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Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équations du 1er ordre : De la forme $y' = ay + b$ . La solution générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ).
Équations du 2nd ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = 0$ $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ .
- Équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$ .
- Si $\Delta > 0$ (racines $r_1, r_2$ ) : $y(x) = \alpha e^{r_1x} + \beta e^{r_2x}$ .
- Si $\Delta = 0$ (racine double $r_0$ ) : $y(x) = (\alpha x + \beta)e^{r_0x}$ .
- Si $\Delta < 0$ (racines $p \pm iq$ ) : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation.
Résoudre l'équation caractéristique pour le 2nd ordre.
Déterminer la constante $C$ (ou $\alpha, \beta$ ) à partir des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ (et $y'(x_0) = y'_0$ pour le 2nd ordre).

Exemples corrigés

$y' - 3y = 0 \implies y(x) = Ce^{3x}$ .
$y'' - 5y' + 6y = 0$ . Éq. carac : $r^2 - 5r + 6 = 0$ . $\Delta = 25 - 24 = 1$ . Racines $r_1=2, r_2=3$ . Solution : $y(x) = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution.
Se tromper de signe dans le discriminant $\Delta$ .
Confondre la forme de la solution selon le signe de $\Delta$ .

L'essentiel du cours

Équations du 1er ordre : De la forme $y' = ay + b$. La solution générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
Équations du 2nd ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = 0$.
- Équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
- Si $\Delta > 0$ (racines $r_1, r_2$) : $y(x) = \alpha e^{r_1x} + \beta e^{r_2x}$.
- Si $\Delta = 0$ (racine double $r_0$) : $y(x) = (\alpha x + \beta)e^{r_0x}$.
- Si $\Delta < 0$ (racines $p \pm iq$) : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation.
Résoudre l'équation caractéristique pour le 2nd ordre.
Déterminer la constante $C$ (ou $\alpha, \beta$) à partir des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ (et $y'(x_0) = y'_0$ pour le 2nd ordre).

Exemples corrigés

$y' - 3y = 0 \implies y(x) = Ce^{3x}$.
$y'' - 5y' + 6y = 0$. Éq. carac : $r^2 - 5r + 6 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1$. Racines $r_1=2, r_2=3$. Solution : $y(x) = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution.
Se tromper de signe dans le discriminant $\Delta$.
Confondre la forme de la solution selon le signe de $\Delta$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' - 5y = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une équation est linéaire ?

Une équation est linéaire si la fonction inconnue $y$ et ses dérivées $y', y''$ apparaissent à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles (ex: pas de $y \cdot y'$ ).

💡 À retenir : La linéarité signifie que si $y_1$ et $y_2$ sont solutions, alors $y_1+y_2$ est aussi solution (pour les équations homogènes).

Une équation est linéaire si la fonction inconnue $y$ et ses dérivées $y', y''$ apparaissent à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles (ex: pas de $y \cdot y'$).

💡 À retenir : La linéarité signifie que si $y_1$ et $y_2$ sont solutions, alors $y_1+y_2$ est aussi solution (pour les équations homogènes).

kifach n7seb l'constante C ila 3tani condition initiale y(0)=1 ?

Tu trouves la solution générale $y(x) = Ce^{ax} + \dots$
Tu remplaces $x$ par 0 et $y$ par 1 dans cette expression.
Tu résous l'équation obtenue pour isoler $C$ .

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la valeur de la constante.

Tu trouves la solution générale $y(x) = Ce^{ax} + \dots$
Tu remplaces $x$ par 0 et $y$ par 1 dans cette expression.
Tu résous l'équation obtenue pour isoler $C$.

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la valeur de la constante.

Est-ce que y'' + y^2 = 0 est au programme ?

Non, cette équation n'est pas linéaire à cause du terme $y^2$ . Le programme officiel se limite aux équations différentielles linéaires à coefficients constants.

💡 À retenir : Si tu vois un carré sur $y$ ou $y'$ , ce n'est pas une équation linéaire du second ordre classique.

Non, cette équation n'est pas linéaire à cause du terme $y^2$. Le programme officiel se limite aux équations différentielles linéaires à coefficients constants.

💡 À retenir : Si tu vois un carré sur $y$ ou $y'$, ce n'est pas une équation linéaire du second ordre classique.

chno hiya l'far9 bin l'équation homogène o l'équation complète ?

L'équation homogène est celle où le second membre est nul ( $ay''+by'+cy=0$ ).
L'équation complète possède une fonction $f(x)$ à droite ( $ay''+by'+cy=f(x)$ ).

💡 À retenir : La solution de l'équation complète est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière.

L'équation homogène est celle où le second membre est nul ($ay''+by'+cy=0$).
L'équation complète possède une fonction $f(x)$ à droite ($ay''+by'+cy=f(x)$).

💡 À retenir : La solution de l'équation complète est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière.

Est-ce que je dois toujours calculer le discriminant Delta ?

Oui, pour toute équation du second ordre à coefficients constants $ay'' + by' + cy = 0$ , le signe de $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine la forme de la solution.

💡 À retenir : $\Delta$ est la clé pour choisir la bonne formule.

Oui, pour toute équation du second ordre à coefficients constants $ay'' + by' + cy = 0$, le signe de $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine la forme de la solution.

💡 À retenir : $\Delta$ est la clé pour choisir la bonne formule.

wach l'ordre dyal l'équation kaybeddel tari9a dyal l'7al ?

Oui, absolument. Le 1er ordre se résout par primitive ou exponentielle, alors que le 2nd ordre nécessite obligatoirement l'équation caractéristique.

💡 À retenir : Identifie toujours l'ordre avant de commencer.

Pourquoi on utilise e^{px}(alpha cos(qx) + beta sin(qx)) quand Delta < 0 ?

Parce que les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées $p \pm iq$ . La théorie des équations différentielles montre que la solution réelle s'exprime alors via des fonctions trigonométriques.

💡 À retenir : $p$ est la partie réelle, $q$ est la partie imaginaire.

Parce que les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées $p \pm iq$. La théorie des équations différentielles montre que la solution réelle s'exprime alors via des fonctions trigonométriques.

💡 À retenir : $p$ est la partie réelle, $q$ est la partie imaginaire.

kifach n3ref wach l'équation 3ndha 7al wahed wla bezzaf ?

Une équation différentielle linéaire a une infinité de solutions (famille de solutions dépendant de constantes). Elle n'a qu'une seule solution si on impose des conditions initiales.

💡 À retenir : Sans conditions initiales, il y a toujours des constantes arbitraires.

Est-ce que y'' = -y est une équation du second ordre ?

Oui, c'est $y'' + y = 0$ . Ici $a=1, b=0, c=1$ . $\Delta = 0^2 - 4(1)(1) = -4$ .

💡 À retenir : Les solutions sont de la forme $\alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$ .

Oui, c'est $y'' + y = 0$. Ici $a=1, b=0, c=1$. $\Delta = 0^2 - 4(1)(1) = -4$.

💡 À retenir : Les solutions sont de la forme $\alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$.

Est-ce que les coefficients a, b, c peuvent être des fonctions de x ?

Dans le cadre du programme actuel, nous étudions uniquement les équations à coefficients constants.

💡 À retenir : Si $a, b, c$ dépendent de $x$ , c'est hors programme.

Dans le cadre du programme actuel, nous étudions uniquement les équations à coefficients constants.

💡 À retenir : Si $a, b, c$ dépendent de $x$, c'est hors programme.

Est-ce que je peux utiliser les complexes pour résoudre y'' + y' = 0 ?

Oui, mais c'est inutile. L'équation caractéristique $r^2 + r = 0$ donne $r(r+1)=0$ , donc $r=0$ ou $r=-1$ . C'est plus simple.

💡 À retenir : Utilise les complexes uniquement si $\Delta < 0$ .

Oui, mais c'est inutile. L'équation caractéristique $r^2 + r = 0$ donne $r(r+1)=0$, donc $r=0$ ou $r=-1$. C'est plus simple.

💡 À retenir : Utilise les complexes uniquement si $\Delta < 0$.

Est-ce que la solution particulière est toujours un polynôme ?

Non, cela dépend de la forme du second membre $f(x)$ . Mais attention, la recherche de solution particulière est souvent limitée dans les exercices de base.

💡 À retenir : Concentre-toi d'abord sur la maîtrise de l'équation homogène.

Non, cela dépend de la forme du second membre $f(x)$. Mais attention, la recherche de solution particulière est souvent limitée dans les exercices de base.

💡 À retenir : Concentre-toi d'abord sur la maîtrise de l'équation homogène.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'' - 4y' + 4y = 0$ avec les conditions $y(0)=1$ et $y'(0)=2$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'' - 4y' + 4y = 0$ avec les conditions $y(0)=1$ et $y'(0)=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre $y' + 3y = 0$ sachant que $y(1) = e^{-3}$ .

Exercice 2

Résoudre $y' + 3y = 0$ sachant que $y(1) = e^{-3}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit l'équation $y'' + y' - 2y = 0$ . Déterminer la solution vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=3$ .

Exercice 3

Soit l'équation $y'' + y' - 2y = 0$. Déterminer la solution vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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