Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe par un scalaire vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, élément neutre $\vec{0}$, opposé, distributivité).
Sous-espace vectoriel (SEV) : $F \subset E$ est un SEV si :
$F \neq \emptyset$ (souvent on montre $\vec{0} \in F$).
$\forall (u, v) \in F^2, u+v \in F$.
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in F, \lambda u \in F$.
Dimension : Si $E$ admet une base finie de $n$ vecteurs, alors $\dim(E) = n$.
Méthodes à maîtriser
Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier que $\vec{0} \in F$ puis la stabilité par combinaison linéaire : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \forall (u, v) \in F^2, \lambda u + \mu v \in F$.
Vérifier si une famille est libre : Résoudre l'équation $\sum \alpha_i v_i = \vec{0}$. Si la seule solution est $\alpha_i = 0$, la famille est libre.
Déterminer une base : Montrer que la famille est libre et génératrice (ou utiliser le théorème de la dimension si $\dim(E)$ est connue).
Exemples corrigés
Exemple 1 : $F = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 / x + y = 0 }$. On a $(0,0) \in F$. Soient $u=(x_1, y_1), v=(x_2, y_2) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. $u+\lambda v = (x_1+\lambda x_2, y_1+\lambda y_2)$. Or $(x_1+\lambda x_2) + (y_1+\lambda y_2) = (x_1+y_1) + \lambda(x_2+y_2) = 0 + \lambda(0) = 0$. Donc $F$ est un SEV.
Exemple 2 : Dans $\mathbb{R}^3$, la famille ${(1,0,0), (0,1,0)}$ est libre car $\alpha(1,0,0) + \beta(0,1,0) = (0,0,0) \implies (\alpha, \beta, 0) = (0,0,0) \implies \alpha=\beta=0$.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que $\vec{0} \in F$ pour montrer qu'un ensemble est un SEV.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Penser que si une famille est libre, elle est forcément une base (il manque la condition "génératrice").
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Tu résous ce système pour trouver les inconnues $\alpha_i$.
Si la seule solution possible est $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n = 0$, alors la famille est libre.
💡 À retenir : Si tu trouves une solution où au moins un $\alpha_i \neq 0$, la famille est liée.
wach l'ensemble des matrices symétriques est un SEV ?
Oui, l'ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un SEV.
La matrice nulle est symétrique ($0^T = 0$).
La somme de deux matrices symétriques est symétrique : $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$.
Le produit d'une matrice symétrique par un scalaire est symétrique : $(\lambda A)^T = \lambda A^T = \lambda A$.
💡 À retenir : La stabilité par combinaison linéaire est la clé pour prouver qu'un ensemble est un SEV.
Peut-on avoir une base avec des vecteurs liés ?
Non, c'est impossible par définition. Une base doit être une famille libre. Si les vecteurs sont liés, cela signifie qu'au moins un vecteur est "inutile" car il peut être exprimé par les autres.
💡 À retenir : Une base est une famille "optimale" : elle est assez grande pour engendrer l'espace, mais assez petite pour ne pas contenir de redondance.
kifach n3ref wach wahed l'ensemble howa sous-espace vectoriel ?
Pour vérifier si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ :
Vérifie si $F$ contient le vecteur nul $\vec{0}$.
Prends deux vecteurs $u, v$ dans $F$ et deux scalaires $\alpha, \beta$ dans $\mathbb{R}$.
Vérifie si le vecteur $\alpha u + \beta v$ appartient toujours à $F$.
💡 À retenir : Si ces deux conditions sont vérifiées, alors $F$ est un SEV.
Quelle est la dimension de l'espace des matrices mathcal{M}{2,3}(mathbb{R}) ?
La dimension de l'espace des matrices $\mathcal{M}{n,p}(\mathbb{R})$ est égale à $n \times p$.
Pour $\mathcal{M}{2,3}(\mathbb{R})$, la dimension est $2 \times 3 = 6$.
💡 À retenir : Une base de cet espace est formée des 6 matrices élémentaires $E_{ij}$ qui ont un 1 à la position $(i,j)$ et 0 ailleurs.
Est-ce que le vecteur nul peut appartenir à une famille libre ?
Non. Si une famille contient le vecteur nul, elle est automatiquement liée.
Preuve : $1 \cdot \vec{0} + 0 \cdot v_2 + ... = \vec{0}$. Comme le coefficient du vecteur nul est 1 (non nul), la famille est liée.
💡 À retenir : Une famille libre ne doit jamais contenir le vecteur nul.
Si dim(E) = n, est-ce qu'une famille de n vecteurs est toujours une base ?
Pas forcément. Elle est une base si et seulement si elle est libre (ou génératrice). Si elle est liée, elle ne peut pas être une base, même si elle contient $n$ vecteurs.
💡 À retenir : Dans un espace de dimension $n$, une famille de $n$ vecteurs est une base si elle est libre.
Pourquoi on étudie les espaces vectoriels ?
Les espaces vectoriels permettent de généraliser les notions de géométrie (droites, plans) à des objets plus complexes comme les fonctions, les suites ou les matrices. C'est l'outil fondamental pour résoudre des systèmes linéaires et étudier les transformations.
💡 À retenir : C'est le langage universel de l'algèbre linéaire.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $E = \mathbb{R}^3$. On considère l'ensemble $F = { (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x - 2y + z = 0 }$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
Déterminer une base de $F$ et en déduire sa dimension.
Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ l'espace des polynômes de degré $\leq 2$. Soient $P_1 = 1+X$, $P_2 = X+X^2$ et $P_3 = 1+X^2$.
Montrer que $(P_1, P_2, P_3)$ est une base de $E$.
Un espace vectoriel (E,+,⋅) sur R est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe par un scalaire vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, élément neutre 0, opposé, distributivité).
Sous-espace vectoriel (SEV) :F⊂E est un SEV si :
F=∅ (souvent on montre 0∈F).
∀(u,v)∈F2,u+v∈F.
∀λ∈R,∀u∈F,λu∈F.
Dimension : Si E admet une base finie de n vecteurs, alors dim(E)=n.
Méthodes à maîtriser
Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier que 0∈F puis la stabilité par combinaison linéaire : ∀(λ,μ)∈R2,∀(u,v)∈F2,λu+μv∈F.
Vérifier si une famille est libre : Résoudre l'équation ∑αivi=0. Si la seule solution est αi=0, la famille est libre.
Déterminer une base : Montrer que la famille est libre et génératrice (ou utiliser le théorème de la dimension si dim(E) est connue).
Exemples corrigés
Exemple 1 :F={(x,y)∈R2/x+y=0}. On a (0,0)∈F. Soient u=(x1,y1),v=(x2,y2)∈F et λ∈R. u+λv=(x1+λx2,y1+λy2). Or (x1+λx2)+(y1+λy2)=(x1+y1)+λ(x2+y2)=0+λ(0)=0. Donc F est un SEV.
Exemple 2 : Dans R3, la famille {(1,0,0),(0,1,0)} est libre car α(1,0,0)+β(0,1,0)=(0,0,0)⟹(α,β,0)=(0,0,0)⟹α=β=0.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que 0∈F pour montrer qu'un ensemble est un SEV.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Penser que si une famille est libre, elle est forcément une base (il manque la condition "génératrice").
Quel est l'ensemble des vecteurs de R2 qui n'est PAS un sous-espace vectoriel ?
{(x,y)∈R2/x=0}
{(x,y)∈R2/x+y=0}
{(x,y)∈R2/x+y=1}
{(0,0)}
Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs (e1,...,en) qui vérifie deux conditions :
Elle est libre : aucun vecteur ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres.
Elle est génératrice : tout vecteur de E peut s'écrire comme combinaison linéaire de (e1,...,en).
💡 À retenir : Une base permet de décomposer tout vecteur de manière unique.
Pour calculer la dimension d'un espace vectoriel E :
Cherche une base de E.
Compte le nombre de vecteurs qui constituent cette base.
Le nombre obtenu est la dimension de E.
💡 À retenir : La dimension est le nombre minimal de vecteurs nécessaires pour engendrer tout l'espace.
Non, ce n'est pas un SEV.
Le polynôme nul 0 est de degré −∞ (ou indéfini), il n'est donc pas de degré n.
Si tu prends P(x)=xn+x et Q(x)=−xn+1, ils sont de degré n, mais leur somme P+Q=x+1 est de degré 1 (si n>1).
💡 À retenir : L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n (noté Rn[X]) est un SEV, mais pas celui de degré exactement n.
Pour montrer qu'une famille de vecteurs forme une base de R3, il te faut exactement 3 vecteurs linéairement indépendants.
Si tu en as moins de 3, tu ne peux pas engendrer tout R3.
Si tu en as plus de 3, la famille sera forcément liée.
💡 À retenir : Dans Rn, une base contient toujours exactement n vecteurs.
Pour montrer qu'une famille (v1,v2,...,vn) est libre :
Tu écris l'équation : α1v1+α2v2+...+αnvn=0.
Tu résous ce système pour trouver les inconnues αi.
Si la seule solution possible est α1=α2=...=αn=0, alors la famille est libre.
💡 À retenir : Si tu trouves une solution où au moins un αi=0, la famille est liée.
Oui, l'ensemble des matrices symétriques de Mn(R) est un SEV.
La matrice nulle est symétrique (0T=0).
La somme de deux matrices symétriques est symétrique : (A+B)T=AT+BT=A+B.
Le produit d'une matrice symétrique par un scalaire est symétrique : (λA)T=λAT=λA.
💡 À retenir : La stabilité par combinaison linéaire est la clé pour prouver qu'un ensemble est un SEV.
Pour vérifier si F est un sous-espace vectoriel de E :
Vérifie si F contient le vecteur nul 0.
Prends deux vecteurs u,v dans F et deux scalaires α,β dans R.
Vérifie si le vecteur αu+βv appartient toujours à F.
💡 À retenir : Si ces deux conditions sont vérifiées, alors F est un SEV.
La dimension de l'espace des matrices Mn,p(R) est égale à n×p.
Pour M2,3(R), la dimension est 2×3=6.
💡 À retenir : Une base de cet espace est formée des 6 matrices élémentaires Eij qui ont un 1 à la position (i,j) et 0 ailleurs.
Non. Si une famille contient le vecteur nul, elle est automatiquement liée.
Preuve : 1⋅0+0⋅v2+...=0. Comme le coefficient du vecteur nul est 1 (non nul), la famille est liée.
💡 À retenir : Une famille libre ne doit jamais contenir le vecteur nul.
Pas forcément. Elle est une base si et seulement si elle est libre (ou génératrice). Si elle est liée, elle ne peut pas être une base, même si elle contient n vecteurs.
💡 À retenir : Dans un espace de dimension n, une famille de n vecteurs est une base si elle est libre.
Exercice 1
Soit E=R3. On considère l'ensemble F={(x,y,z)∈R3/x−2y+z=0}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3.
Déterminer une base de F et en déduire sa dimension.
Exercice 2
Soit E=R2[X] l'espace des polynômes de degré ≤2. Soient P1=1+X, P2=X+X2 et P3=1+X2.
Montrer que (P1,P2,P3) est une base de E.
Exercice 3
Soit F={M∈M2(R)/M=(abba)}.
Montrer que F est un SEV et donner sa dimension.