Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Intégration sur un intervalle quelconque

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $I = [a, b[$ avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ . Une fonction $f : I \to \mathbb{K}$ est dite localement intégrable sur $I$ si elle est continue par morceaux sur tout segment $[a, x] \subset I$ . L'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si la limite $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)dt$ existe et est finie.

Convergence absolue : $\int_a^b f(t)dt$ converge absolument si $\int_a^b |f(t)|dt$ converge. Toute intégrale absolument convergente est convergente.
Critère de Riemann : Pour $f(t) \sim \frac{1}{t^\alpha}$ au voisinage de $+\infty$ , l'intégrale converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser les équivalents : Pour étudier la nature d'une intégrale, chercher un équivalent simple (Riemann) au voisinage du point problématique.
Théorème de comparaison : Si $0 \leq f \leq g$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.
Intégration par parties (IPP) : Utile pour transformer une intégrale divergente en une forme convergente.
Changement de variable : Vérifier les bornes et la bijectivité de la fonction de changement.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ converge car $2 > 1$ (Riemann).
Exemple 2 : $\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}$ converge car en $0$ , $\frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{1/2}}$ avec $1/2 < 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la convergence absolue implique la convergence (la réciproque est fausse).
Appliquer Riemann sans vérifier que la fonction est positive ou de signe constant au voisinage du point critique.
Négliger les bornes lors d'un changement de variable.

L'essentiel du cours

Soit $I = [a, b[$ avec $b \in \mathbb{R} \cup {+\infty}$. Une fonction $f : I \to \mathbb{K}$ est dite localement intégrable sur $I$ si elle est continue par morceaux sur tout segment $[a, x] \subset I$. L'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si la limite $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)dt$ existe et est finie.

Convergence absolue : $\int_a^b f(t)dt$ converge absolument si $\int_a^b |f(t)|dt$ converge. Toute intégrale absolument convergente est convergente.
Critère de Riemann : Pour $f(t) \sim \frac{1}{t^\alpha}$ au voisinage de $+\infty$, l'intégrale converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser les équivalents : Pour étudier la nature d'une intégrale, chercher un équivalent simple (Riemann) au voisinage du point problématique.
Théorème de comparaison : Si $0 \leq f \leq g$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.
Intégration par parties (IPP) : Utile pour transformer une intégrale divergente en une forme convergente.
Changement de variable : Vérifier les bornes et la bijectivité de la fonction de changement.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ converge car $2 > 1$ (Riemann).
Exemple 2 : $\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}$ converge car en $0$, $\frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{1/2}}$ avec $1/2 < 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la convergence absolue implique la convergence (la réciproque est fausse).
Appliquer Riemann sans vérifier que la fonction est positive ou de signe constant au voisinage du point critique.
Négliger les bornes lors d'un changement de variable.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Intégration sur un intervalle quelconque

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La nature de $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2+t}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toute fonction continue sur [a, +infty[ est intégrable ?

Non. La continuité est une condition nécessaire pour définir l'intégrale sur tout segment, mais pas suffisante pour la convergence à l'infini. Par exemple, $f(t) = 1$ est continue sur $[0, +\infty[$ , mais $\int_0^x 1 dt = x$ tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$ .

💡 À retenir : La convergence dépend du comportement de la fonction quand $t$ tend vers la borne problématique.

Non. La continuité est une condition nécessaire pour définir l'intégrale sur tout segment, mais pas suffisante pour la convergence à l'infini. Par exemple, $f(t) = 1$ est continue sur $[0, +\infty[$, mais $\int_0^x 1 dt = x$ tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$.

💡 À retenir : La convergence dépend du comportement de la fonction quand $t$ tend vers la borne problématique.

Kifach n3ref wach l'intégrale converge wla la?

Chouf wach la fonction positive.
Ila kant positive, 9elleb 3la équivalent f l'infini (awla f l'endroit li fih l'problème).
St3mel l'critère de Riemann : ila kan l'équivalent $1/t^\alpha$ , ila kant $\alpha > 1$ ra converge, ila kant $\alpha \leq 1$ ra diverge.

💡 À retenir : L'équivalent est ton meilleur outil pour simplifier l'intégrale.

Chouf wach la fonction positive.
Ila kant positive, 9elleb 3la équivalent f l'infini (awla f l'endroit li fih l'problème).
St3mel l'critère de Riemann : ila kan l'équivalent $1/t^\alpha$, ila kant $\alpha > 1$ ra converge, ila kant $\alpha \leq 1$ ra diverge.

💡 À retenir : L'équivalent est ton meilleur outil pour simplifier l'intégrale.

Est-ce qu'on peut utiliser le théorème des accroissements finis ici ?

Oui, il est très utile pour majorer une fonction et prouver la convergence par comparaison. Si tu as une fonction $f$ dont tu connais la dérivée, tu peux encadrer $f(t)$ pour montrer qu'elle est dominée par une fonction intégrable.

💡 À retenir : Le TAF aide à trouver des majorations pour appliquer le théorème de comparaison.

Chno hiya la différence bin convergence simple w convergence absolue ?

La convergence absolue signifie que $\int |f|$ converge. La convergence simple signifie que $\int f$ converge, mais $\int |f|$ peut diverger. C'est le cas par exemple de $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ qui converge (simple) mais pas absolument.

💡 À retenir : Absolue $\implies$ Simple, mais la réciproque est fausse.

Kifach n7seb l'intégrale ila kant impropre ?

Remplace la borne problématique (ex: $+\infty$ ) par une variable $x$ .
Calcul l'intégrale sur $[a, x]$ .
Calcule la limite quand $x$ tend vers la borne.

💡 À retenir : L'intégrale généralisée est toujours une limite d'intégrale sur un segment.

Remplace la borne problématique (ex: $+\infty$) par une variable $x$.
Calcul l'intégrale sur $[a, x]$.
Calcule la limite quand $x$ tend vers la borne.

💡 À retenir : L'intégrale généralisée est toujours une limite d'intégrale sur un segment.

Est-ce que le critère de Riemann marche pour toutes les fonctions ?

Non, il ne marche que pour les fonctions positives ou de signe constant au voisinage de la borne. Si la fonction change de signe, il faut étudier la convergence absolue d'abord.

💡 À retenir : Riemann s'applique sur $|f(t)|$ pour tester la convergence absolue.

Non, il ne marche que pour les fonctions positives ou de signe constant au voisinage de la borne. Si la fonction change de signe, il faut étudier la convergence absolue d'abord.

💡 À retenir : Riemann s'applique sur $|f(t)|$ pour tester la convergence absolue.

Est-ce que la somme de deux intégrales divergentes est toujours divergente ?

Non. Par exemple, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t} dt$ diverge et $\int_1^{+\infty} -\frac{1}{t} dt$ diverge, mais leur somme est nulle (donc convergente).

💡 À retenir : Attention aux compensations entre fonctions divergentes.

Non. Par exemple, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t} dt$ diverge et $\int_1^{+\infty} -\frac{1}{t} dt$ diverge, mais leur somme est nulle (donc convergente).

💡 À retenir : Attention aux compensations entre fonctions divergentes.

Peut-on utiliser le théorème de convergence dominée pour n'importe quelle suite ?

Non, il faut que les fonctions soient dominées par une fonction intégrable $g$ telle que $\int_I g < +\infty$ . C'est une condition forte mais très puissante.

💡 À retenir : La domination est la clé pour intervertir limite et intégrale.

Non, il faut que les fonctions soient dominées par une fonction intégrable $g$ telle que $\int_I g < +\infty$. C'est une condition forte mais très puissante.

💡 À retenir : La domination est la clé pour intervertir limite et intégrale.

Est-ce que f(t) to 0 est suffisant pour que inta^{+infty} f(t) dt converge ?

Non. Exemple : $f(t) = 1/t$ . Elle tend vers $0$ mais son intégrale diverge. Il faut que $f(t)$ tende vers $0$ "assez vite" (typiquement en $1/t^\alpha$ avec $\alpha > 1$ ).

💡 À retenir : La vitesse de décroissance est plus importante que la limite nulle.

Non. Exemple : $f(t) = 1/t$. Elle tend vers $0$ mais son intégrale diverge. Il faut que $f(t)$ tende vers $0$ "assez vite" (typiquement en $1/t^\alpha$ avec $\alpha > 1$).

💡 À retenir : La vitesse de décroissance est plus importante que la limite nulle.

Est-ce que le changement de variable est toujours possible ?

Oui, à condition que la fonction de changement de variable soit de classe $C^1$ et bijective sur l'intervalle considéré. Il faut aussi bien transformer les bornes.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de changer les bornes $a$ et $b$ en $\phi(a)$ et $\phi(b)$ .

Oui, à condition que la fonction de changement de variable soit de classe $C^1$ et bijective sur l'intervalle considéré. Il faut aussi bien transformer les bornes.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de changer les bornes $a$ et $b$ en $\phi(a)$ et $\phi(b)$.

Est-ce que l'intégrale de Bertrand est au programme ?

Oui, c'est un cas particulier de Riemann avec un facteur logarithmique : $\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (\ln t)^\beta}$ . Elle converge si $\alpha > 1$ ou ( $\alpha = 1$ et $\beta > 1$ ).

💡 À retenir : C'est un outil très efficace pour les cas limites de Riemann.

Oui, c'est un cas particulier de Riemann avec un facteur logarithmique : $\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (\ln t)^\beta}$. Elle converge si $\alpha > 1$ ou ($\alpha = 1$ et $\beta > 1$).

💡 À retenir : C'est un outil très efficace pour les cas limites de Riemann.

Est-ce que je peux utiliser les séries pour étudier une intégrale ?

Oui, via le théorème de convergence monotone ou en utilisant la relation entre série et intégrale (comparaison série-intégrale). C'est très utile pour les fonctions décroissantes.

💡 À retenir : La série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int f(t) dt$ ont souvent la même nature.

Oui, via le théorème de convergence monotone ou en utilisant la relation entre série et intégrale (comparaison série-intégrale). C'est très utile pour les fonctions décroissantes.

💡 À retenir : La série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int f(t) dt$ ont souvent la même nature.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale $I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2+1} dt$ .

Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale $I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2+1} dt$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier la convergence de $J = \int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t} dt$ .

Exercice 2

Étudier la convergence de $J = \int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t} dt$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \frac{\sin t}{t} dt$ pour $x > 0$ . Montrer que $f$ est bien définie.

Exercice 3

Soit $f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \frac{\sin t}{t} dt$ pour $x > 0$. Montrer que $f$ est bien définie.

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