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Polynômes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un polynôme $P$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) s'écrit : $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ .

Degré : $\deg(P) = \sup\{k \in \mathbb{N} / a_k \neq 0\}$ .
Division euclidienne : Pour tout $P, A \in \mathbb{K}[x]$ avec $A \neq 0$ , il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(A)$ .
Racines : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-\alpha)$ divise $P(x)$ .
Multiplicité : $\alpha$ est racine d'ordre $m$ si $(x-\alpha)^m$ divise $P(x)$ et $(x-\alpha)^{m+1}$ ne divise pas $P(x)$ .

Méthodes à maîtriser

Division euclidienne : Utiliser la méthode de la potence pour trouver le quotient et le reste.
Factorisation : Utiliser les racines connues pour diviser par $(x-\alpha)$ successivement.
Relation coefficients-racines : Pour $P(x) = ax^2+bx+c$ , $x_1+x_2 = -b/a$ et $x_1x_2 = c/a$ .
Dérivation : Si $\alpha$ est racine d'ordre $m$ , alors $\alpha$ est racine de $P, P', \dots, P^{(m-1)}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ . On remarque $P(1) = 1-6+11-6 = 0$ . Par division, $P(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$ .
Exemple 2 : Trouver le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1)(x-2)$ . Le reste est $ax+b$ . On résout le système $P(1) = a+b$ et $P(2) = 2a+b$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$ .
Confondre racine simple et racine multiple dans la dérivée.
Ne pas vérifier si le polynôme diviseur est de degré supérieur au reste.

L'essentiel du cours

Un polynôme $P$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) s'écrit : $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$.

Degré : $\deg(P) = \sup{k \in \mathbb{N} / a_k \neq 0}$.
Division euclidienne : Pour tout $P, A \in \mathbb{K}[x]$ avec $A \neq 0$, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(A)$.
Racines : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-\alpha)$ divise $P(x)$.
Multiplicité : $\alpha$ est racine d'ordre $m$ si $(x-\alpha)^m$ divise $P(x)$ et $(x-\alpha)^{m+1}$ ne divise pas $P(x)$.

Méthodes à maîtriser

Division euclidienne : Utiliser la méthode de la potence pour trouver le quotient et le reste.
Factorisation : Utiliser les racines connues pour diviser par $(x-\alpha)$ successivement.
Relation coefficients-racines : Pour $P(x) = ax^2+bx+c$, $x_1+x_2 = -b/a$ et $x_1x_2 = c/a$.
Dérivation : Si $\alpha$ est racine d'ordre $m$, alors $\alpha$ est racine de $P, P', \dots, P^{(m-1)}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. On remarque $P(1) = 1-6+11-6 = 0$. Par division, $P(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$.
Exemple 2 : Trouver le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1)(x-2)$. Le reste est $ax+b$. On résout le système $P(1) = a+b$ et $P(2) = 2a+b$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.
Confondre racine simple et racine multiple dans la dérivée.
Ne pas vérifier si le polynôme diviseur est de degré supérieur au reste.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Polynômes

1/4

Quel est le degré du produit $P(x)Q(x)$ si $\deg(P)=3$ et $\deg(Q)=2$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le nombre de racines d'un polynôme peut dépasser son degré ?

Non, un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{K}$ .

💡 À retenir : Si un polynôme de degré $n$ a $n+1$ racines, alors c'est le polynôme nul.

Non, un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{K}$.

💡 À retenir : Si un polynôme de degré $n$ a $n+1$ racines, alors c'est le polynôme nul.

Wach momkin nst3mel l'algorithme d'Euclide f les polynômes ?

Oui, exactement comme pour les entiers.
On effectue des divisions successives jusqu'à obtenir un reste nul.

💡 À retenir : Le dernier reste non nul est le PGCD.

C'est quoi la différence entre un polynôme et une fonction polynôme ?

Un polynôme est un objet formel défini par la suite de ses coefficients $(a_0, a_1, \dots, a_n)$ .
Une fonction polynôme est l'application $x \mapsto \sum a_k x^k$ .
Dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , les deux se confondent, mais en algèbre abstraite, on distingue la forme algébrique de sa valeur numérique.

💡 À retenir : Pour le programme de FST, on manipule les deux comme étant identiques.

Un polynôme est un objet formel défini par la suite de ses coefficients $(a_0, a_1, \dots, a_n)$.
Une fonction polynôme est l'application $x \mapsto \sum a_k x^k$.
Dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, les deux se confondent, mais en algèbre abstraite, on distingue la forme algébrique de sa valeur numérique.

💡 À retenir : Pour le programme de FST, on manipule les deux comme étant identiques.

Kifach n3ref wach wahed l'adad howa racine d'ordre 2 ?

Tu calcules $P(\alpha)$ , tu dois trouver 0.
Tu calcules $P'(\alpha)$ , tu dois trouver 0.
Tu calcules $P''(\alpha)$ , tu dois trouver un nombre différent de 0.

💡 À retenir : Si $P(\alpha)=0$ et $P'(\alpha)=0$ , alors $\alpha$ est au moins racine double.

Tu calcules $P(\alpha)$, tu dois trouver 0.
Tu calcules $P'(\alpha)$, tu dois trouver 0.
Tu calcules $P''(\alpha)$, tu dois trouver un nombre différent de 0.

💡 À retenir : Si $P(\alpha)=0$ et $P'(\alpha)=0$, alors $\alpha$ est au moins racine double.

Est-ce que tout polynôme de degré 3 a au moins une racine réelle ?

Oui, car une fonction polynôme de degré impair est continue et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$ sont de signes opposés.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule au moins une fois.

💡 À retenir : Un polynôme de degré impair possède toujours au moins une racine réelle.

Oui, car une fonction polynôme de degré impair est continue et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$ sont de signes opposés.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule au moins une fois.

💡 À retenir : Un polynôme de degré impair possède toujours au moins une racine réelle.

Chno hiya tariqat Horner bach nqesmo polynôme ?

C'est une méthode rapide pour diviser $P(x)$ par $(x-a)$ .
On dresse un tableau avec les coefficients de $P$ et on descend les valeurs en multipliant par $a$ et en additionnant.

💡 À retenir : C'est très utile pour éviter les erreurs de calcul de la division classique.

C'est une méthode rapide pour diviser $P(x)$ par $(x-a)$.
On dresse un tableau avec les coefficients de $P$ et on descend les valeurs en multipliant par $a$ et en additionnant.

💡 À retenir : C'est très utile pour éviter les erreurs de calcul de la division classique.

Est-ce que le reste d'une division euclidienne peut être de même degré que le diviseur ?

Non, par définition, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.

💡 À retenir : $\deg(R) < \deg(A)$ .

Non, par définition, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.

💡 À retenir : $\deg(R) < \deg(A)$.

Kifach n9der nfactoriser polynôme ila ma3reft 7ta racine ?

Cherche des racines évidentes (0, 1, -1, 2, -2).
Si les coefficients sont entiers, cherche les diviseurs du terme constant.
Sinon, utilise les relations entre coefficients et racines.

💡 À retenir : Teste toujours 1 et -1 en premier.

Pourquoi on dit que mathbb{C} est algébriquement clos ?

Parce que tout polynôme de degré $n \geq 1$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ possède au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .
Cela signifie qu'on peut toujours factoriser un polynôme en produits de facteurs du premier degré dans $\mathbb{C}$ .

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$ , tout polynôme est scindé.

Parce que tout polynôme de degré $n \geq 1$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ possède au moins une racine dans $\mathbb{C}$.
Cela signifie qu'on peut toujours factoriser un polynôme en produits de facteurs du premier degré dans $\mathbb{C}$.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$, tout polynôme est scindé.

Est-ce que le PGCD de deux polynômes est unique ?

Il est unique à une constante multiplicative près (un scalaire non nul).
Par convention, on choisit souvent le polynôme unitaire (coefficient dominant égal à 1).

💡 À retenir : Le PGCD est défini à une constante près.

Comment savoir si deux polynômes sont premiers entre eux ?

Ils sont premiers entre eux si leur PGCD est une constante non nulle (ou 1).
On peut utiliser l'algorithme d'Euclide.

💡 À retenir : $PGCD(P, Q) = 1 \iff \exists U, V : UP + VQ = 1$ .

Ils sont premiers entre eux si leur PGCD est une constante non nulle (ou 1).
On peut utiliser l'algorithme d'Euclide.

💡 À retenir : $PGCD(P, Q) = 1 \iff \exists U, V : UP + VQ = 1$.

Est-ce que la dérivée d'un polynôme de degré n est toujours de degré n-1 ?

Oui, sauf si le polynôme est constant (degré 0), sa dérivée est le polynôme nul.

💡 À retenir : $\deg(P') = \deg(P) - 1$ pour $\deg(P) \geq 1$ .

Oui, sauf si le polynôme est constant (degré 0), sa dérivée est le polynôme nul.

💡 À retenir : $\deg(P') = \deg(P) - 1$ pour $\deg(P) \geq 1$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $P(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$ .

Montrer que 1 est racine de $P$ .
Déterminer les réels $a, b, c$ tels que $P(x) = (x-1)^2(ax^2+bx+c)$ .
En déduire les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ .

Exercice 1

Soit $P(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$.

Montrer que 1 est racine de $P$.
Déterminer les réels $a, b, c$ tels que $P(x) = (x-1)^2(ax^2+bx+c)$.
En déduire les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$.

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Exercice 2

Soit $P(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Factoriser $P(x)$ sachant que 1 est racine double.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$ .

Exercice 2

Soit $P(x) = x^3 - 3x + 2$.

Factoriser $P(x)$ sachant que 1 est racine double.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer le PGCD de $A(x) = x^3-1$ et $B(x) = x^2-1$ .

Exercice 3

Déterminer le PGCD de $A(x) = x^3-1$ et $B(x) = x^2-1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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