Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Réduction des endomorphismes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ . Un scalaire $\lambda$ est valeur propre de $u \in \mathcal{L}(E)$ s'il existe $x \neq 0$ tel que $u(x) = \lambda x$ .
Le polynôme caractéristique est $P_u(X) = \det(X I_n - A)$ où $A$ est la matrice de $u$ .
$u$ est diagonalisable si et seulement si $P_u$ est scindé et pour toute valeur propre $\lambda_i$ , la multiplicité algébrique est égale à la dimension du sous-espace propre $E_{\lambda_i}$ .
Théorème : $u$ est diagonalisable ssi il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Méthodes à maîtriser

Calculer le polynôme caractéristique : utiliser les opérations sur les lignes/colonnes pour faire apparaître des zéros.
Déterminer les sous-espaces propres : résoudre le système $(A - \lambda I)X = 0$ .
Vérifier la diagonalisabilité : comparer $\dim(E_\lambda)$ et la multiplicité de $\lambda$ dans $P_u(X)$ .

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . $P_A(X) = (X-1)(X-2)$ . Les valeurs propres sont 1 et 2. Comme elles sont distinctes, $A$ est diagonalisable.
Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $P_A(X) = (X-1)^2$ . $\dim(E_1) = 1 \neq 2$ , donc $A$ n'est pas diagonalisable.

Erreurs fréquentes

Oublier que $x$ doit être non nul dans la définition d'un vecteur propre.
Confondre multiplicité algébrique et dimension du sous-espace propre (multiplicité géométrique).
Croire qu'une matrice est diagonalisable dès que le polynôme est scindé (il faut vérifier les dimensions des sous-espaces propres).

L'essentiel du cours

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un scalaire $\lambda$ est valeur propre de $u \in \mathcal{L}(E)$ s'il existe $x \neq 0$ tel que $u(x) = \lambda x$.
Le polynôme caractéristique est $P_u(X) = \det(X I_n - A)$ où $A$ est la matrice de $u$.
$u$ est diagonalisable si et seulement si $P_u$ est scindé et pour toute valeur propre $\lambda_i$, la multiplicité algébrique est égale à la dimension du sous-espace propre $E_{\lambda_i}$.
Théorème : $u$ est diagonalisable ssi il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Méthodes à maîtriser

Calculer le polynôme caractéristique : utiliser les opérations sur les lignes/colonnes pour faire apparaître des zéros.
Déterminer les sous-espaces propres : résoudre le système $(A - \lambda I)X = 0$.
Vérifier la diagonalisabilité : comparer $\dim(E_\lambda)$ et la multiplicité de $\lambda$ dans $P_u(X)$.

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $P_A(X) = (X-1)(X-2)$. Les valeurs propres sont 1 et 2. Comme elles sont distinctes, $A$ est diagonalisable.
Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $P_A(X) = (X-1)^2$. $\dim(E_1) = 1 \neq 2$, donc $A$ n'est pas diagonalisable.

Erreurs fréquentes

Oublier que $x$ doit être non nul dans la définition d'un vecteur propre.
Confondre multiplicité algébrique et dimension du sous-espace propre (multiplicité géométrique).
Croire qu'une matrice est diagonalisable dès que le polynôme est scindé (il faut vérifier les dimensions des sous-espaces propres).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Réduction des endomorphismes

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Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $P_A(X) = (X-2)^2(X-5)$ . Laquelle de ces propositions est vraie ?

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $P_A(X) = (X-2)^2(X-5)$. Laquelle de ces propositions est vraie ?

❓ Questions fréquentes

Si lambda=0 est valeur propre, est-ce que la matrice est inversible ?

Non, si 0 est valeur propre, alors $\det(A) = \prod \lambda_i = 0$ , donc la matrice n'est pas inversible.

💡 À retenir : $0 \in \text{Spec}(A) \iff A$ non inversible.

Non, si 0 est valeur propre, alors $\det(A) = \prod \lambda_i = 0$, donc la matrice n'est pas inversible.

💡 À retenir : $0 \in \text{Spec}(A) \iff A$ non inversible.

Est-ce qu'une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable ?

Oui, c'est le théorème spectral. Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

💡 À retenir : C'est un résultat très puissant en espaces euclidiens.

C'est quoi la trace d'une matrice par rapport aux valeurs propres ?

La trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

💡 À retenir : $\text{Tr}(A) = \sum \lambda_i$ .

La trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

💡 À retenir : $\text{Tr}(A) = \sum \lambda_i$.

C'est quoi la différence entre multiplicité algébrique et géométrique ?

La multiplicité algébrique est l'exposant de $(X-\lambda)$ dans le polynôme caractéristique.
La multiplicité géométrique est la dimension du sous-espace propre $E_\lambda = \ker(u - \lambda Id)$ .
On a toujours $1 \leq \dim(E_\lambda) \leq \text{mult}(\lambda)$ .

💡 À retenir : La diagonalisabilité exige l'égalité entre ces deux nombres pour chaque valeur propre.

La multiplicité algébrique est l'exposant de $(X-\lambda)$ dans le polynôme caractéristique.
La multiplicité géométrique est la dimension du sous-espace propre $E_\lambda = \ker(u - \lambda Id)$.
On a toujours $1 \leq \dim(E_\lambda) \leq \text{mult}(\lambda)$.

💡 À retenir : La diagonalisabilité exige l'égalité entre ces deux nombres pour chaque valeur propre.

Kifach n3ref wach matrice diagonalisable bla ma n7seb les vecteurs propres ?

Calcule le polynôme caractéristique.
S'il possède $n$ racines distinctes, elle est diagonalisable.
S'il n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ selon l'énoncé), elle ne l'est pas.
S'il est scindé mais avec des racines multiples, vérifie si le rang de $(A - \lambda I)$ permet d'avoir assez de vecteurs propres.

💡 À retenir : Racines distinctes = diagonalisable immédiatement.

Calcule le polynôme caractéristique.
S'il possède $n$ racines distinctes, elle est diagonalisable.
S'il n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ selon l'énoncé), elle ne l'est pas.
S'il est scindé mais avec des racines multiples, vérifie si le rang de $(A - \lambda I)$ permet d'avoir assez de vecteurs propres.

💡 À retenir : Racines distinctes = diagonalisable immédiatement.

Est-ce qu'une matrice inversible est forcément diagonalisable ?

Non. Par exemple, la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible ( $\det(A)=1 \neq 0$ ) mais elle n'est pas diagonalisable car elle n'a qu'un seul vecteur propre (elle est de Jordan).

💡 À retenir : L'inversibilité concerne le déterminant, la diagonalisabilité concerne la structure des sous-espaces propres.

Non. Par exemple, la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible ($\det(A)=1 \neq 0$) mais elle n'est pas diagonalisable car elle n'a qu'un seul vecteur propre (elle est de Jordan).

💡 À retenir : L'inversibilité concerne le déterminant, la diagonalisabilité concerne la structure des sous-espaces propres.

Chno hiya l'utilité dyal polynôme annulateur ?

Il permet de trouver les valeurs propres possibles (les racines du polynôme).
Il offre une condition suffisante pour la diagonalisabilité (s'il est scindé à racines simples).
Il aide à calculer les puissances de matrices $A^n$ par division euclidienne.

💡 À retenir : Si $P(A) = 0$ , alors toute valeur propre de $A$ est racine de $P$ .

Il permet de trouver les valeurs propres possibles (les racines du polynôme).
Il offre une condition suffisante pour la diagonalisabilité (s'il est scindé à racines simples).
Il aide à calculer les puissances de matrices $A^n$ par division euclidienne.

💡 À retenir : Si $P(A) = 0$, alors toute valeur propre de $A$ est racine de $P$.

Est-ce que la somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable ?

Pas forcément. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable si et seulement si elles commutent ( $AB=BA$ ). Sinon, ce n'est pas garanti.

💡 À retenir : La commutativité est la clé pour la diagonalisation simultanée.

Pas forcément. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable si et seulement si elles commutent ($AB=BA$). Sinon, ce n'est pas garanti.

💡 À retenir : La commutativité est la clé pour la diagonalisation simultanée.

Kifach n7seb A^n ila kant A diagonalisable ?

Écris $A = P D P^{-1}$ où $D$ est diagonale.
Alors $A^n = P D^n P^{-1}$ .
$D^n$ est simplement la matrice avec les puissances $n$ des éléments diagonaux.

💡 À retenir : C'est l'application principale de la réduction.

Écris $A = P D P^{-1}$ où $D$ est diagonale.
Alors $A^n = P D^n P^{-1}$.
$D^n$ est simplement la matrice avec les puissances $n$ des éléments diagonaux.

💡 À retenir : C'est l'application principale de la réduction.

Est-ce que le polynôme caractéristique dépend de la base choisie ?

Non, le polynôme caractéristique est un invariant de l'endomorphisme. Il est le même pour toutes les matrices semblables.

💡 À retenir : $\det(X I - P A P^{-1}) = \det(X I - A)$ .

Non, le polynôme caractéristique est un invariant de l'endomorphisme. Il est le même pour toutes les matrices semblables.

💡 À retenir : $\det(X I - P A P^{-1}) = \det(X I - A)$.

Est-ce qu'une matrice triangulaire est toujours diagonalisable ?

Non. Elle est diagonalisable si et seulement si ses éléments diagonaux sont distincts ou si les blocs de Jordan sont de taille 1.

💡 À retenir : La forme triangulaire ne garantit pas la diagonalisabilité.

Comment montrer qu'un endomorphisme est trigonalisable ?

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base (ici $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

💡 À retenir : Scindé = Trigonalisable.

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base (ici $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

💡 À retenir : Scindé = Trigonalisable.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Calculer le polynôme caractéristique de $A$ .
Déterminer les valeurs propres de $A$ .
$A$ est-elle diagonalisable ? Justifier.

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
Déterminer les valeurs propres de $A$.
$A$ est-elle diagonalisable ? Justifier.

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Exercice 2

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^3 = u$ . Montrer que $u$ est diagonalisable.

Exercice 2

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^3 = u$. Montrer que $u$ est diagonalisable.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Trouver les valeurs propres.
Déterminer les sous-espaces propres associés.
Montrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Trouver les valeurs propres.
Déterminer les sous-espaces propres associés.
Montrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale.

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