Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Équations différentielles linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle linéaire d'ordre $n$ sur un intervalle $I$ s'écrit : $a_n(x)y^{(n)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$ .

Si $f=0$ , l'équation est dite homogène. L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension $n$ .
Si $f \neq 0$ , la solution générale est $y = y_h + y_p$ , où $y_h$ est la solution de l'équation homogène et $y_p$ une solution particulière.

Méthodes à maîtriser

Équations du 1er ordre ( $y' + ay = f$ ) : Utiliser le facteur intégrant $e^{A(x)}$ où $A' = a$ .
Équations du 2nd ordre à coefficients constants ( $ay'' + by' + cy = f$ ) :
- Résoudre $ar^2 + br + c = 0$ .
- Si $\Delta > 0$ : $y_h = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ .
- Si $\Delta = 0$ : $y_h = (\lambda x + \mu) e^{rx}$ .
- Si $\Delta < 0$ : $y_h = e^{\alpha x}(\lambda \cos(\beta x) + \mu \sin(\beta x))$ .
Variation de la constante : Si $f$ est complexe, chercher $y_p$ sous la forme $y_p(x) = \lambda(x)y_1(x) + \mu(x)y_2(x)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' + y = e^x$ . Solution homogène $y_h = Ce^{-x}$ . On cherche $y_p = ke^x$ . En remplaçant : $ke^x + ke^x = e^x \implies 2k=1 \implies y_p = \frac{1}{2}e^x$ .
Exemple 2 : $y'' + y = 0$ . Équation caractéristique $r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$ . $y_h = \lambda \cos(x) + \mu \sin(x)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution homogène.
Se tromper de signe dans le polynôme caractéristique.
Appliquer la méthode de variation de la constante sans avoir normalisé l'équation (coefficient de $y^{(n)}$ doit être 1).

L'essentiel du cours

Une équation différentielle linéaire d'ordre $n$ sur un intervalle $I$ s'écrit : $a_n(x)y^{(n)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$.

Si $f=0$, l'équation est dite homogène. L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension $n$.
Si $f \neq 0$, la solution générale est $y = y_h + y_p$, où $y_h$ est la solution de l'équation homogène et $y_p$ une solution particulière.

Méthodes à maîtriser

Équations du 1er ordre ($y' + ay = f$) : Utiliser le facteur intégrant $e^{A(x)}$ où $A' = a$.
Équations du 2nd ordre à coefficients constants ($ay'' + by' + cy = f$) :
- Résoudre $ar^2 + br + c = 0$.
- Si $\Delta > 0$ : $y_h = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$.
- Si $\Delta = 0$ : $y_h = (\lambda x + \mu) e^{rx}$.
- Si $\Delta < 0$ : $y_h = e^{\alpha x}(\lambda \cos(\beta x) + \mu \sin(\beta x))$.
Variation de la constante : Si $f$ est complexe, chercher $y_p$ sous la forme $y_p(x) = \lambda(x)y_1(x) + \mu(x)y_2(x)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' + y = e^x$. Solution homogène $y_h = Ce^{-x}$. On cherche $y_p = ke^x$. En remplaçant : $ke^x + ke^x = e^x \implies 2k=1 \implies y_p = \frac{1}{2}e^x$.
Exemple 2 : $y'' + y = 0$. Équation caractéristique $r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$. $y_h = \lambda \cos(x) + \mu \sin(x)$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution homogène.
Se tromper de signe dans le polynôme caractéristique.
Appliquer la méthode de variation de la constante sans avoir normalisé l'équation (coefficient de $y^{(n)}$ doit être 1).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Équations différentielles linéaires

1/4

La solution de $y' - 2y = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la solution d'une équation différentielle est toujours définie sur mathbb{R} ?

Non, pas forcément. La solution est définie sur l'intervalle $I$ où les coefficients $a_i(x)$ et la fonction $f(x)$ sont continus. Par exemple, pour $xy' + y = 1$ , les solutions sont définies sur $]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$ .

💡 À retenir : Vérifiez toujours le domaine de définition des coefficients avant de conclure.

Non, pas forcément. La solution est définie sur l'intervalle $I$ où les coefficients $a_i(x)$ et la fonction $f(x)$ sont continus. Par exemple, pour $xy' + y = 1$, les solutions sont définies sur $]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$.

💡 À retenir : Vérifiez toujours le domaine de définition des coefficients avant de conclure.

Kifach n3ref wach nst3mel l'equation caracteristique ola variation de la constante ?

L'équation caractéristique est réservée uniquement aux équations à coefficients constants pour trouver la solution homogène.
La variation de la constante est une méthode générale pour trouver une solution particulière quand le second membre $f(x)$ n'est pas un polynôme, une exponentielle ou un sinus/cosinus simple.

💡 À retenir : Coefficients constants = équation caractéristique. Second membre complexe = variation de la constante.

L'équation caractéristique est réservée uniquement aux équations à coefficients constants pour trouver la solution homogène.
La variation de la constante est une méthode générale pour trouver une solution particulière quand le second membre $f(x)$ n'est pas un polynôme, une exponentielle ou un sinus/cosinus simple.

💡 À retenir : Coefficients constants = équation caractéristique. Second membre complexe = variation de la constante.

Est-ce que le principe de superposition s'applique aux équations non linéaires ?

Non, absolument pas. Le principe de superposition stipule que si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $L(y)=0$ , alors $\alpha y_1 + \beta y_2$ est aussi solution. Cela n'est vrai que pour les opérateurs linéaires.

💡 À retenir : Linéarité est la condition sine qua non pour la superposition.

Non, absolument pas. Le principe de superposition stipule que si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $L(y)=0$, alors $\alpha y_1 + \beta y_2$ est aussi solution. Cela n'est vrai que pour les opérateurs linéaires.

💡 À retenir : Linéarité est la condition sine qua non pour la superposition.

Chno hiya l'utilité dyal le Wronskien fhad l'examen ?

Le Wronskien sert à vérifier si deux solutions $y_1$ et $y_2$ forment une base de l'espace des solutions. Si $W(y_1, y_2)(x) \neq 0$ , alors les solutions sont linéairement indépendantes.

💡 À retenir : $W \neq 0$ garantit que la solution générale est bien $y = \lambda y_1 + \mu y_2$ .

Le Wronskien sert à vérifier si deux solutions $y_1$ et $y_2$ forment une base de l'espace des solutions. Si $W(y_1, y_2)(x) \neq 0$, alors les solutions sont linéairement indépendantes.

💡 À retenir : $W \neq 0$ garantit que la solution générale est bien $y = \lambda y_1 + \mu y_2$.

Peut-on toujours trouver une solution particulière par identification ?

Non. L'identification ne fonctionne que si le second membre $f(x)$ est "simple" (polynôme, exponentielle, sinus, cosinus). Si $f(x) = \tan(x)$ ou $\ln(x)$ , il faut utiliser la variation de la constante.

💡 À retenir : Identification pour les fonctions usuelles, variation de la constante pour le reste.

Kifach n7seb l'equation dyal y'' + y' + y = x^2 ?

Résoudre $r^2 + r + 1 = 0$ pour $y_h$ .
Chercher $y_p$ sous la forme d'un polynôme de degré 2 : $ax^2 + bx + c$ .
Dériver, remplacer dans l'équation et identifier les coefficients.

💡 À retenir : Pour un polynôme de degré $n$ , cherchez une solution particulière de même degré.

Résoudre $r^2 + r + 1 = 0$ pour $y_h$.
Chercher $y_p$ sous la forme d'un polynôme de degré 2 : $ax^2 + bx + c$.
Dériver, remplacer dans l'équation et identifier les coefficients.

💡 À retenir : Pour un polynôme de degré $n$, cherchez une solution particulière de même degré.

Si Delta = 0, pourquoi on multiplie par x dans la solution homogène ?

Parce que si $r$ est une racine double, $e^{rx}$ et $e^{rx}$ sont linéairement dépendants. Pour obtenir une base, on multiplie par $x$ pour créer une deuxième solution linéairement indépendante : $x e^{rx}$ .

💡 À retenir : Racine double = $(\lambda x + \mu)e^{rx}$ .

💡 À retenir : Racine double = $(\lambda x + \mu)e^{rx}$.

Est-ce que les conditions initiales changent la solution homogène ?

Non, les conditions initiales servent uniquement à déterminer les constantes $\lambda$ et $\mu$ après avoir trouvé la solution générale $y = y_h + y_p$ .

💡 À retenir : $y_h$ est structurelle, les constantes sont numériques.

Non, les conditions initiales servent uniquement à déterminer les constantes $\lambda$ et $\mu$ après avoir trouvé la solution générale $y = y_h + y_p$.

💡 À retenir : $y_h$ est structurelle, les constantes sont numériques.

Pourquoi on normalise l'équation avant la variation de la constante ?

Parce que la formule de la variation de la constante suppose que le coefficient de $y^{(n)}$ est 1. Si vous avez $a(x)y'' + \dots$ , divisez tout par $a(x)$ d'abord.

💡 À retenir : Normalisation obligatoire avant toute méthode de résolution.

Parce que la formule de la variation de la constante suppose que le coefficient de $y^{(n)}$ est 1. Si vous avez $a(x)y'' + \dots$, divisez tout par $a(x)$ d'abord.

💡 À retenir : Normalisation obligatoire avant toute méthode de résolution.

Est-ce qu'une équation différentielle peut ne pas avoir de solution ?

Sur un intervalle où les coefficients sont continus, le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence et l'unicité d'une solution pour toute condition initiale donnée.

💡 À retenir : Pas de solution seulement si les coefficients sont discontinus.

Comment savoir si une solution est globale ?

Une solution est globale si elle est définie sur tout l'intervalle $I$ considéré. Pour les équations linéaires, si les coefficients sont continus sur $I$ , la solution est définie sur tout $I$ .

💡 À retenir : Continuité des coefficients = solution globale.

Une solution est globale si elle est définie sur tout l'intervalle $I$ considéré. Pour les équations linéaires, si les coefficients sont continus sur $I$, la solution est définie sur tout $I$.

💡 À retenir : Continuité des coefficients = solution globale.

Est-ce qu'on peut utiliser la transformée de Laplace ?

Non, ce n'est pas au programme des CPGE (filière MP) selon le référentiel 2025-2026. Restez sur les méthodes classiques.

💡 À retenir : Respectez strictement les méthodes du cours.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$ .

Exercice 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre $y' + y = \tan(x)$ sur $I = ]-\pi/2, \pi/2[$ .

Exercice 2

Résoudre $y' + y = \tan(x)$ sur $I = ]-\pi/2, \pi/2[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $y'' + y = \cos(x)$ . Trouver la solution vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ .

Exercice 3

Soit $y'' + y = \cos(x)$. Trouver la solution vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Espaces préhilbertiens réels Espaces euclidiens Endomorphismes des espaces euclidiens Réduction des endomorphismes Séries numériques Séries de fonctions Suites de fonctions Intégration sur un intervalle quelconque Intégrales à paramètre Séries entières Fonctions de plusieurs variables Calcul différentiel Extrema des fonctions de plusieurs variables Probabilités sur un univers fini Variables aléatoires discrètes Couples et suites de variables aléatoires discrètes Convergences et lois des grands nombres