Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — FST — MIP / MIPC / BCG

Déterminants

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ qui associe à chaque matrice carrée un scalaire.

Pour $n=2$ , $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ .
Pour $n=3$ , on utilise le développement suivant une ligne ou une colonne : $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} \Delta_{ij}$ .
Propriétés fondamentales : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ , $\det(I_n) = 1$ , $\det(A^T) = \det(A)$ .
$A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Développement selon une ligne/colonne : Choisir la ligne ou colonne contenant le plus de zéros.
Opérations élémentaires : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant. Permuter deux lignes change le signe.
Matrice triangulaire : Le déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale.
Utilisation de la comatrice : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \, ^t(\text{com}(A))$ .

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . $\det(A) = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$ .
Soit $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . En développant selon la 2ème ligne : $3 \times (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3(1-2) = -3$ .

Erreurs fréquentes

Croire que $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ (Faux !).
Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement.
Multiplier une ligne par $k$ multiplie le déterminant par $k$ (ne pas oublier de diviser par $k$ si on factorise).

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ qui associe à chaque matrice carrée un scalaire.

Pour $n=2$, $\det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.
Pour $n=3$, on utilise le développement suivant une ligne ou une colonne : $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} \Delta_{ij}$.
Propriétés fondamentales : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(I_n) = 1$, $\det(A^T) = \det(A)$.
$A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

Méthodes à maîtriser

Développement selon une ligne/colonne : Choisir la ligne ou colonne contenant le plus de zéros.
Opérations élémentaires : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant. Permuter deux lignes change le signe.
Matrice triangulaire : Le déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale.
Utilisation de la comatrice : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} , ^t(\text{com}(A))$.

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. $\det(A) = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$.
Soit $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 3 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. En développant selon la 2ème ligne : $3 \times (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3(1-2) = -3$.

Erreurs fréquentes

Croire que $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ (Faux !).
Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement.
Multiplier une ligne par $k$ multiplie le déterminant par $k$ (ne pas oublier de diviser par $k$ si on factorise).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Déterminants

1/4

Le déterminant de la matrice identité $I_3$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb déterminant dyal matrice 3x3 bla ma nkhrej 3la rassi?

Cherche la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Utilise le développement par rapport à cette ligne/colonne.
Si les nombres sont grands, utilise les opérations élémentaires pour créer des zéros supplémentaires avant de développer.

💡 À retenir : Les zéros sont tes meilleurs amis pour simplifier le calcul.

Wach déterminant dyal matrice triangulaire howa nafsou déterminant dyal matrice 3adiya?

Non, pour une matrice triangulaire, le calcul est immédiat : c'est juste le produit des éléments de la diagonale. Pour une matrice quelconque, tu dois faire des calculs longs.

💡 À retenir : Si tu peux transformer ta matrice en triangulaire par des opérations élémentaires, fais-le !

Chno hiya l'relation bin déterminant w l'inversibilité dyal matrice?

Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ . Si le déterminant est nul, la matrice n'est pas inversible (elle est dite singulière).

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A \in GL_n(\mathbb{K})$ .

Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Si le déterminant est nul, la matrice n'est pas inversible (elle est dite singulière).

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A \in GL_n(\mathbb{K})$.

Comment calculer le déterminant d'une matrice 4 times 4 ?

Utilise les opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour obtenir une colonne avec trois zéros.
Développe selon cette colonne.
Tu obtiens un déterminant $3 \times 3$ que tu sais calculer.

💡 À retenir : Ne développe jamais directement une matrice $4 \times 4$ sans faire apparaître des zéros.

Utilise les opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour obtenir une colonne avec trois zéros.
Développe selon cette colonne.
Tu obtiens un déterminant $3 \times 3$ que tu sais calculer.

💡 À retenir : Ne développe jamais directement une matrice $4 \times 4$ sans faire apparaître des zéros.

Est-ce que det(kA) = k det(A) ?

Attention, c'est faux ! La formule correcte est $\det(kA) = k^n \det(A)$ où $n$ est la taille de la matrice.

💡 À retenir : Le facteur $k$ sort à la puissance $n$ .

Attention, c'est faux ! La formule correcte est $\det(kA) = k^n \det(A)$ où $n$ est la taille de la matrice.

💡 À retenir : Le facteur $k$ sort à la puissance $n$.

Pourquoi le déterminant d'une matrice avec deux lignes identiques est nul ?

Parce que si tu permutes ces deux lignes identiques, le déterminant change de signe (il devient $-D$ ), mais comme les lignes sont identiques, le déterminant reste $D$ . Donc $D = -D$ , ce qui implique $D = 0$ .

💡 À retenir : Lignes proportionnelles ou identiques = déterminant nul.

Parce que si tu permutes ces deux lignes identiques, le déterminant change de signe (il devient $-D$), mais comme les lignes sont identiques, le déterminant reste $D$. Donc $D = -D$, ce qui implique $D = 0$.

💡 À retenir : Lignes proportionnelles ou identiques = déterminant nul.

Est-ce que det(A^2) = (det(A))^2 ?

Oui, car $\det(A^2) = \det(A \times A) = \det(A) \times \det(A) = (\det(A))^2$ .

💡 À retenir : La propriété $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ est universelle.

Oui, car $\det(A^2) = \det(A \times A) = \det(A) \times \det(A) = (\det(A))^2$.

💡 À retenir : La propriété $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ est universelle.

Est-ce que le déterminant d'une matrice antisymétrique est toujours nul ?

Si la taille $n$ est impaire, oui. Si $n$ est paire, il peut être non nul.

💡 À retenir : $\det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$ .

Si la taille $n$ est impaire, oui. Si $n$ est paire, il peut être non nul.

💡 À retenir : $\det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$.

Comment utiliser la comatrice pour inverser une matrice ?

Calcule le déterminant.
Calcule la comatrice (matrice des cofacteurs).
Transpose la comatrice.
Multiplie par $1/\det(A)$ .

💡 À retenir : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{com}(A)^T$ .

Calcule le déterminant.
Calcule la comatrice (matrice des cofacteurs).
Transpose la comatrice.
Multiplie par $1/\det(A)$.

💡 À retenir : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{com}(A)^T$.

Est-ce que det(A+I) = det(A) + 1 ?

Absolument pas. Il n'existe pas de relation simple entre le déterminant d'une somme et la somme des déterminants.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le déterminant sur une addition.

Kifach n3ref wach matrice 3ndha déterminant 1?

Tu calcules le déterminant normalement. Si tu trouves 1, la matrice est dite "unimodulaire".

💡 À retenir : Le calcul est la seule preuve.

Est-ce que le déterminant change si on multiplie une ligne par 2 ?

Oui, le déterminant est multiplié par 2.

💡 À retenir : Toute opération élémentaire de type $L_i \leftarrow kL_i$ multiplie le déterminant par $k$ .

Oui, le déterminant est multiplié par 2.

💡 À retenir : Toute opération élémentaire de type $L_i \leftarrow kL_i$ multiplie le déterminant par $k$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ (déterminant de Vandermonde).

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ (déterminant de Vandermonde).

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\det(A)$ et en déduire si $A$ est inversible.

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Calculer $\det(A)$ et en déduire si $A$ est inversible.

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Exercice 3

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ telle que $\det(A) = 3$ . Calculer $\det(2A)$ et $\det(A^{-1})$ .

Exercice 3

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ telle que $\det(A) = 3$. Calculer $\det(2A)$ et $\det(A^{-1})$.

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