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Systèmes d'équations linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un système de $n$ équations linéaires à $p$ inconnues s'écrit sous la forme $AX = B$ , où $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , $X \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ .

Théorème de Rouché-Fontené : Un système est compatible si et seulement si le rang de la matrice $A$ est égal au rang de la matrice augmentée $(A|B)$ .
Système de Cramer : Si $n=p$ et $\det(A) \neq 0$ , le système admet une solution unique donnée par $X = A^{-1}B$ .

Méthodes à maîtriser

Méthode du pivot de Gauss : Transformer le système en un système triangulaire équivalent.
Calcul du rang : Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes pour échelonner la matrice.
Discussion de systèmes : Utiliser les paramètres (ex: $m$ ) pour déterminer si le système est compatible ou non selon les valeurs de $m$ .

Exemples corrigés

Résoudre par Gauss : $\begin{cases} x+y+z=6 \\ x+2y+3z=14 \\ x+4y+9z=36 \end{cases}$

$L_2 \leftarrow L_2-L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3-L_1$ donne : $\begin{cases} x+y+z=6 \\ y+2z=8 \\ 3y+8z=30 \end{cases}$
$L_3 \leftarrow L_3-3L_2$ donne : $2z=6 \implies z=3$ .
On remplace : $y+6=8 \implies y=2$ , puis $x+2+3=6 \implies x=1$ . Solution : $(1, 2, 3)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la compatibilité avant de conclure sur l'existence de solutions.
Erreurs de signe lors des opérations élémentaires sur les lignes.
Croire qu'un système avec autant d'équations que d'inconnues a toujours une solution unique (oublier le cas $\det(A)=0$ ).

L'essentiel du cours

Un système de $n$ équations linéaires à $p$ inconnues s'écrit sous la forme $AX = B$, où $A \in \mathcal{M}{n,p}(\mathbb{R})$, $X \in \mathcal{M}{p,1}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$.

Théorème de Rouché-Fontené : Un système est compatible si et seulement si le rang de la matrice $A$ est égal au rang de la matrice augmentée $(A|B)$.
Système de Cramer : Si $n=p$ et $\det(A) \neq 0$, le système admet une solution unique donnée par $X = A^{-1}B$.

Méthodes à maîtriser

Méthode du pivot de Gauss : Transformer le système en un système triangulaire équivalent.
Calcul du rang : Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes pour échelonner la matrice.
Discussion de systèmes : Utiliser les paramètres (ex: $m$) pour déterminer si le système est compatible ou non selon les valeurs de $m$.

Exemples corrigés

Résoudre par Gauss : $\begin{cases} x+y+z=6 \ x+2y+3z=14 \ x+4y+9z=36 \end{cases}$

$L_2 \leftarrow L_2-L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3-L_1$ donne : $\begin{cases} x+y+z=6 \ y+2z=8 \ 3y+8z=30 \end{cases}$
$L_3 \leftarrow L_3-3L_2$ donne : $2z=6 \implies z=3$.
On remplace : $y+6=8 \implies y=2$, puis $x+2+3=6 \implies x=1$. Solution : $(1, 2, 3)$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la compatibilité avant de conclure sur l'existence de solutions.
Erreurs de signe lors des opérations élémentaires sur les lignes.
Croire qu'un système avec autant d'équations que d'inconnues a toujours une solution unique (oublier le cas $\det(A)=0$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Systèmes d'équations linéaires

1/4

Le système $\begin{cases} x+y=1 \\ 2x+2y=2 \end{cases}$ admet :

Le système $\begin{cases} x+y=1 \ 2x+2y=2 \end{cases}$ admet :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un système est de Cramer ?

Vérifie d'abord que le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues ( $n=p$ ).
Calcule le déterminant de la matrice des coefficients $A$ .
Si $\det(A) \neq 0$ , alors le système est de Cramer et possède une solution unique.

💡 À retenir : Cramer = Carré + Déterminant non nul.

Vérifie d'abord que le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues ($n=p$).
Calcule le déterminant de la matrice des coefficients $A$.
Si $\det(A) \neq 0$, alors le système est de Cramer et possède une solution unique.

💡 À retenir : Cramer = Carré + Déterminant non nul.

Kifach n7seb l'rang dial matrice b'Gauss ?

St3mel l'operations 3la l'lignes (tabdil, darb, aw jam3) bach tredd l'matrice triangulaire.
L'rang howa 3adad l'lignes li ma mchawch sifr (li fihom 3la l'a9al wa7ed l'element non nul).

💡 À retenir : Rang = nombre de pivots non nuls après échelonnement.

Est-ce que le rang de la matrice augmentée peut être inférieur au rang de la matrice A ?

Non, c'est impossible. Puisque $A$ est incluse dans $(A|B)$ , le rang de la matrice augmentée est toujours supérieur ou égal au rang de $A$ .

💡 À retenir : $rg(A) \leq rg(A|B)$ .

Non, c'est impossible. Puisque $A$ est incluse dans $(A|B)$, le rang de la matrice augmentée est toujours supérieur ou égal au rang de $A$.

💡 À retenir : $rg(A) \leq rg(A|B)$.

Chno hiya l'condition bach ykoun l'nizam 3endo 7al wa7ed ?

Khass l'nizam ykoun carré (3adad l'majahil = 3adad l'mo3adalat).
Khass l'determinant ykoun mkhaleff 3la sifr.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ Solution unique.

Khass l'nizam ykoun carré (3adad l'majahil = 3adad l'mo3adalat).
Khass l'determinant ykoun mkhaleff 3la sifr.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ Solution unique.

Si le rang est inférieur au nombre d'inconnues, que se passe-t-il ?

Le système possède soit une infinité de solutions (si le système est compatible), soit aucune solution (s'il est incompatible).

💡 À retenir : Rang < Inconnues $\implies$ Paramètres libres.

Le système possède soit une infinité de solutions (si le système est compatible), soit aucune solution (s'il est incompatible).

💡 À retenir : Rang < Inconnues $\implies$ Paramètres libres.

Kifach n3ref wach l'nizam incompatible ?

Dir l'pivot de Gauss.
Ila l9iti chi ligne f l'matrice augmentée dial chkel $(0, 0, ..., 0 | k)$ m3a $k \neq 0$ , rah l'nizam incompatible.

💡 À retenir : Une ligne nulle à gauche et non nulle à droite = pas de solution.

Dir l'pivot de Gauss.
Ila l9iti chi ligne f l'matrice augmentée dial chkel $(0, 0, ..., 0 | k)$ m3a $k \neq 0$, rah l'nizam incompatible.

💡 À retenir : Une ligne nulle à gauche et non nulle à droite = pas de solution.

Peut-on utiliser l'inverse de la matrice pour tout système ?

Non, seulement si la matrice est carrée et inversible ( $\det(A) \neq 0$ ). Si elle n'est pas carrée, l'inverse n'existe pas.

💡 À retenir : $X = A^{-1}B$ est réservé aux systèmes carrés inversibles.

Non, seulement si la matrice est carrée et inversible ($\det(A) \neq 0$). Si elle n'est pas carrée, l'inverse n'existe pas.

💡 À retenir : $X = A^{-1}B$ est réservé aux systèmes carrés inversibles.

Est-ce que l'ordre des équations change la solution ?

Non, l'ordre des équations ne change pas l'ensemble des solutions, car le système représente une intersection de plans (ou hyperplans).

💡 À retenir : L'ordre des lignes est arbitraire.

Que faire si le déterminant est nul ?

Le système n'est pas de Cramer. Il faut utiliser la méthode de Gauss pour voir s'il est compatible (infinité de solutions) ou incompatible (aucune solution).

💡 À retenir : $\det(A)=0 \implies$ Gauss obligatoire.

Le système n'est pas de Cramer. Il faut utiliser la méthode de Gauss pour voir s'il est compatible (infinité de solutions) ou incompatible (aucune solution).

💡 À retenir : $\det(A)=0 \implies$ Gauss obligatoire.

Est-ce que le rang dépend de la méthode de calcul ?

Non, le rang est une propriété intrinsèque de la matrice. Peu importe la méthode (Gauss, mineurs), le résultat doit être le même.

💡 À retenir : Le rang est unique.

Si j'ai plus d'inconnues que d'équations, est-ce que j'ai toujours une infinité de solutions ?

Pas forcément. Tu peux avoir une infinité de solutions si le système est compatible, ou aucune solution si le système est incompatible.

💡 À retenir : Sous-déterminé $\neq$ forcément compatible.

Pas forcément. Tu peux avoir une infinité de solutions si le système est compatible, ou aucune solution si le système est incompatible.

💡 À retenir : Sous-déterminé $\neq$ forcément compatible.

Est-ce que je peux multiplier une ligne par zéro ?

Non, c'est une erreur grave. Les opérations élémentaires autorisées sont : échange de lignes, multiplication par un scalaire non nul, et ajout d'un multiple d'une ligne à une autre.

💡 À retenir : Multiplication par $0$ détruit l'information.

Non, c'est une erreur grave. Les opérations élémentaires autorisées sont : échange de lignes, multiplication par un scalaire non nul, et ajout d'un multiple d'une ligne à une autre.

💡 À retenir : Multiplication par $0$ détruit l'information.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre le système suivant dans $\mathbb{R}^3$ : $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ x + 3y + 5z = 3 \end{cases}$

Exercice 1

Résoudre le système suivant dans $\mathbb{R}^3$ : $\begin{cases} x + y + z = 1 \ x + 2y + 3z = 2 \ x + 3y + 5z = 3 \end{cases}$

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Exercice 2

Discuter selon le paramètre $m \in \mathbb{R}$ le système : $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = m \\ x + 3y + 10z = m^2 \end{cases}$

Exercice 2

Discuter selon le paramètre $m \in \mathbb{R}$ le système : $\begin{cases} x + y + z = 1 \ x + 2y + 4z = m \ x + 3y + 10z = m^2 \end{cases}$

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Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Résoudre $AX = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$ par inversion.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Résoudre $AX = \begin{pmatrix} 5 \ 11 \end{pmatrix}$ par inversion.

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