Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Espaces euclidiens

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ .

Produit scalaire : Forme bilinéaire symétrique définie positive.
Norme : $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .
Théorème de Pythagore : $x \perp y \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$ .
Base orthonormée (BON) : Famille $(e_1, \dots, e_n)$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ .

Méthodes à maîtriser

Orthonormalisation de Gram-Schmidt : Transformer une base $(v_1, \dots, v_n)$ en une BON $(e_1, \dots, e_n)$ .
Calcul de projection orthogonale : Sur un sous-espace $F$ , si $(e_1, \dots, e_k)$ est une BON de $F$ , alors $p_F(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, e_i \rangle e_i$ .
Recherche de l'orthogonal : Résoudre le système linéaire $\langle x, v_i \rangle = 0$ pour une base $(v_i)$ de $F$ .

Exemples corrigés

Calcul de norme : Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, $\|(1, 2, 0)\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ .
Orthogonalité : Les vecteurs $u=(1, 1, 0)$ et $v=(1, -1, 0)$ sont orthogonaux car $1(1) + 1(-1) + 0(0) = 0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le produit scalaire doit être défini positif (si $\langle x, x \rangle = 0$ alors $x=0$ ).
Confondre une famille orthogonale (produit scalaire nul) et une famille orthonormée (norme 1 en plus).
Appliquer Gram-Schmidt sans vérifier que la famille de départ est libre.

L'essentiel du cours

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Produit scalaire : Forme bilinéaire symétrique définie positive.
Norme : $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.
Théorème de Pythagore : $x \perp y \iff |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2$.
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|$.
Base orthonormée (BON) : Famille $(e_1, \dots, e_n)$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.

Méthodes à maîtriser

Orthonormalisation de Gram-Schmidt : Transformer une base $(v_1, \dots, v_n)$ en une BON $(e_1, \dots, e_n)$.
Calcul de projection orthogonale : Sur un sous-espace $F$, si $(e_1, \dots, e_k)$ est une BON de $F$, alors $p_F(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, e_i \rangle e_i$.
Recherche de l'orthogonal : Résoudre le système linéaire $\langle x, v_i \rangle = 0$ pour une base $(v_i)$ de $F$.

Exemples corrigés

Calcul de norme : Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, $|(1, 2, 0)| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}$.
Orthogonalité : Les vecteurs $u=(1, 1, 0)$ et $v=(1, -1, 0)$ sont orthogonaux car $1(1) + 1(-1) + 0(0) = 0$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le produit scalaire doit être défini positif (si $\langle x, x \rangle = 0$ alors $x=0$).
Confondre une famille orthogonale (produit scalaire nul) et une famille orthonormée (norme 1 en plus).
Appliquer Gram-Schmidt sans vérifier que la famille de départ est libre.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Espaces euclidiens

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Soit $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien. Quelle est la condition pour que $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ ?

Soit $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien. Quelle est la condition pour que $|x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un espace préhilbertien et un espace euclidien ?

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, sans condition sur la dimension.
Un espace euclidien est un espace préhilbertien de dimension finie.

💡 À retenir : Tout espace euclidien est préhilbertien, mais la réciproque est fausse (ex: l'espace des fonctions continues).

Kifach n7seb l'orthogonal dyal wahed l'sous-espace F?

Khoud base $(v_1, \dots, v_p)$ dyal $F$ .
L'orthogonal $F^\perp$ houwa l'ensemble dyal les vecteurs $x$ li kay7a99ou $\forall i \in \{1, \dots, p\}, \langle x, v_i \rangle = 0$ .
Hada systeme linéaire, 7louh bach tel9a les vecteurs dyal $F^\perp$ .

💡 À retenir : $F^\perp$ houwa l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de la base de $F$ .

Khoud base $(v_1, \dots, v_p)$ dyal $F$.
L'orthogonal $F^\perp$ houwa l'ensemble dyal les vecteurs $x$ li kay7a99ou $\forall i \in {1, \dots, p}, \langle x, v_i \rangle = 0$.
Hada systeme linéaire, 7louh bach tel9a les vecteurs dyal $F^\perp$.

💡 À retenir : $F^\perp$ houwa l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de la base de $F$.

Est-ce que toute famille orthogonale est libre ?

Oui, à condition qu'elle ne contienne pas le vecteur nul. Si $\sum \lambda_i e_i = 0$ , alors en faisant le produit scalaire avec $e_j$ , on obtient $\lambda_j \|e_j\|^2 = 0$ , donc $\lambda_j = 0$ .

💡 À retenir : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est toujours libre.

Oui, à condition qu'elle ne contienne pas le vecteur nul. Si $\sum \lambda_i e_i = 0$, alors en faisant le produit scalaire avec $e_j$, on obtient $\lambda_j |e_j|^2 = 0$, donc $\lambda_j = 0$.

💡 À retenir : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est toujours libre.

Chno hiya l'utilité dyal Gram-Schmidt ?

Gram-Schmidt katsm7 lina n7wlou ay base 3adiya f espace euclidien l'base orthonormée (BON). Hada chi mouhim bzaf bach n7sbou les projections orthogonales b souhoula.

💡 À retenir : Gram-Schmidt est l'outil fondamental pour construire des bases adaptées aux calculs euclidiens.

Comment montrer qu'une matrice est orthogonale ?

Une matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si et seulement si $A^T A = I_n$ . Cela équivaut à dire que ses colonnes forment une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ .

💡 À retenir : $A$ est orthogonale $\iff$ ses colonnes sont deux à deux orthogonales et de norme 1.

Une matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si et seulement si $A^T A = I_n$. Cela équivaut à dire que ses colonnes forment une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.

💡 À retenir : $A$ est orthogonale $\iff$ ses colonnes sont deux à deux orthogonales et de norme 1.

Kifach n3ref wach wahed l'application hiya isométrie ?

Vérifie ila katchadd l'produit scalaire : $\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ .
Ou bien vérifie ila katchadd l'norme : $\|f(x)\| = \|x\|$ .

💡 À retenir : Une isométrie conserve les distances et les angles.

Vérifie ila katchadd l'produit scalaire : $\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle$.
Ou bien vérifie ila katchadd l'norme : $|f(x)| = |x|$.

💡 À retenir : Une isométrie conserve les distances et les angles.

Le théorème de Pythagore est-il vrai dans tous les espaces ?

Non, il est vrai uniquement dans les espaces préhilbertiens (munis d'un produit scalaire). Il repose sur la définition du produit scalaire.

💡 À retenir : $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\langle x, y \rangle$ . Si $\langle x, y \rangle = 0$ , alors Pythagore.

Non, il est vrai uniquement dans les espaces préhilbertiens (munis d'un produit scalaire). Il repose sur la définition du produit scalaire.

💡 À retenir : $|x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2\langle x, y \rangle$. Si $\langle x, y \rangle = 0$, alors Pythagore.

Peut-on toujours décomposer un espace en E = F oplus F^perp ?

Oui, si $E$ est un espace euclidien (dimension finie) et $F$ un sous-espace vectoriel. C'est le théorème de projection orthogonale.

💡 À retenir : En dimension finie, tout sous-espace possède un supplémentaire orthogonal.

Oui, si $E$ est un espace euclidien (dimension finie) et $F$ un sous-espace vectoriel. C'est le théorème de projection orthogonale.

💡 À retenir : En dimension finie, tout sous-espace possède un supplémentaire orthogonal.

Wach l'projection orthogonale hiya l'application li katchadd l'plus courte distance ?

Oui, pour tout $x \in E$ , la distance $d(x, F) = \inf_{y \in F} \|x - y\|$ est atteinte en $y = p_F(x)$ .

💡 À retenir : La projection orthogonale est le point de $F$ le plus proche de $x$ .

Oui, pour tout $x \in E$, la distance $d(x, F) = \inf_{y \in F} |x - y|$ est atteinte en $y = p_F(x)$.

💡 À retenir : La projection orthogonale est le point de $F$ le plus proche de $x$.

Quelle est la relation entre l'adjoint et la matrice transposée ?

Dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint $u^*$ est la transposée de la matrice de $u$ ( $M(u^*) = M(u)^T$ ).

💡 À retenir : $u$ est symétrique si et seulement si sa matrice dans une BON est symétrique.

Dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint $u^$ est la transposée de la matrice de $u$ ($M(u^) = M(u)^T$).

💡 À retenir : $u$ est symétrique si et seulement si sa matrice dans une BON est symétrique.

Chno hiya l'inégalité de Cauchy-Schwarz f l'pratique ?

Hiya relation kat3tina l'encadrement dyal l'produit scalaire. Kat3awna f l'analyse bach n7ddou les bornes dyal les intégrales ou les sommes.

💡 À retenir : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$ .

Hiya relation kat3tina l'encadrement dyal l'produit scalaire. Kat3awna f l'analyse bach n7ddou les bornes dyal les intégrales ou les sommes.

💡 À retenir : $|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|$.

Est-ce que l'orthogonal de l'orthogonal est l'espace lui-même ?

Oui, en dimension finie, $(F^\perp)^\perp = F$ . C'est une propriété fondamentale des espaces euclidiens.

💡 À retenir : L'orthogonalisation est une involution sur l'ensemble des sous-espaces.

Oui, en dimension finie, $(F^\perp)^\perp = F$. C'est une propriété fondamentale des espaces euclidiens.

💡 À retenir : L'orthogonalisation est une involution sur l'ensemble des sous-espaces.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique. Soit $F = \text{vect}(u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1, 1, 0)$ et $u_2 = (1, 0, 1)$ .

Appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormée $(e_1, e_2)$ de $F$ .
Déterminer une base de $F^\perp$ .

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique. Soit $F = \text{vect}(u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1, 1, 0)$ et $u_2 = (1, 0, 1)$.

Appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormée $(e_1, e_2)$ de $F$.
Déterminer une base de $F^\perp$.

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Exercice 2

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme symétrique. Montrer que si $\langle u(x), x \rangle = 0$ pour tout $x \in E$ , alors $u = 0$ .

Exercice 2

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme symétrique. Montrer que si $\langle u(x), x \rangle = 0$ pour tout $x \in E$, alors $u = 0$.

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Exercice 3

Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur. Montrer que $p$ est une projection orthogonale si et seulement si $p$ est symétrique.

Exercice 3

Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur. Montrer que $p$ est une projection orthogonale si et seulement si $p$ est symétrique.

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