Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — FST — MIP / MIPC / BCG

Arithmétique dans Z

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Division euclidienne : Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ , il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times \{0, \dots, b-1\}$ tel que $a = bq + r$ .
Congruences : $a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a-b)$ . Propriétés : compatibilité avec l'addition, la multiplication et la puissance.
PGCD et PPCM : $d = a \wedge b$ . Si $d=1$ , $a$ et $b$ sont premiers entre eux. $a \times b = (a \wedge b) \times (a \vee b)$ .
Théorème de Bézout : $a \wedge b = d \iff \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^2, au + bv = d$ .
Théorème de Gauss : Si $a \mid bc$ et $a \wedge b = 1$ , alors $a \mid c$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul du PGCD : Utiliser l'algorithme d'Euclide (succession de divisions euclidiennes).
Résolution de $ax + by = c$ : Vérifier d'abord si $d \mid c$ (où $d=a \wedge b$ ). Trouver une solution particulière avec Bézout, puis généraliser.
Calcul de puissances modulo $n$ : Utiliser les propriétés des congruences ou le petit théorème de Fermat si $n$ est premier.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Trouver $PGCD(126, 45)$ . $126 = 2 \times 45 + 36$ $45 = 1 \times 36 + 9$ $36 = 4 \times 9 + 0$ . Donc $PGCD(126, 45) = 9$ .
Exemple 2 : Résoudre $3x \equiv 1 \pmod{7}$ . On cherche $x$ tel que $3x = 7k + 1$ . Pour $k=1$ , $3x=8$ (non). Pour $k=2$ , $3x=15 \implies x=5$ . Donc $x \equiv 5 \pmod{7}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le reste $r$ doit être positif : $0 \le r < |b|$ .
Appliquer Gauss sans vérifier que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Confondre $a \wedge b$ (PGCD) et $a \vee b$ (PPCM).

L'essentiel du cours

Division euclidienne : Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$, il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times {0, \dots, b-1}$ tel que $a = bq + r$.
Congruences : $a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a-b)$. Propriétés : compatibilité avec l'addition, la multiplication et la puissance.
PGCD et PPCM : $d = a \wedge b$. Si $d=1$, $a$ et $b$ sont premiers entre eux. $a \times b = (a \wedge b) \times (a \vee b)$.
Théorème de Bézout : $a \wedge b = d \iff \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^2, au + bv = d$.
Théorème de Gauss : Si $a \mid bc$ et $a \wedge b = 1$, alors $a \mid c$.

Méthodes à maîtriser

Calcul du PGCD : Utiliser l'algorithme d'Euclide (succession de divisions euclidiennes).
Résolution de $ax + by = c$ : Vérifier d'abord si $d \mid c$ (où $d=a \wedge b$). Trouver une solution particulière avec Bézout, puis généraliser.
Calcul de puissances modulo $n$ : Utiliser les propriétés des congruences ou le petit théorème de Fermat si $n$ est premier.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Trouver $PGCD(126, 45)$. $126 = 2 \times 45 + 36$ $45 = 1 \times 36 + 9$ $36 = 4 \times 9 + 0$. Donc $PGCD(126, 45) = 9$.
Exemple 2 : Résoudre $3x \equiv 1 \pmod{7}$. On cherche $x$ tel que $3x = 7k + 1$. Pour $k=1$, $3x=8$ (non). Pour $k=2$, $3x=15 \implies x=5$. Donc $x \equiv 5 \pmod{7}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le reste $r$ doit être positif : $0 \le r < |b|$.
Appliquer Gauss sans vérifier que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Confondre $a \wedge b$ (PGCD) et $a \vee b$ (PPCM).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Arithmétique dans Z

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Quel est le reste de la division euclidienne de 2025 par 7 ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le PGCD peut être négatif ?

Non, par définition dans le programme, le PGCD est le plus grand élément de l'ensemble des diviseurs communs, et par convention, il est toujours positif.

💡 À retenir : $a \wedge b = |d|$ où $d$ est le plus grand diviseur commun.

Non, par définition dans le programme, le PGCD est le plus grand élément de l'ensemble des diviseurs communs, et par convention, il est toujours positif.

💡 À retenir : $a \wedge b = |d|$ où $d$ est le plus grand diviseur commun.

Kifach n7seb PGCD dyal 3 a3dad a, b, c ?

Tu calcules d'abord $d_1 = PGCD(a, b)$ .
Ensuite, tu calcules $d = PGCD(d_1, c)$ .

💡 À retenir : $PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c)$ .

Tu calcules d'abord $d_1 = PGCD(a, b)$.
Ensuite, tu calcules $d = PGCD(d_1, c)$.

💡 À retenir : $PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c)$.

Chno hiya l'utilité dyal "Petit théorème de Fermat" f l'examen ?

Il sert à calculer rapidement des restes de grandes puissances modulo un nombre premier $p$ . Si $a$ n'est pas multiple de $p$ , alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ .

💡 À retenir : Très utile pour réduire $a^n \pmod{p}$ quand $n$ est très grand.

Il sert à calculer rapidement des restes de grandes puissances modulo un nombre premier $p$. Si $a$ n'est pas multiple de $p$, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

💡 À retenir : Très utile pour réduire $a^n \pmod{p}$ quand $n$ est très grand.

Est-ce que si a equiv b pmod{n} et c equiv d pmod{n}, alors a^c equiv b^d pmod{n} ?

Non, cette règle est fausse. La congruence est compatible avec la multiplication, mais pas directement avec l'exposant.

💡 À retenir : On peut dire $a^c \equiv b^c \pmod{n}$ , mais pas $a^c \equiv b^d \pmod{n}$ .

Non, cette règle est fausse. La congruence est compatible avec la multiplication, mais pas directement avec l'exposant.

💡 À retenir : On peut dire $a^c \equiv b^c \pmod{n}$, mais pas $a^c \equiv b^d \pmod{n}$.

Kifach n3ref wach 3adad awali (premier) wla la ?

Tu testes la divisibilité par tous les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \le n$ . Si aucun ne divise $n$ , alors $n$ est premier.

💡 À retenir : Inutile de tester tous les nombres, juste ceux dont le carré est inférieur à $n$ .

Tu testes la divisibilité par tous les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \le n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier.

💡 À retenir : Inutile de tester tous les nombres, juste ceux dont le carré est inférieur à $n$.

Est-ce que a mid b implique a le b ?

Seulement si $a$ et $b$ sont des entiers naturels. Si $a$ est négatif, $a \mid b$ n'implique pas $a \le b$ .

💡 À retenir : La divisibilité concerne les entiers relatifs, mais l'ordre est défini sur $\mathbb{N}$ .

Seulement si $a$ et $b$ sont des entiers naturels. Si $a$ est négatif, $a \mid b$ n'implique pas $a \le b$.

💡 À retenir : La divisibilité concerne les entiers relatifs, mais l'ordre est défini sur $\mathbb{N}$.

Comment résoudre ax equiv b pmod{n} si a et n ne sont pas premiers entre eux ?

Il faut que $PGCD(a, n)$ divise $b$ . Si c'est le cas, on simplifie toute l'équation par $d = PGCD(a, n)$ pour obtenir une équation équivalente où le nouveau coefficient de $x$ est premier avec le nouveau modulo.

💡 À retenir : Si $d$ ne divise pas $b$ , il n'y a aucune solution.

Il faut que $PGCD(a, n)$ divise $b$. Si c'est le cas, on simplifie toute l'équation par $d = PGCD(a, n)$ pour obtenir une équation équivalente où le nouveau coefficient de $x$ est premier avec le nouveau modulo.

💡 À retenir : Si $d$ ne divise pas $b$, il n'y a aucune solution.

Est-ce que l'algorithme d'Euclide marche avec les nombres négatifs ?

Oui, mais on travaille avec les valeurs absolues $|a|$ et $|b|$ pour trouver le PGCD, car le PGCD est toujours positif.

💡 À retenir : $PGCD(a, b) = PGCD(|a|, |b|)$ .

Oui, mais on travaille avec les valeurs absolues $|a|$ et $|b|$ pour trouver le PGCD, car le PGCD est toujours positif.

💡 À retenir : $PGCD(a, b) = PGCD(|a|, |b|)$.

Chno lfar9 bin "a divise b" o "a est divisible par b" ?

C'est la même chose : $a \mid b$ signifie qu'il existe $k$ tel que $b = ak$ .

💡 À retenir : $a \mid b$ se lit "a divise b" ou "b est divisible par a".

C'est la même chose : $a \mid b$ signifie qu'il existe $k$ tel que $b = ak$.

💡 À retenir : $a \mid b$ se lit "a divise b" ou "b est divisible par a".

Est-ce que le PPCM est toujours égal à (a times b) / PGCD(a, b) ?

Oui, cette formule est toujours vraie pour $a, b \in \mathbb{N}^*$ .

💡 À retenir : $PPCM(a, b) = \frac{|a \times b|}{PGCD(a, b)}$ .

Oui, cette formule est toujours vraie pour $a, b \in \mathbb{N}^*$.

💡 À retenir : $PPCM(a, b) = \frac{|a \times b|}{PGCD(a, b)}$.

Si a^2 equiv 1 pmod{n}, est-ce que a equiv 1 ou a equiv -1 ?

Pas forcément. Par exemple, modulo 8, $3^2 = 9 \equiv 1$ , mais $3 \not\equiv 1$ et $3 \not\equiv -1$ .

💡 À retenir : Cela n'est vrai que si $n$ est premier.

Pas forcément. Par exemple, modulo 8, $3^2 = 9 \equiv 1$, mais $3 \not\equiv 1$ et $3 \not\equiv -1$.

💡 À retenir : Cela n'est vrai que si $n$ est premier.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver le PGCD ?

À l'examen, tu dois montrer les étapes de l'algorithme d'Euclide. La calculatrice sert uniquement à vérifier ton résultat.

💡 À retenir : La rédaction des divisions successives est obligatoire pour obtenir tous les points.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $x^2 \equiv 1 \pmod{8}$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $x^2 \equiv 1 \pmod{8}$.

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Exercice 2

Soit $n \in \mathbb{N}$ . On pose $A = n^3 - n$ . Montrer que $6$ divise $A$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Exercice 2

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose $A = n^3 - n$. Montrer que $6$ divise $A$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

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Exercice 3

Déterminer l'ensemble des couples $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $7x - 5y = 3$ .

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des couples $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $7x - 5y = 3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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