Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Endomorphismes des espaces euclidiens

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ .

Adjoint : Pour tout endomorphisme $f$ , il existe un unique $f^*$ tel que $\forall (u,v) \in E^2, \langle f(u), v \rangle = \langle u, f^*(v) \rangle$ .
Endomorphismes symétriques : $f$ est symétrique si $f^* = f$ . Ils sont toujours diagonalisables dans une base orthonormée.
Endomorphismes orthogonaux : $f$ est orthogonal si $\forall u \in E, \|f(u)\| = \|u\|$ . Ils vérifient $f^* \circ f = Id_E$ . Leurs valeurs propres sont dans $\{1, -1\}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de l'adjoint : Utiliser la définition par le produit scalaire ou transposer la matrice dans une base orthonormée.
Reconnaître un endomorphisme symétrique : Vérifier si la matrice est symétrique dans une base orthonormée.
Diagonalisation orthogonale : Trouver les sous-espaces propres, les orthonormaliser (Gram-Schmidt) puis les réunir.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f$ définie par $f(x,y) = (x+y, x+y)$ . Sa matrice dans la base canonique est $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Elle est symétrique, donc $f$ est symétrique. Exemple 2 : Une rotation plane d'angle $\theta$ a pour matrice $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ . Elle est orthogonale car $R_\theta^T R_\theta = I_2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre matrice symétrique et endomorphisme symétrique (la base doit être orthonormée !).
Oublier que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont orthogonaux deux à deux.
Penser qu'un endomorphisme orthogonal est forcément symétrique.

L'essentiel du cours

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$.

Adjoint : Pour tout endomorphisme $f$, il existe un unique $f^$ tel que $\forall (u,v) \in E^2, \langle f(u), v \rangle = \langle u, f^(v) \rangle$.
Endomorphismes symétriques : $f$ est symétrique si $f^* = f$. Ils sont toujours diagonalisables dans une base orthonormée.
Endomorphismes orthogonaux : $f$ est orthogonal si $\forall u \in E, |f(u)| = |u|$. Ils vérifient $f^* \circ f = Id_E$. Leurs valeurs propres sont dans ${1, -1}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de l'adjoint : Utiliser la définition par le produit scalaire ou transposer la matrice dans une base orthonormée.
Reconnaître un endomorphisme symétrique : Vérifier si la matrice est symétrique dans une base orthonormée.
Diagonalisation orthogonale : Trouver les sous-espaces propres, les orthonormaliser (Gram-Schmidt) puis les réunir.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f$ définie par $f(x,y) = (x+y, x+y)$. Sa matrice dans la base canonique est $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Elle est symétrique, donc $f$ est symétrique. Exemple 2 : Une rotation plane d'angle $\theta$ a pour matrice $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$. Elle est orthogonale car $R_\theta^T R_\theta = I_2$.

Erreurs fréquentes

Confondre matrice symétrique et endomorphisme symétrique (la base doit être orthonormée !).
Oublier que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont orthogonaux deux à deux.
Penser qu'un endomorphisme orthogonal est forcément symétrique.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Endomorphismes des espaces euclidiens

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Soit $f$ un endomorphisme symétrique. Ses valeurs propres sont :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'un endomorphisme est symétrique ?

Vérifie si l'espace est muni d'un produit scalaire.
Détermine la matrice $A$ de $f$ dans une base orthonormée.
Si $A = A^T$ (matrice symétrique), alors $f$ est symétrique.

💡 À retenir : La symétrie dépend de la base choisie, elle doit être orthonormée.

Vérifie si l'espace est muni d'un produit scalaire.
Détermine la matrice $A$ de $f$ dans une base orthonormée.
Si $A = A^T$ (matrice symétrique), alors $f$ est symétrique.

💡 À retenir : La symétrie dépend de la base choisie, elle doit être orthonormée.

Kifach n7seb l'adjoint dyal wahed l'endomorphisme ?

Si tu as la matrice $M$ dans une base orthonormée, alors la matrice de $f^*$ est simplement $M^T$ .
Si tu n'as pas de base, utilise la définition : cherche $f^*$ tel que $\langle f(u), v \rangle = \langle u, f^*(v) \rangle$ .

💡 À retenir : Dans une base orthonormée, l'adjoint correspond à la transposée.

Si tu as la matrice $M$ dans une base orthonormée, alors la matrice de $f^*$ est simplement $M^T$.
Si tu n'as pas de base, utilise la définition : cherche $f^$ tel que $\langle f(u), v \rangle = \langle u, f^(v) \rangle$.

💡 À retenir : Dans une base orthonormée, l'adjoint correspond à la transposée.

Est-ce que tout endomorphisme orthogonal est diagonalisable ?

Non, pas forcément dans $\mathbb{R}$ . Par exemple, une rotation plane d'angle $\theta \notin \{0, \pi\}$ n'a pas de valeurs propres réelles, donc elle n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Un endomorphisme orthogonal est diagonalisable si et seulement si il est symétrique (donc involutif).

Non, pas forcément dans $\mathbb{R}$. Par exemple, une rotation plane d'angle $\theta \notin {0, \pi}$ n'a pas de valeurs propres réelles, donc elle n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Un endomorphisme orthogonal est diagonalisable si et seulement si il est symétrique (donc involutif).

Chno hiya la relation bin les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique ?

Si $f$ est symétrique, alors les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

💡 À retenir : $E_\lambda \perp E_\mu$ si $\lambda \neq \mu$ .

Si $f$ est symétrique, alors les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

💡 À retenir : $E_\lambda \perp E_\mu$ si $\lambda \neq \mu$.

Kifach n7seb la matrice d'un projecteur orthogonal ?

Détermine une base orthonormée $(e_1, ..., e_k)$ du sous-espace $F$ sur lequel on projette.
La matrice est $P = A(A^T A)^{-1} A^T$ où $A$ est la matrice dont les colonnes sont les $e_i$ .
Si la base est déjà orthonormée, $P = AA^T$ .

💡 À retenir : $P^2 = P$ et $P^T = P$ .

Détermine une base orthonormée $(e_1, ..., e_k)$ du sous-espace $F$ sur lequel on projette.
La matrice est $P = A(A^T A)^{-1} A^T$ où $A$ est la matrice dont les colonnes sont les $e_i$.
Si la base est déjà orthonormée, $P = AA^T$.

💡 À retenir : $P^2 = P$ et $P^T = P$.

Un endomorphisme est-il toujours soit symétrique, soit orthogonal ?

Non, ce sont deux propriétés différentes. Un endomorphisme peut être les deux à la fois (ex: une symétrie orthogonale) ou aucun des deux.

💡 À retenir : $f$ est symétrique et orthogonal $\iff f^2 = Id$ .

Non, ce sont deux propriétés différentes. Un endomorphisme peut être les deux à la fois (ex: une symétrie orthogonale) ou aucun des deux.

💡 À retenir : $f$ est symétrique et orthogonal $\iff f^2 = Id$.

Est-ce que le déterminant d'un endomorphisme orthogonal est toujours 1 ?

Non, il vaut $1$ ou $-1$ . S'il vaut $1$ , c'est une rotation (en dim 2 ou 3). S'il vaut $-1$ , c'est une réflexion ou une composée de réflexions.

💡 À retenir : $\det(f) \in \{1, -1\}$ .

Non, il vaut $1$ ou $-1$. S'il vaut $1$, c'est une rotation (en dim 2 ou 3). S'il vaut $-1$, c'est une réflexion ou une composée de réflexions.

💡 À retenir : $\det(f) \in {1, -1}$.

Comment orthonormaliser une base ?

Utilise le procédé de Gram-Schmidt :

$u_1 = v_1 / \|v_1\|$ .
$u_2 = (v_2 - \langle v_2, u_1 \rangle u_1) / \|...\|$ .
Continue ainsi pour chaque vecteur.

💡 À retenir : L'orthogonalisation ne change pas le sous-espace engendré.

Utilise le procédé de Gram-Schmidt :

$u_1 = v_1 / |v_1|$.
$u_2 = (v_2 - \langle v_2, u_1 \rangle u_1) / |...|$.
Continue ainsi pour chaque vecteur.

💡 À retenir : L'orthogonalisation ne change pas le sous-espace engendré.

Est-ce que les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique sont toujours positives ?

Non, elles sont toujours réelles, mais elles peuvent être négatives ou nulles.

💡 À retenir : Le signe des valeurs propres dépend de la définition positive de l'endomorphisme.

Chno hiya la difference bin isométrie et endomorphisme orthogonal ?

En dimension finie, c'est la même chose ! Une isométrie vectorielle est par définition un endomorphisme orthogonal.

💡 À retenir : Isométrie = conserve la norme.

Peut-on diagonaliser une matrice non symétrique ?

Oui, mais pas forcément dans une base orthonormée. Le théorème spectral ne s'applique qu'aux endomorphismes symétriques.

💡 À retenir : Symétrique $\implies$ diagonalisable dans une base orthonormée.

Oui, mais pas forcément dans une base orthonormée. Le théorème spectral ne s'applique qu'aux endomorphismes symétriques.

💡 À retenir : Symétrique $\implies$ diagonalisable dans une base orthonormée.

Comment savoir si un endomorphisme est un projecteur orthogonal ?

Il doit vérifier deux conditions :

$p^2 = p$ (c'est un projecteur).
$p^* = p$ (c'est un projecteur orthogonal).

💡 À retenir : $p$ est un projecteur orthogonal $\iff p^2 = p$ et $\ker(p) \perp \text{Im}(p)$ .

Il doit vérifier deux conditions :

$p^2 = p$ (c'est un projecteur).
$p^* = p$ (c'est un projecteur orthogonal).

💡 À retenir : $p$ est un projecteur orthogonal $\iff p^2 = p$ et $\ker(p) \perp \text{Im}(p)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire usuel. Soit $f$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est $A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Montrer que $f$ est un endomorphisme orthogonal.
Déterminer la nature géométrique de $f$ .

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire usuel. Soit $f$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est $A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \ -2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Montrer que $f$ est un endomorphisme orthogonal.
Déterminer la nature géométrique de $f$.

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Exercice 2

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ . Montrer que $\forall x \in E, \langle f(x), x \rangle = 0 \implies f = 0$ .

Exercice 2

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$. Montrer que $\forall x \in E, \langle f(x), x \rangle = 0 \implies f = 0$.

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Exercice 3

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Exercice 3

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

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