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Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L \in \mathbb{R}$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Suites adjacentes : Vérifier que $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim (u_n - v_n) = 0$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ , alors $u_n+2 \geq 3$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Limite : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $u_n \to L$ , alors $f(L) = L$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre "croissante" et "strictement croissante".
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).
Utiliser $u_n = u_0 + nr$ alors que la suite commence à $u_1$ .

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L \in \mathbb{R}$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (si $u_n > 0$).
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Suites adjacentes : Vérifier que $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim (u_n - v_n) = 0$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$. Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$, alors $u_n+2 \geq 3$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Limite : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $u_n \to L$, alors $f(L) = L$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre "croissante" et "strictement croissante".
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).
Utiliser $u_n = u_0 + nr$ alors que la suite commence à $u_1$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=2$ et $u_0=3$ . La valeur de $u_{10}$ est :

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=2$ et $u_0=3$. La valeur de $u_{10}$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'hadd l'3am dial silsila 7isabiya?

T-taqad l'3alaqa: $u_n = u_p + (n-p)r$ .
3awad $u_p$ b l'hadd li 3ndk (mital $u_0$ aw $u_1$ ).
3awad $r$ b l'assas li 3ndk.
Nchar l'3amaliya bach t-lqa l'3ibara l'moukhassara.

💡 À retenir : L'hadd l'3am kay-t3tamad 3la l'hadd l'awwal o l'assas.

T-taqad l'3alaqa: $u_n = u_p + (n-p)r$.
3awad $u_p$ b l'hadd li 3ndk (mital $u_0$ aw $u_1$).
3awad $r$ b l'assas li 3ndk.
Nchar l'3amaliya bach t-lqa l'3ibara l'moukhassara.

💡 À retenir : L'hadd l'3am kay-t3tamad 3la l'hadd l'awwal o l'assas.

Est-ce qu'une suite bornée est forcément convergente ?

Non, pas forcément. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre -1 et 1), mais elle n'est pas convergente car elle oscille entre deux valeurs. Pour qu'une suite soit convergente, elle doit être monotone ET bornée.

💡 À retenir : Bornée n'implique pas convergente.

Kifach n-biyen bli wa7d s-silsila t-tza3aydiya?

7seb l'farq $u_{n+1} - u_n$ .
Chof l'ichara dial l'natija.
Ila kan $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , s-silsila t-tza3aydiya.

💡 À retenir : L'ichara dial l'farq hiya li kat-7addad r-rataba.

7seb l'farq $u_{n+1} - u_n$.
Chof l'ichara dial l'natija.
Ila kan $u_{n+1} - u_n \geq 0$, s-silsila t-tza3aydiya.

💡 À retenir : L'ichara dial l'farq hiya li kat-7addad r-rataba.

Quelle est la limite d'une suite géométrique q^n ?

Cela dépend de la valeur de $q$ :

Si $q > 1$ , $\lim q^n = +\infty$ .
Si $-1 < q < 1$ , $\lim q^n = 0$ .
Si $q = 1$ , $\lim q^n = 1$ .
Si $q \leq -1$ , la limite n'existe pas.

💡 À retenir : La convergence dépend uniquement de la raison $q$ .

Cela dépend de la valeur de $q$ :

Si $q > 1$, $\lim q^n = +\infty$.
Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$.
Si $q = 1$, $\lim q^n = 1$.
Si $q \leq -1$, la limite n'existe pas.

💡 À retenir : La convergence dépend uniquement de la raison $q$.

Kifach n-biyen bli s-silsila m-majoriya b 2?

St3mal l'istidlal b t-tarajo3 (récurrence).
L'initialisation : b-biyenha l'hadd l'awwal $u_0 \leq 2$ .
L'hérédité : f-tard bli $u_n \leq 2$ o b-biyen bli $u_{n+1} \leq 2$ .

💡 À retenir : L'istidlal b t-tarajo3 howa l'miftah l'kbir.

St3mal l'istidlal b t-tarajo3 (récurrence).
L'initialisation : b-biyenha l'hadd l'awwal $u_0 \leq 2$.
L'hérédité : f-tard bli $u_n \leq 2$ o b-biyen bli $u_{n+1} \leq 2$.

💡 À retenir : L'istidlal b t-tarajo3 howa l'miftah l'kbir.

Peut-on utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[0, +\infty[$ . Si $f'(x) \geq 0$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction entraîne celle de la suite.

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[0, +\infty[$. Si $f'(x) \geq 0$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction entraîne celle de la suite.

Qu'est-ce qu'une suite adjacente ?

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

L'une est croissante et l'autre est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Elles convergent vers la même limite.

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

L'une est croissante et l'autre est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Elles convergent vers la même limite.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La formule est : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ . Le nombre de termes est : $(\text{indice final} - \text{indice initial} + 1)$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le "+1" dans le nombre de termes.

La formule est : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$. Le nombre de termes est : $(\text{indice final} - \text{indice initial} + 1)$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le "+1" dans le nombre de termes.

Est-ce que un to L implique u{n+1} to L ?

Oui, car $u_{n+1}$ est simplement la suite $u_n$ décalée d'un rang. Si la suite tend vers une limite finie $L$ , alors tous ses sous-ensembles (comme $u_{n+1}$ ) tendent vers la même limite.

💡 À retenir : La limite ne change pas avec un décalage d'indice.

Oui, car $u_{n+1}$ est simplement la suite $u_n$ décalée d'un rang. Si la suite tend vers une limite finie $L$, alors tous ses sous-ensembles (comme $u_{n+1}$) tendent vers la même limite.

💡 À retenir : La limite ne change pas avec un décalage d'indice.

Kifach n-biyen bli s-silsila m-minoriyya b 0?

B-tariqat t-tarajo3 (récurrence).
Ila kanat $u_{n+1} = f(u_n)$ , chof wach $f(x) \geq 0$ lma $x \geq 0$ .
Ila kanat $u_n$ kat-ktab 3la chkl l'mou3adalat, 7awl t-biyen l'ichara.

💡 À retenir : L'istidlal b t-tarajo3 howa l'a7san.

B-tariqat t-tarajo3 (récurrence).
Ila kanat $u_{n+1} = f(u_n)$, chof wach $f(x) \geq 0$ lma $x \geq 0$.
Ila kanat $u_n$ kat-ktab 3la chkl l'mou3adalat, 7awl t-biyen l'ichara.

💡 À retenir : L'istidlal b t-tarajo3 howa l'a7san.

Quelle est la différence entre une suite et une fonction ?

Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ). Alors qu'une fonction est définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ , une suite est une liste discrète de nombres.

💡 À retenir : La suite est une fonction "à points isolés".

Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$). Alors qu'une fonction est définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$, une suite est une liste discrète de nombres.

💡 À retenir : La suite est une fonction "à points isolés".

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est égal à une constante réelle $q$ indépendante de $n$ .

💡 À retenir : Si le rapport est constant, la suite est géométrique.

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est égal à une constante réelle $q$ indépendante de $n$.

💡 À retenir : Si le rapport est constant, la suite est géométrique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$ .

Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$.

Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1, v_0=2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}$ , $v_{n+1} = \frac{u_{n+1}+v_n}{2}$ .

Montrer que $v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{1}{4}(v_n - u_n)$ .
En déduire la limite de $v_n - u_n$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1, v_0=2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}$, $v_{n+1} = \frac{u_{n+1}+v_n}{2}$.

Montrer que $v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{1}{4}(v_n - u_n)$.
En déduire la limite de $v_n - u_n$.

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Exercice 3

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3

Soit $(u_n){n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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