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Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ .

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué ou les limites usuelles ( $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ).
Étude de continuité : Vérifier l'égalité des limites à gauche et à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ .
Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est une asymptote horizontale.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$ . $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$ , donc $f$ est continue en 1.
TVI : $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $f$ est continue, il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'appliquer le TVI.
Confondre limite à gauche et à droite.
Ne pas vérifier la stricte monotonie avant d'affirmer l'existence d'une fonction réciproque.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué ou les limites usuelles ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$).
Étude de continuité : Vérifier l'égalité des limites à gauche et à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est une asymptote horizontale.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$. $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$, donc $f$ est continue en 1.
TVI : $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue, il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'appliquer le TVI.
Confondre limite à gauche et à droite.
Ne pas vérifier la stricte monotonie avant d'affirmer l'existence d'une fonction réciproque.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La valeur de $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment calculer la limite d'une fonction composée lim{x to a} f(g(x)) ?

Calcule $L = \lim_{x \to a} g(x)$ .
Calcule $M = \lim_{u \to L} f(u)$ .
La limite est $M$ .

💡 À retenir : Procéder par étapes successives.

Calcule $L = \lim_{x \to a} g(x)$.
Calcule $M = \lim_{u \to L} f(u)$.
La limite est $M$.

💡 À retenir : Procéder par étapes successives.

Peut-on appliquer le TVI sur un intervalle ouvert ?

Non, le théorème exige un intervalle fermé et borné $[a, b]$ pour garantir l'existence de la solution.

💡 À retenir : La compacité de l'intervalle est essentielle.

Non, le théorème exige un intervalle fermé et borné $[a, b]$ pour garantir l'existence de la solution.

💡 À retenir : La compacité de l'intervalle est essentielle.

Comment savoir si une fonction est continue en un point ?

Calcule la limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$ .
Calcule la limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .
Vérifie si ces deux limites sont égales à l'image $f(a)$ .

💡 À retenir : La continuité exige que la courbe ne soit pas "brisée" au point $a$ .

Calcule la limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$.
Calcule la limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$.
Vérifie si ces deux limites sont égales à l'image $f(a)$.

💡 À retenir : La continuité exige que la courbe ne soit pas "brisée" au point $a$.

Kifach n3ref wach l-founction 3ndha asymptote ?

Ila kant $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ , 3ndk asymptote ofo9i $y=L$ .
Ila kant $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ , 3ndk asymptote 3amoudi $x=a$ .
Ila kant $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax) = b$ , 3ndk asymptote mayil $y=ax+b$ .

💡 À retenir : L'asymptote est la droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

Ila kant $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, 3ndk asymptote ofo9i $y=L$.
Ila kant $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, 3ndk asymptote 3amoudi $x=a$.
Ila kant $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax) = b$, 3ndk asymptote mayil $y=ax+b$.

💡 À retenir : L'asymptote est la droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

C'est quoi le théorème de la bijection ?

C'est un outil puissant qui dit que si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors elle possède une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$ .

💡 À retenir : La stricte monotonie est la condition sine qua non pour l'existence de la bijection.

C'est un outil puissant qui dit que si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle possède une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$.

💡 À retenir : La stricte monotonie est la condition sine qua non pour l'existence de la bijection.

Chno hiya l-far9 bin l-limite f no9ta o l-continuité ?

L-limite kat3tina l-9ima li kat9rb liha l-founction, walakin l-continuité katchouf wach dik l-9ima hiya nit l-image dyal l-no9ta.

💡 À retenir : Continuité = Limite + Image.

Comment lever une indétermination du type infty - infty ?

Factoriser par le terme de plus haut degré.
Utiliser l'expression conjuguée si la fonction contient des racines carrées.

💡 À retenir : Ne jamais conclure directement sur une forme indéterminée.

Kifach nst3ml TVI bach nbyen bli l-mo3adala 3ndha 7al ?

N7dd l-intervalle $[a, b]$ .
Nbyen bli f mtssla 3la $[a, b]$ .
N7ssb $f(a) \times f(b) < 0$ .
L-moubarhana katgol bli kayn 3la l-a9al 7al wa7id.

💡 À retenir : Le signe opposé aux bornes garantit le passage par zéro.

N7dd l-intervalle $[a, b]$.
Nbyen bli f mtssla 3la $[a, b]$.
N7ssb $f(a) \times f(b) < 0$.
L-moubarhana katgol bli kayn 3la l-a9al 7al wa7id.

💡 À retenir : Le signe opposé aux bornes garantit le passage par zéro.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

C'est définir une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x) = f(x)$ sur le domaine de $f$ , et $g(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ pour rendre la fonction continue en $a$ .

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

C'est définir une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x) = f(x)$ sur le domaine de $f$, et $g(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ pour rendre la fonction continue en $a$.

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Exemple : $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais non suffisante pour la dérivabilité.

Non. Exemple : $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais non suffisante pour la dérivabilité.

Comment étudier la branche parabolique ?

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ , alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : La courbe s'écrase vers une direction donnée sans asymptote.

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : La courbe s'écrase vers une direction donnée sans asymptote.

Chno l-fayda dyal l-founction réciproque ?

Katsa3dna n7lo l-mo3adalat b7al $f(x)=y$ ila kant $f$ 3ndha 3ksiya, kndiro $x = f^{-1}(y)$ .

💡 À retenir : La réciproque "annule" l'effet de la fonction directe.

Katsa3dna n7lo l-mo3adalat b7al $f(x)=y$ ila kant $f$ 3ndha 3ksiya, kndiro $x = f^{-1}(y)$.

💡 À retenir : La réciproque "annule" l'effet de la fonction directe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{x^3-1}{x^2+x-2}$ pour $x \neq 1$ et $x \neq -2$ .

Étudier la limite de $f$ en 1.
La fonction $f$ peut-elle être prolongée par continuité en 1 ?

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{x^3-1}{x^2+x-2}$ pour $x \neq 1$ et $x \neq -2$.

Étudier la limite de $f$ en 1.
La fonction $f$ peut-elle être prolongée par continuité en 1 ?

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Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + 3x - 5$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]1, 2[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + 3x - 5$.

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]1, 2[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier les branches infinies de $f(x) = \sqrt{x^2+1} + x$ .

Exercice 3

Étudier les branches infinies de $f(x) = \sqrt{x^2+1} + x$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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