Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Séries de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ si la suite des sommes partielles $S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x)$ converge pour tout $x \in I$ . Elle converge uniformément sur $I$ si $S_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$ . La convergence normale est définie par la convergence de la série numérique $\sum \|f_n\|_\infty$ , où $\|f_n\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|$ . Rappel : Convergence normale $\implies$ Convergence uniforme $\implies$ Convergence simple.

Méthodes à maîtriser

Étude de la convergence simple : Fixer $x$ et étudier la série numérique $\sum f_n(x)$ .
Étude de la convergence normale : Calculer $\|f_n\|_\infty$ en étudiant les variations de $f_n$ , puis tester la série $\sum \|f_n\|_\infty$ .
Inversion limite/intégrale : Si $\sum f_n$ converge uniformément sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b \sum f_n(x) dx = \sum \int_a^b f_n(x) dx$ .

Exemples corrigés

Série $\sum \frac{x^n}{n^2}$ sur $[0, 1]$ : $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{n^2}$ . Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann $\alpha=2 > 1$ ), la série converge normalement donc uniformément.
Série $\sum \frac{x}{n^2+x^2}$ sur $\mathbb{R}$ : Étude de $f_n(x) = \frac{x}{n^2+x^2}$ . $f_n'(x) = \frac{n^2-x^2}{(n^2+x^2)^2}$ . Max en $x=n$ , $\|f_n\|_\infty = \frac{n}{2n^2} = \frac{1}{2n}$ . La série $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, donc pas de convergence normale sur $\mathbb{R}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre convergence simple et uniforme.
Oublier de vérifier la continuité de la limite quand on utilise la convergence uniforme.
Croire que la convergence uniforme implique la convergence normale (c'est faux).

L'essentiel du cours

Une série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ si la suite des sommes partielles $S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x)$ converge pour tout $x \in I$. Elle converge uniformément sur $I$ si $S_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. La convergence normale est définie par la convergence de la série numérique $\sum |f_n|\infty$, où $|f_n|\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|$. Rappel : Convergence normale $\implies$ Convergence uniforme $\implies$ Convergence simple.

Méthodes à maîtriser

Étude de la convergence simple : Fixer $x$ et étudier la série numérique $\sum f_n(x)$.
Étude de la convergence normale : Calculer $|f_n|\infty$ en étudiant les variations de $f_n$, puis tester la série $\sum |f_n|\infty$.
Inversion limite/intégrale : Si $\sum f_n$ converge uniformément sur $[a, b]$, alors $\int_a^b \sum f_n(x) dx = \sum \int_a^b f_n(x) dx$.

Exemples corrigés

Série $\sum \frac{x^n}{n^2}$ sur $[0, 1]$ : $|f_n|_\infty = \frac{1}{n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann $\alpha=2 > 1$), la série converge normalement donc uniformément.
Série $\sum \frac{x}{n^2+x^2}$ sur $\mathbb{R}$ : Étude de $f_n(x) = \frac{x}{n^2+x^2}$. $f_n'(x) = \frac{n^2-x^2}{(n^2+x^2)^2}$. Max en $x=n$, $|f_n|_\infty = \frac{n}{2n^2} = \frac{1}{2n}$. La série $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, donc pas de convergence normale sur $\mathbb{R}$.

Erreurs fréquentes

Confondre convergence simple et uniforme.
Oublier de vérifier la continuité de la limite quand on utilise la convergence uniforme.
Croire que la convergence uniforme implique la convergence normale (c'est faux).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Séries de fonctions

1/4

La convergence normale sur $I$ implique :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la limite d'une suite de fonctions continues est toujours continue ?

Non, pas forcément. Si la convergence est seulement simple, la limite peut être discontinue. Par contre, si la convergence est uniforme sur $I$ , alors la limite est continue sur $I$ .

💡 À retenir : La convergence uniforme "préserve" la continuité.

Non, pas forcément. Si la convergence est seulement simple, la limite peut être discontinue. Par contre, si la convergence est uniforme sur $I$, alors la limite est continue sur $I$.

💡 À retenir : La convergence uniforme "préserve" la continuité.

Kifach n3ref wach la série convergente normalemnt wla la ?

7seb la valeur absolue $|f_n(x)|$ .
9elleb 3la le maximum dyal $f_n$ f l'intervalle $I$ (b l'étude dyal les variations).
Hada howa $\|f_n\|_\infty$ .
Chouf wach la série numérique $\sum \|f_n\|_\infty$ convergente (b Riemann, d'Alembert, etc.).

💡 À retenir : La convergence normale est la condition la plus forte, elle nécessite que la série des maximums soit convergente.

7seb la valeur absolue $|f_n(x)|$.
9elleb 3la le maximum dyal $f_n$ f l'intervalle $I$ (b l'étude dyal les variations).
Hada howa $|f_n|_\infty$.
Chouf wach la série numérique $\sum |f_n|_\infty$ convergente (b Riemann, d'Alembert, etc.).

💡 À retenir : La convergence normale est la condition la plus forte, elle nécessite que la série des maximums soit convergente.

Est-ce que la convergence uniforme permet toujours d'intervertir la somme et la dérivée ?

Non, ce n'est pas suffisant. Pour intervertir la somme et la dérivée, il faut :

Que la série $\sum f_n$ converge en au moins un point.
Que la série des dérivées $\sum f_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$ .

💡 À retenir : La convergence uniforme de $\sum f_n$ seule ne garantit pas la dérivabilité de la somme.

Non, ce n'est pas suffisant. Pour intervertir la somme et la dérivée, il faut :

Que la série $\sum f_n$ converge en au moins un point.
Que la série des dérivées $\sum f_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$.

💡 À retenir : La convergence uniforme de $\sum f_n$ seule ne garantit pas la dérivabilité de la somme.

Wach ila kant la série convergente uniformément, katkon aussi convergente normalement ?

La, machi dima. La convergence normale est plus forte que la convergence uniforme. Exemple : La série alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n+x}$ peut converger uniformément sans converger normalement.

💡 À retenir : Normal $\implies$ Uniforme, mais l'inverse est faux.

La, machi dima. La convergence normale est plus forte que la convergence uniforme. Exemple : La série alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n+x}$ peut converger uniformément sans converger normalement.

💡 À retenir : Normal $\implies$ Uniforme, mais l'inverse est faux.

Quelle est la différence entre convergence simple et convergence locale ?

La convergence simple est point par point : pour chaque $x$ , la série converge.
La convergence locale signifie que sur tout segment $[a, b] \subset I$ , la série converge uniformément.

💡 À retenir : La convergence locale est souvent utile pour les propriétés de continuité ou d'intégrabilité sur des intervalles ouverts.

La convergence simple est point par point : pour chaque $x$, la série converge.
La convergence locale signifie que sur tout segment $[a, b] \subset I$, la série converge uniformément.

💡 À retenir : La convergence locale est souvent utile pour les propriétés de continuité ou d'intégrabilité sur des intervalles ouverts.

Comment majorer |fn(x)| quand on ne peut pas calculer le maximum ?

Utilise des inégalités classiques :

Majoration par une suite indépendante de $x$ (ex: $|\sin(x)| \leq 1$ ).
Utilise le théorème des accroissements finis si $f_n$ est dérivable.
Si $x$ est dans un intervalle borné, remplace $x$ par les bornes si la fonction est monotone.

💡 À retenir : Il suffit de trouver une suite $a_n$ telle que $|f_n(x)| \leq a_n$ avec $\sum a_n$ convergente.

Utilise des inégalités classiques :

Majoration par une suite indépendante de $x$ (ex: $|\sin(x)| \leq 1$).
Utilise le théorème des accroissements finis si $f_n$ est dérivable.
Si $x$ est dans un intervalle borné, remplace $x$ par les bornes si la fonction est monotone.

💡 À retenir : Il suffit de trouver une suite $a_n$ telle que $|f_n(x)| \leq a_n$ avec $\sum a_n$ convergente.

Kifach n7seb la somme dyal la série de fonctions ?

Si c'est une série géométrique, utilise la formule $\frac{u_0}{1-r}$ .
Si c'est une série entière, utilise les développements en série entière usuels ( $e^x, \ln(1+x)$ , etc.).
Sinon, essaie de décomposer en éléments simples ou d'utiliser une télescopage.

💡 À retenir : La plupart du temps, on cherche à se ramener à une série de référence.

Si c'est une série géométrique, utilise la formule $\frac{u_0}{1-r}$.
Si c'est une série entière, utilise les développements en série entière usuels ($e^x, \ln(1+x)$, etc.).
Sinon, essaie de décomposer en éléments simples ou d'utiliser une télescopage.

💡 À retenir : La plupart du temps, on cherche à se ramener à une série de référence.

Wach n9der nkhdem b critère de Cauchy f les séries de fonctions ?

Oui, c'est possible. La série $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$ si et seulement si : $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > m > N, \forall x \in I, |\sum_{k=m+1}^n f_k(x)| < \epsilon$ .

💡 À retenir : C'est un outil puissant quand on ne peut pas calculer la limite directement.

Pourquoi on étudie la convergence normale avant la convergence uniforme ?

Parce que la convergence normale est souvent plus facile à vérifier (calcul d'un sup). Si elle est vérifiée, on a gratuitement la convergence uniforme.

💡 À retenir : La convergence normale est une "condition suffisante" pratique pour la convergence uniforme.

Est-ce que la convergence uniforme sur chaque segment implique la convergence uniforme sur l'intervalle ?

Non. Par exemple, sur $]0, 1[$ , la suite $f_n(x) = x^n$ converge uniformément sur tout $[0, a]$ avec $a < 1$ , mais pas sur $]0, 1[$ .

💡 À retenir : La convergence uniforme globale est plus exigeante que la convergence uniforme locale.

Non. Par exemple, sur $]0, 1[$, la suite $f_n(x) = x^n$ converge uniformément sur tout $[0, a]$ avec $a < 1$, mais pas sur $]0, 1[$.

💡 À retenir : La convergence uniforme globale est plus exigeante que la convergence uniforme locale.

Chno hiya l'importance dyal le reste Rn(x) ?

Le reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k(x)$ permet de mesurer l'erreur quand on approche la somme par une somme partielle. La convergence uniforme équivaut à $\sup_{x \in I} |R_n(x)| \to 0$ quand $n \to +\infty$ .

💡 À retenir : Pour prouver la convergence uniforme, on montre que le reste tend vers 0 uniformément.

Est-ce que la série des dérivées doit converger uniformément sur tout l'intervalle ?

Oui, pour garantir que la somme est dérivable et que la dérivée est la somme des dérivées, il faut la convergence uniforme de la série des dérivées sur tout segment de l'intervalle.

💡 À retenir : C'est une condition forte mais nécessaire pour l'interversion.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la convergence normale, uniforme et simple de la série de fonctions $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n$ où $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^3}$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Étudier la convergence normale, uniforme et simple de la série de fonctions $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n$ où $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^3}$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f_n(x) = x^n(1-x)$ sur $[0, 1]$ . Étudier la convergence uniforme de la série $\sum f_n$ .

Exercice 2

Soit $f_n(x) = x^n(1-x)$ sur $[0, 1]$. Étudier la convergence uniforme de la série $\sum f_n$.

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Exercice 3

Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+x^2}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+x^2}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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