg_{f(a)} \circ df_a$ . En termes de matrices, cela devient le produit des matrices Jacobiennes : $J_h(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)$ .

💡 À retenir : Composition des fonctions = Produit des matrices.

Si tu as $h = g \circ f$, alors $dh_a = dg_{f(a)} \circ df_a$. En termes de matrices, cela devient le produit des matrices Jacobiennes : $J_h(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)$.

💡 À retenir : Composition des fonctions = Produit des matrices.

Qu'est-ce qu'un développement limité à l'ordre 1 ?

C'est l'approximation affine : $f(a+h) = f(a) + df_a(h) + o(\|h\|)$ . C'est exactement la définition de la différentiabilité.

💡 À retenir : Différentiabilité = DL à l'ordre 1.

C'est l'approximation affine : $f(a+h) = f(a) + df_a(h) + o(|h|)$. C'est exactement la définition de la différentiabilité.

💡 À retenir : Différentiabilité = DL à l'ordre 1.

Est-ce que la différentielle est unique ?

Oui, si elle existe, l'application linéaire $df_a$ est unique.

💡 À retenir : L'unicité découle de la définition de la limite.

Oui, si elle existe, l'application linéaire $df_a$ est unique.

💡 À retenir : L'unicité découle de la définition de la limite.

Comment calculer la dérivée directionnelle selon un vecteur u ?

Si $f$ est différentiable, la dérivée directionnelle est simplement $df_a(u)$ . Si $u$ est un vecteur unitaire, c'est $\langle \nabla f(a), u \rangle$ .

💡 À retenir : $D_u f(a) = df_a(u)$ .

Si $f$ est différentiable, la dérivée directionnelle est simplement $df_a(u)$. Si $u$ est un vecteur unitaire, c'est $\langle \nabla f(a), u \rangle$.

💡 À retenir : $D_u f(a) = df_a(u)$.

La différentielle d'une constante est-elle nulle ?

Oui, si $f(x) = c$ , alors $f(a+h) - f(a) = 0$ , donc $df_a = 0$ .

💡 À retenir : $d(c) = 0$ .

Oui, si $f(x) = c$, alors $f(a+h) - f(a) = 0$, donc $df_a = 0$.

💡 À retenir : $d(c) = 0$.

Peut-on utiliser la différentielle pour les fonctions à valeurs vectorielles ?

Oui, tout à fait. La définition reste la même, la différentielle est alors une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}^p$ .

💡 À retenir : La théorie s'applique à $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ .

Oui, tout à fait. La définition reste la même, la différentielle est alors une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}^p$.

💡 À retenir : La théorie s'applique à $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$.

Est-ce que la différentielle commute avec la somme ?

Oui, $d(f+g)_a = df_a + dg_a$ par linéarité de la limite.

💡 À retenir : La différentiation est un opérateur linéaire.

Oui, $d(f+g)_a = df_a + dg_a$ par linéarité de la limite.

💡 À retenir : La différentiation est un opérateur linéaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = x^2 + xy + y^2$ . Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2$ et calculer sa différentielle en tout point $(x,y)$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = x^2 + xy + y^2$. Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2$ et calculer sa différentielle en tout point $(x,y)$.

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Exercice 2

Soit $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ . Étudier la différentiabilité de $f$ en $(0,0)$ .

Exercice 2

Soit $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$. Étudier la différentiabilité de $f$ en $(0,0)$.

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Exercice 3

Soit $g(u,v) = (u^2+v, uv)$ et $f(x,y) = (x+y, xy)$ . Calculer la différentielle de $h = g \circ f$ en $(1,1)$ .

Exercice 3

Soit $g(u,v) = (u^2+v, uv)$ et $f(x,y) = (x+y, xy)$. Calculer la différentielle de $h = g \circ f$ en $(1,1)$.

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