Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application d'un univers $\Omega$ vers un ensemble fini ou dénombrable $X(\Omega) \subset \mathbb{R}$ .

Loi de probabilité : définie par $P(X=x_i) = p_i$ avec $\sum p_i = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x P(X=x)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum (x_i - E(X))^2 p_i$ .
Lois usuelles :
- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $P(X=1)=p, P(X=0)=1-p$ .
- Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de la loi : Dresser le tableau de probabilité en identifiant bien $X(\Omega)$ .
Linéarité de l'espérance : Toujours utiliser $E(aX+b) = aE(X)+b$ pour simplifier les calculs.
Calcul de $V(X)$ : Utiliser la formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ qui est souvent plus rapide.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ . Calculer $E(X)$ . On écrit $X = \sum_{i=1}^n X_i$ où $X_i$ sont des Bernoulli indépendantes. $E(X) = \sum E(X_i) = \sum p = np$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\sum P(X=x_i) = 1$ .
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ .
Appliquer la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (utiliser alors la loi hypergéométrique).

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application d'un univers $\Omega$ vers un ensemble fini ou dénombrable $X(\Omega) \subset \mathbb{R}$.

Loi de probabilité : définie par $P(X=x_i) = p_i$ avec $\sum p_i = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x P(X=x)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum (x_i - E(X))^2 p_i$.
Lois usuelles :
- Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $P(X=1)=p, P(X=0)=1-p$.
- Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la loi : Dresser le tableau de probabilité en identifiant bien $X(\Omega)$.
Linéarité de l'espérance : Toujours utiliser $E(aX+b) = aE(X)+b$ pour simplifier les calculs.
Calcul de $V(X)$ : Utiliser la formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ qui est souvent plus rapide.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$. Calculer $E(X)$. On écrit $X = \sum_{i=1}^n X_i$ où $X_i$ sont des Bernoulli indépendantes. $E(X) = \sum E(X_i) = \sum p = np$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\sum P(X=x_i) = 1$.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$.
Appliquer la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (utiliser alors la loi hypergéométrique).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Variables aléatoires discrètes

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Soit $X$ une variable aléatoire. Laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que X(Omega) doit toujours être fini ?

Non, dans le programme de MP, $X(\Omega)$ peut être dénombrable (ex: loi de Poisson). Il faut juste que la série $\sum x_i P(X=x_i)$ soit absolument convergente pour que l'espérance existe.

💡 À retenir : Si la série diverge, l'espérance n'existe pas.

Non, dans le programme de MP, $X(\Omega)$ peut être dénombrable (ex: loi de Poisson). Il faut juste que la série $\sum x_i P(X=x_i)$ soit absolument convergente pour que l'espérance existe.

💡 À retenir : Si la série diverge, l'espérance n'existe pas.

Kifach n3ref wach nst3mel loi binomiale wla loi de Poisson ?

Utilise la loi binomiale si tu as un nombre fini d'essais $n$ et une probabilité de succès $p$ constante.
Utilise la loi de Poisson si tu as un processus de comptage sur un intervalle (temps, espace) avec un taux moyen $\lambda$ et que $n$ est très grand.

💡 À retenir : Poisson est souvent une approximation de la binomiale quand $n$ est grand et $p$ petit.

Utilise la loi binomiale si tu as un nombre fini d'essais $n$ et une probabilité de succès $p$ constante.
Utilise la loi de Poisson si tu as un processus de comptage sur un intervalle (temps, espace) avec un taux moyen $\lambda$ et que $n$ est très grand.

💡 À retenir : Poisson est souvent une approximation de la binomiale quand $n$ est grand et $p$ petit.

Est-ce que V(X) peut être négative ?

Non, jamais. La variance est une somme de termes de la forme $(x_i - E(X))^2 \cdot p_i$ , qui sont tous positifs ou nuls.

💡 À retenir : Si tu trouves une variance négative, vérifie immédiatement tes calculs de $E(X^2)$ ou de $E(X)$ .

Non, jamais. La variance est une somme de termes de la forme $(x_i - E(X))^2 \cdot p_i$, qui sont tous positifs ou nuls.

💡 À retenir : Si tu trouves une variance négative, vérifie immédiatement tes calculs de $E(X^2)$ ou de $E(X)$.

Kifach n7seb E(X^2) ila knt 3arf E(X) ?

Tu ne peux pas déduire $E(X^2)$ directement de $E(X)$ sauf si tu connais la variance. Utilise la formule : $E(X^2) = V(X) + (E(X))^2$ .

💡 À retenir : $E(X^2)$ est le moment d'ordre 2, il est toujours supérieur ou égal à $(E(X))^2$ .

Tu ne peux pas déduire $E(X^2)$ directement de $E(X)$ sauf si tu connais la variance. Utilise la formule : $E(X^2) = V(X) + (E(X))^2$.

💡 À retenir : $E(X^2)$ est le moment d'ordre 2, il est toujours supérieur ou égal à $(E(X))^2$.

Wach l'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances ?

Oui, absolument. C'est la propriété de linéarité de l'espérance. Elle est vraie même si les variables aléatoires ne sont pas indépendantes.

💡 À retenir : La linéarité est l'outil le plus puissant pour calculer l'espérance de variables complexes.

Quelle est la différence entre une variable centrée et réduite ?

Une variable centrée $X - E(X)$ a une espérance nulle.
Une variable réduite $\frac{X - E(X)}{\sigma(X)}$ a une espérance nulle et une variance égale à 1.

💡 À retenir : On centre et on réduit pour comparer des variables de natures différentes.

Une variable centrée $X - E(X)$ a une espérance nulle.
Une variable réduite $\frac{X - E(X)}{\sigma(X)}$ a une espérance nulle et une variance égale à 1.

💡 À retenir : On centre et on réduit pour comparer des variables de natures différentes.

Comment calculer P(X geq 1) ?

Il est presque toujours plus simple de passer par l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

💡 À retenir : Dès que tu vois "au moins un", pense à l'événement contraire.

Il est presque toujours plus simple de passer par l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.

💡 À retenir : Dès que tu vois "au moins un", pense à l'événement contraire.

Est-ce que E(aX) = a E(X) ?

Oui, pour tout réel $a$ . C'est une conséquence directe de la linéarité de l'espérance.

💡 À retenir : Les constantes sortent de l'espérance sans condition.

Oui, pour tout réel $a$. C'est une conséquence directe de la linéarité de l'espérance.

💡 À retenir : Les constantes sortent de l'espérance sans condition.

Chno hiya l'espérance dyal loi de Poisson ?

Pour une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ , l'espérance est égale au paramètre $\lambda$ .

💡 À retenir : $E(X) = V(X) = \lambda$ pour la loi de Poisson.

Pour une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$, l'espérance est égale au paramètre $\lambda$.

💡 À retenir : $E(X) = V(X) = \lambda$ pour la loi de Poisson.

Si X et Y sont indépendantes, est-ce que V(X+Y) = V(X) + V(Y) ?

Oui, c'est vrai uniquement si les variables sont indépendantes. Si elles ne le sont pas, il faut ajouter la covariance : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)$ .

💡 À retenir : L'indépendance implique la nullité de la covariance.

Oui, c'est vrai uniquement si les variables sont indépendantes. Si elles ne le sont pas, il faut ajouter la covariance : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)$.

💡 À retenir : L'indépendance implique la nullité de la covariance.

Comment démontrer qu'une variable suit une loi binomiale ?

Il faut montrer trois choses :

Il y a $n$ répétitions identiques.
Chaque répétition n'a que deux issues (succès/échec).
Les répétitions sont indépendantes.

💡 À retenir : Vérifie bien l'indépendance, c'est la condition la plus souvent oubliée.

Il faut montrer trois choses :

Il y a $n$ répétitions identiques.
Chaque répétition n'a que deux issues (succès/échec).
Les répétitions sont indépendantes.

💡 À retenir : Vérifie bien l'indépendance, c'est la condition la plus souvent oubliée.

Est-ce que la loi de probabilité est unique pour une variable ?

Oui, la loi de probabilité définit entièrement la variable aléatoire. Si deux variables ont la même loi, elles ont les mêmes espérance et variance.

💡 À retenir : Deux variables peuvent avoir la même loi sans être égales.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 blanches et 2 noires. On tire 3 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 blanches et 2 noires. On tire 3 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

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Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ .

Montrer que $E(X) = \lambda$ .
Calculer $V(X)$ .

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$.

Montrer que $E(X) = \lambda$.
Calculer $V(X)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ . Déterminer la loi de $S = X+Y$ .

Exercice 3

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$. Déterminer la loi de $S = X+Y$.

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